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G. F. Haas：微分音的五个论题

2026-07-15T08:11:13Z

Administrator：

== 论题1: 泛音列是一种人为构造 ==

单一声音的各分音构成的序列（[[泛音列]]）是微分音和声学的基础之一。这一序列可以从真实乐器的声音经傅里叶分析算出，也可以从这些声音的录音由窄带滤波器得到。这一计算的结果经由[[记谱法]]转移的和声和[[和弦]]有其自身的感官吸引力，且带来了音乐的更多可能性。

但是，“泛音列”是带有浓厚意识形态色彩的。甚至，它的名称也是独断的：''纯''律，''自然''律，好像其它一切都是“不纯”“非自然”的。

在这种情况下，任何试图精确捕捉泛音列的尝试都必然失败。傅里叶分析的前提是周期（总是精确保持不变）振动，但是真实的乐器声音会有持续但微小的变化，因此对音高的测量只能是近似的。另外，高次分音会偏移它们的理想位置（ 第n分音与基音的频率比未必精确地等于n ）。弦有质量或直径，因此它们的声学性质是（理想 ）弦与金属棒的声学性质[1]的结合；管乐器中，不仅是空气柱有震动，振动体本身也在振动，空气柱直径受其影响；诸如此类。

[1] 钢琴调音师知道这一问题：低音弦的第二分音([[2/1]])已经不准了，琴弦是根据分音而非基音调音的。

傅里叶分析的结果常称为“声谱”，可类比于光学的“光谱”。彩虹中的白光折射和声学分析也可类比。但是，它们有着根本的不同：光波的振动极快，也就是说对于光谱分析可用的振动次数极大，各次振动之间的变化或偏离是不重要的。声波的振动慢几个量级（一个A4=440 Hz的声音要约五万年才能达到一秒钟蓝光的振动次数）。特别地，在暂态过程中，声波在每一次振动中都有变化，这一变化体现了不同种类的声音的独特性。

分音在不变的，稳态声音中最容易听清：因此“自然音列”反而最容易从机器声（老式电冰箱，变电站，轮船引擎等）中听到。

将（总是近似测得的或在理想条件下计算的）分音转换为乐音不是将声音的“本性”转移到音乐里，而是一个自由的音乐选择。

用弦乐团演奏泛音列（将单一乐音的假想傅里叶分析的结果用多个乐器呈现）的结果就像用化学课墙上的蓝球和黑球表示氧原子一样。这一结果可能有高度的美学价值，但是它只是这一现象的（思想）模型。因此，弦乐团演奏的泛音列并未展示（乐音的 ）自然现象，而是从一个世界到另一个世界的转换，其结果是令人惊奇的声音。

将泛音演奏法（Flageoletts）或超吹等价于分音也是错误的。

通过按钢琴琴弦，可以明显呈现第七分音，其与[[12ed2]]调和音的区别可以清楚地显示：按下钢琴上的C1，触碰琴弦的适当位置（琴弦长度1/7处 ）,对比C1产生的B♭3与钢琴上的B♭3按键的音高的区别，显然C1产生的B♭3比B♭3按键的音高更低。同样地，[[7/1]]低于12ed2小七度，但是钢琴的第七分音和7/1并不''一样''低。（Karl Valentin: 在那里？——我已经去过了！[2] 据回忆复述）

在弦乐器的微音定弦中，如果借助高次“自然”泛音（弦乐的泛音演奏法），在偏差太大时只会产生近似（音准）。

毫无疑问，自然泛音演奏法和超吹是离开12ed2的好方法。但是，进入（虚拟的）泛音列需要更多操作。

我不会忘记在我的[https://www.bilibili.com/video/BV1Af4y1w7ok/ 第一弦乐四重奏]或[https://www.bilibili.com/video/BV1BX4y187C6 歌剧Nacht]，让弦乐把自然泛音奏法产生的音高与泛音列的音准对齐是多么难；或者在[https://www.bilibili.com/video/BV1Lr4y1r7eR/ in vain]中让小号和圆号的自然音高与泛音列对准是多么难——“自然”律是人工的。

综上：从“自然”律得到的声音是令人惊奇的，但是泛音列意识形态（“纯”，“自然”）只配进垃圾桶。分音列和其它音乐素材一样人工。

== 论题2: 音乐中的拍音是人类的需要 ==

如果你考察不同的音乐传统，你会在最广阔的范围里找到对“虚假”音高——与分音列音程有微小误差的音程——的追求，比如[[拉伸与压缩|拉伸或压缩的2/1]] （如甘美兰音乐的Slendro涉及2/1拉伸）或者接受接近（纯音程）的“略准”音程。即使在追求“纯音准”的印度音乐中，某些raga也包含至少一个与低声部3/2产生拍音的主音。三和弦（据说是来自于泛音列的）是西方音乐的单独事件（现已有广泛影响），不同的拍音经常在不同的文化传统中独立地出现。可以经验地证明：在不同音乐传统中找到的不是对泛音列的对应，而是对泛音列的偏移：不是融合，而是摩擦。

我认为12ed2的广泛传播并非是“''即使''它的音程是抽象的”，而是''因为''它的音程是抽象的：大三和弦和属七和弦都令人惊奇地“虚假”（产生拍音）。

在调性音乐的''实践''中有多种微音误差：合唱式弦乐揉弦（=微分音簇），歌剧中独唱演员唱得太大声（因此他们能够更好地被听到且声音更高），小提琴家的刻意的偏离正常音准的调律（…因此音乐厅里每个人都知道我演奏的八度双音''确实''有两个音…）等。这些拍音给音乐带来生命。

== 论题3: 微分音音乐中，同名音不（再）等价 ==
我们习惯于给音高（ 在一个2/1范围内的 ）名称，然后把它赋予某个八度等级（A♭就是A♭，无论是A♭2还是A♭4还是A♭6）。专注于历史和声的学院派音乐教育让学生们对八度移动不敏感：用“倒影”，“密集排列”，“开放排列”等术语让人认为声音的八度等级只是一个多余的特征，和弦仅由音的叠加构成（与八度等级无关）。音级集合理论将这一倾向延续到无调性音乐。这个抽象的原则在多大程度上实际上适用于历史音乐，不讨论。一个音程越小，它的声音越复杂，八度等级的选择就越有意义[3]。

[3] 微分音的先驱们已经在质疑八度等价性了。哈巴在他的和声教学中指出和弦中音程的意义不是八度等价的（毫无疑问，改变一个音程的某个音的八度等级就会改变这一音程的意义），但是他并未使其系统化。维施内格拉德斯基将他作品中的微分音资源安排成非八度周期循环，因此八度跳进可以和小二度旋律音程一样被分类。

泛音列中，考虑八度等级的需要变得尤其显然：第10分音比第5分音高2/1，并且，10/1也是被它的邻居9/1和11/1定义的，也就是与它相邻的音程更小（在这里是不同的二[[音阶|度]]）。

将奇数次分音向下移动2/1会改变整个泛音频谱，它也会将虚拟基频向下移动2/1. 比如，取C2的第8, 10, 11分音，分别为C5, E5, 和Fｷ5；将Fｷ5向下移动2/1，得到Fｷ4，则Fｷ4，C5, E5的频率比是11:16:20，虚拟基频为C1.

拍频对八度等级的改变是极其敏感的。将一个音程的两个音都上移2/1，得到的新音程的拍频完全不同（ 拍频的频率为两音频率之差，所以原本一秒n次的拍频在上移2/1之后是一秒2n次 ）。如果只有一个音上移了2/1，得到的结果有可能是全新的。（[4] 考虑8/7和7/4）

== 论题4: 常用的记谱法阻碍微分音思维 ==

[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称|我们熟悉的记谱法]]，作为作曲家与演奏家之间仍然在很大程度上不可或缺的交流方式，是过去的遗迹（16世纪的管风琴记谱法改编）。为了用这种记谱法表示节奏的微小变化，力度层次，深浅层次，声音偏移，必须引入烦人的新字符。我们往往需要选择：只用暗示表示很多内容，或者使乐谱过于繁杂。

但是这种记谱法对于写微分音而言是不充分的。即使是12ed2的表示都称不上充分——每个音高需要一个字母和一个升降号。因为[[MOS音阶|自然七音]]体系的每步大小不同，等大的音程必须用不等大的方式记录，如增四度=减五度，小三度=增二度，等等。

借助更细微的音程，记录最小的差别不是问题，因为可以用特殊符号，但（这种方法）一涉及音程关系，谱子就乱了。“等音解释”是不可避免的。

两个例子：

1. （24ed2的）C-Dｷ-Fｷ与 Fｷ-A♭-B 是同一和弦；

2. （72ed2的）4:5:6:7在C上为C-E↓-G-B♭↡，如果以B♭↡为低音则是B♭↡-Dd-F↡-G↟. 泛音七和弦成了加六和弦（简谱1-3-5-6的和弦，并非增六和弦）。

对于我来说，作曲意味着“用声音思考”。书写乐谱能够使用声音的思考可被传达，但是声音的纸面表示有可能引起混乱。因此，我只在工作的最后阶段才书写微分音乐谱，而（音乐上的）决定早就做好了，并且我尽可能长时间地寻找其他（仅供我自己阅读的）记谱方式。（[5]特别地，我想到了贾钦托·谢尔西，他可以完全不依赖乐谱）

== 论题5: 微分音音乐需要自己的时间形态 ==

两个音的音程越小，人类感知需要区分它们的时间就越长。区分小二度的两音只需要几分之一秒，听出拍频需要的时间则远远更长。泛音列的一部分形成的和弦需要很长时间才能“对齐”（对演奏者和听者来说）。24ed2或更细微系统的快速运动产生的是模糊和对音高差别的抹平。

节奏领域的时间设计的变化也会带来形式上的变化（[6] 詹姆斯·滕尼（James Tenney）的《临界带》（Critical Band）或[https://www.bilibili.com/video/BV1Roc7zcEXz/ 《公案》](Koan)表明，在完全慢速的音乐里，感官对变化更敏感，且这一不同的时间设计怎样产生音乐）。一般来说，微分音音乐需要更多空间，更多时间，更多发展可能性，除非为了其它目标：（对音符）染色的快乐，如查尔斯·爱德华·艾夫斯（Charles Edward Ives）在《三首四分音作品》（Three Quarter-tone Pieces）中显示的。

G. F. Haas：微分音的五个论题

2026-07-14T09:36:36Z

Administrator：/* 论题5: 微分音音乐需要自己的时间形态 */

== 论题1: 泛音列是一种人为构造 ==

单一声音的各分音构成的序列（[[泛音列]]）是微分音和声学的基础之一。这一序列可以从真实乐器的声音经傅里叶分析算出，也可以从这些声音的录音由窄带滤波器得到。这一计算的结果经由[[记谱法]]转移的和声和[[和弦]]有其自身的感官吸引力，且带来了音乐的更多可能性。

但是，“泛音列”是带有浓厚意识形态色彩的。甚至，它的名称也是独断的：''纯''律，''自然''律，好像其它一切都是“不纯”“非自然”的。

在这种情况下，任何试图精确捕捉泛音列的尝试都必然失败。傅里叶分析的前提是周期（总是精确保持不变）振动，但是真实的乐器声音会有持续但微小的变化，因此对音高的测量只能是近似的。另外，高次分音会偏移它们的理想位置（ 第n分音与基音的频率比未必精确地等于n ）。弦有质量或直径，因此它们的声学性质是（理想 ）弦与金属棒的声学性质[1]的结合；管乐器中，不仅是空气柱有震动，振动体本身也在振动，空气柱直径受其影响；诸如此类。

[1] 钢琴调音师知道这一问题：低音弦的第二分音([[2/1]])已经不准了，琴弦是根据分音而非基音调音的。

傅里叶分析的结果常称为“声谱”，可类比于光学的“光谱”。彩虹中的白光折射和声学分析也可类比。但是，它们有着根本的不同：光波的振动极快，也就是说对于光谱分析可用的振动次数极大，各次振动之间的变化或偏离是不重要的。声波的振动慢几个量级（一个A4=440 Hz的声音要约五万年才能达到一秒钟蓝光的振动次数）。特别地，在暂态过程中，声波在每一次振动中都有变化，这一变化体现了不同种类的声音的独特性。

分音在不变的，稳态声音中最容易听清：因此“自然音列”反而最容易从机器声（老式电冰箱，变电站，轮船引擎等）中听到。

将（总是近似测得的或在理想条件下计算的）分音转换为乐音不是将声音的“本性”转移到音乐里，而是一个自由的音乐选择。

用弦乐团演奏泛音列（将单一乐音的假想傅里叶分析的结果用多个乐器呈现）的结果就像用化学课墙上的蓝球和黑球表示氧原子一样。这一结果可能有高度的美学价值，但是它只是这一现象的（思想）模型。因此，弦乐团演奏的泛音列并未展示（乐音的 ）自然现象，而是从一个世界到另一个世界的转换，其结果是令人惊奇的声音。

将（管乐器）的泛音演奏法或超吹等价于分音也是错误的。

通过按钢琴琴弦，可以明显呈现第七分音，其与[[12ed2]]调和音的区别可以清楚地显示：按下钢琴上的C1，触碰琴弦的适当位置（琴弦长度1/7处 ）,对比C1产生的B♭3与钢琴上的B♭3按键的音高的区别，显然C1产生的B♭3比B♭3按键的音高更低。同样地，[[7/1]]低于12ed2小七度，但是钢琴的第七分音和7/1并不''一样''低。（Karl Valentin: 在那里？——我已经去过了！[2] 据回忆复述）

在弦乐器的微音定弦中，如果借助高次“自然”泛音（弦乐的泛音演奏法），在偏差太大时只会产生近似（音准）。

毫无疑问，自然泛音奏法和超吹是离开12ed2的好方法。但是，进入（虚拟的）泛音列需要更多操作。

我不会忘记在我的[https://www.bilibili.com/video/BV1Af4y1w7ok/ 第一弦乐四重奏]或[https://www.bilibili.com/video/BV1BX4y187C6 歌剧Nacht]，让弦乐把自然泛音奏法产生的音高与泛音列的音准对齐是多么难；或者在[https://www.bilibili.com/video/BV1Lr4y1r7eR/ in vain]中让小号和圆号的自然音高与泛音列对准是多么难——“自然”律是人工的。

综上：从“自然”律得到的声音是令人惊奇的，但是泛音列意识形态（“纯”，“自然”）只配进垃圾桶。分音列和其它音乐素材一样人工。

== 论题2: 音乐中的拍音是人类的需要 ==

如果你考察不同的音乐传统，你会在最广阔的范围里找到对“虚假”音高——与分音列音程有微小误差的音程——的追求，比如[[拉伸与压缩|拉伸或压缩的2/1]] （如甘美兰音乐的Slendro涉及2/1拉伸）或者接受接近（纯音程）的“略准”音程。即使在追求“纯音准”的印度音乐中，某些raga也包含至少一个与低声部3/2产生拍音的主音。三和弦（据说是来自于泛音列的）是西方音乐的单独事件（现已有广泛影响），不同的拍音经常在不同的文化传统中独立地出现。可以经验地证明：在不同音乐传统中找到的不是对泛音列的对应，而是对泛音列的偏移：不是融合，而是摩擦。

我认为12ed2的广泛传播并非是“''即使''它的音程是抽象的”，而是''因为''它的音程是抽象的：大三和弦和属七和弦都令人惊奇地“虚假”（产生拍音）。

在调性音乐的''实践''中有多种微音误差：合唱式弦乐揉弦（=微分音簇），歌剧中独唱演员唱得太大声（因此他们能够更好地被听到且声音更高），小提琴家的刻意的偏离正常音准的调律（…因此音乐厅里每个人都知道我演奏的八度双音''确实''有两个音…）等。这些拍音给音乐带来生命。

== 论题3: 微分音音乐中，同名音不（再）等价 ==
我们习惯于给音高（ 在一个2/1范围内的 ）名称，然后把它赋予某个八度等级（A♭就是A♭，无论是A♭2还是A♭4还是A♭6）。专注于历史和声的学院派音乐教育让学生们对八度移动不敏感：用“倒影”，“密集排列”，“开放排列”等术语让人认为声音的八度等级只是一个多余的特征，和弦仅由音的叠加构成（与八度等级无关）。音级集合理论将这一倾向延续到无调性音乐。这个抽象的原则在多大程度上实际上适用于历史音乐，不讨论。一个音程越小，它的声音越复杂，八度等级的选择就越有意义[3]。

[3] 微分音的先驱们已经在质疑八度等价性了。哈巴在他的和声教学中指出和弦中音程的意义不是八度等价的（毫无疑问，改变一个音程的某个音的八度等级就会改变这一音程的意义），但是他并未使其系统化。维施内格拉德斯基将他作品中的微分音资源安排成非八度周期循环，因此八度跳进可以和小二度旋律音程一样被分类。

泛音列中，考虑八度等级的需要变得尤其显然：第10分音比第5分音高2/1，并且，10/1也是被它的邻居9/1和11/1定义的，也就是与它相邻的音程更小（在这里是不同的二[[音阶|度]]）。

将奇数次分音向下移动2/1会改变整个泛音频谱，它也会将虚拟基频向下移动2/1. 比如，取C2的第8, 10, 11分音，分别为C5, E5, 和Fｷ5；将Fｷ5向下移动2/1，得到Fｷ4，则Fｷ4，C5, E5的频率比是11:16:20，虚拟基频为C1.

拍频对八度等级的改变是极其敏感的。将一个音程的两个音都上移2/1，得到的新音程的拍频完全不同（ 拍频的频率为两音频率之差，所以原本一秒n次的拍频在上移2/1之后是一秒2n次 ）。如果只有一个音上移了2/1，得到的结果有可能是全新的。（[4] 考虑8/7和7/4）

== 论题4: 常用的记谱法阻碍微分音思维 ==

[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称|我们熟悉的记谱法]]，作为作曲家与演奏家之间仍然在很大程度上不可或缺的交流方式，是过去的遗迹（16世纪的管风琴记谱法改编）。为了用这种记谱法表示节奏的微小变化，力度层次，深浅层次，声音偏移，必须引入烦人的新字符。我们往往需要选择：只用暗示表示很多内容，或者使乐谱过于繁杂。

但是这种记谱法对于写微分音而言是不充分的。即使是12ed2的表示都称不上充分——每个音高需要一个字母和一个升降号。因为[[MOS音阶|自然七音]]体系的每步大小不同，等大的音程必须用不等大的方式记录，如增四度=减五度，小三度=增二度，等等。

借助更细微的音程，记录最小的差别不是问题，因为可以用特殊符号，但（这种方法）一涉及音程关系，谱子就乱了。“等音解释”是不可避免的。

两个例子：

1. （24ed2的）C-Dｷ-Fｷ与 Fｷ-A♭B 是同一和弦；

2. （72ed2的）4:5:6:7在C上为C-E↓-G-B♭↡，如果以B♭↡为低音则是B♭↡-Dd-F↡-G↟. 泛音七和弦成了加六和弦（简谱1-3-5-6的和弦，并非增六和弦）。

对于我来说，作曲意味着“用声音思考”。书写乐谱能够使用声音的思考可被传达，但是声音的纸面表示有可能引起混乱。因此，我只在工作的最后阶段才书写微分音乐谱，而（音乐上的）决定早就做好了，并且我尽可能长时间地寻找其他（仅供我自己阅读的）记谱方式。（[5]特别地，我想到了贾钦托·谢尔西，他可以完全不依赖乐谱）

== 论题5: 微分音音乐需要自己的时间形态 ==

两个音的音程越小，人类感知需要区分它们的时间就越长。区分小二度的两音只需要几分之一秒，听出拍频需要的时间则远远更长。泛音列的一部分形成的和弦需要很长时间才能“对齐”（对演奏者和听着来说）。24ed2或更细微系统的快速运动产生的是模糊和对音高差别的抹平。

节奏领域的时间设计的变化也会带来形式上的变化（[6] 詹姆斯·滕尼的《临界带》或[https://www.bilibili.com/video/BV1Roc7zcEXz/ 《公案》]表明，在完全慢速的音乐里，感官对变化更敏感，且这一不同的时间设计怎样产生音乐）。一般来说，微分音音乐需要更多空间，更多时间，更多发展可能性，除非为了其它目标：（对音符）染色的快乐，如查尔斯·爱德华·艾夫斯在《三首四分音作品》中显示的。

G. F. Haas：微分音的五个论题

2026-07-14T09:25:12Z

Administrator：

== 论题1: 泛音列是一种人为构造 ==

单一声音的各分音构成的序列（[[泛音列]]）是微分音和声学的基础之一。这一序列可以从真实乐器的声音经傅里叶分析算出，也可以从这些声音的录音由窄带滤波器得到。这一计算的结果经由[[记谱法]]转移的和声和[[和弦]]有其自身的感官吸引力，且带来了音乐的更多可能性。

但是，“泛音列”是带有浓厚意识形态色彩的。甚至，它的名称也是独断的：''纯''律，''自然''律，好像其它一切都是“不纯”“非自然”的。

在这种情况下，任何试图精确捕捉泛音列的尝试都必然失败。傅里叶分析的前提是周期（总是精确保持不变）振动，但是真实的乐器声音会有持续但微小的变化，因此对音高的测量只能是近似的。另外，高次分音会偏移它们的理想位置（ 第n分音与基音的频率比未必精确地等于n ）。弦有质量或直径，因此它们的声学性质是（理想 ）弦与金属棒的声学性质[1]的结合；管乐器中，不仅是空气柱有震动，振动体本身也在振动，空气柱直径受其影响；诸如此类。

[1] 钢琴调音师知道这一问题：低音弦的第二分音([[2/1]])已经不准了，琴弦是根据分音而非基音调音的。

傅里叶分析的结果常称为“声谱”，可类比于光学的“光谱”。彩虹中的白光折射和声学分析也可类比。但是，它们有着根本的不同：光波的振动极快，也就是说对于光谱分析可用的振动次数极大，各次振动之间的变化或偏离是不重要的。声波的振动慢几个量级（一个A4=440 Hz的声音要约五万年才能达到一秒钟蓝光的振动次数）。特别地，在暂态过程中，声波在每一次振动中都有变化，这一变化体现了不同种类的声音的独特性。

分音在不变的，稳态声音中最容易听清：因此“自然音列”反而最容易从机器声（老式电冰箱，变电站，轮船引擎等）中听到。

将（总是近似测得的或在理想条件下计算的）分音转换为乐音不是将声音的“本性”转移到音乐里，而是一个自由的音乐选择。

用弦乐团演奏泛音列（将单一乐音的假想傅里叶分析的结果用多个乐器呈现）的结果就像用化学课墙上的蓝球和黑球表示氧原子一样。这一结果可能有高度的美学价值，但是它只是这一现象的（思想）模型。因此，弦乐团演奏的泛音列并未展示（乐音的 ）自然现象，而是从一个世界到另一个世界的转换，其结果是令人惊奇的声音。

将（管乐器）的泛音演奏法或超吹等价于分音也是错误的。

通过按钢琴琴弦，可以明显呈现第七分音，其与[[12ed2]]调和音的区别可以清楚地显示：按下钢琴上的C1，触碰琴弦的适当位置（琴弦长度1/7处 ）,对比C1产生的B♭3与钢琴上的B♭3按键的音高的区别，显然C1产生的B♭3比B♭3按键的音高更低。同样地，[[7/1]]低于12ed2小七度，但是钢琴的第七分音和7/1并不''一样''低。（Karl Valentin: 在那里？——我已经去过了！[2] 据回忆复述）

在弦乐器的微音定弦中，如果借助高次“自然”泛音（弦乐的泛音演奏法），在偏差太大时只会产生近似（音准）。

毫无疑问，自然泛音奏法和超吹是离开12ed2的好方法。但是，进入（虚拟的）泛音列需要更多操作。

我不会忘记在我的[https://www.bilibili.com/video/BV1Af4y1w7ok/ 第一弦乐四重奏]或[https://www.bilibili.com/video/BV1BX4y187C6 歌剧Nacht]，让弦乐把自然泛音奏法产生的音高与泛音列的音准对齐是多么难；或者在[https://www.bilibili.com/video/BV1Lr4y1r7eR/ in vain]中让小号和圆号的自然音高与泛音列对准是多么难——“自然”律是人工的。

综上：从“自然”律得到的声音是令人惊奇的，但是泛音列意识形态（“纯”，“自然”）只配进垃圾桶。分音列和其它音乐素材一样人工。

== 论题2: 音乐中的拍音是人类的需要 ==

如果你考察不同的音乐传统，你会在最广阔的范围里找到对“虚假”音高——与分音列音程有微小误差的音程——的追求，比如[[拉伸与压缩|拉伸或压缩的2/1]] （如甘美兰音乐的Slendro涉及2/1拉伸）或者接受接近（纯音程）的“略准”音程。即使在追求“纯音准”的印度音乐中，某些raga也包含至少一个与低声部3/2产生拍音的主音。三和弦（据说是来自于泛音列的）是西方音乐的单独事件（现已有广泛影响），不同的拍音经常在不同的文化传统中独立地出现。可以经验地证明：在不同音乐传统中找到的不是对泛音列的对应，而是对泛音列的偏移：不是融合，而是摩擦。

我认为12ed2的广泛传播并非是“''即使''它的音程是抽象的”，而是''因为''它的音程是抽象的：大三和弦和属七和弦都令人惊奇地“虚假”（产生拍音）。

在调性音乐的''实践''中有多种微音误差：合唱式弦乐揉弦（=微分音簇），歌剧中独唱演员唱得太大声（因此他们能够更好地被听到且声音更高），小提琴家的刻意的偏离正常音准的调律（…因此音乐厅里每个人都知道我演奏的八度双音''确实''有两个音…）等。这些拍音给音乐带来生命。

== 论题3: 微分音音乐中，同名音不（再）等价 ==
我们习惯于给音高（ 在一个2/1范围内的 ）名称，然后把它赋予某个八度等级（A♭就是A♭，无论是A♭2还是A♭4还是A♭6）。专注于历史和声的学院派音乐教育让学生们对八度移动不敏感：用“倒影”，“密集排列”，“开放排列”等术语让人认为声音的八度等级只是一个多余的特征，和弦仅由音的叠加构成（与八度等级无关）。音级集合理论将这一倾向延续到无调性音乐。这个抽象的原则在多大程度上实际上适用于历史音乐，不讨论。一个音程越小，它的声音越复杂，八度等级的选择就越有意义[3]。

[3] 微分音的先驱们已经在质疑八度等价性了。哈巴在他的和声教学中指出和弦中音程的意义不是八度等价的（毫无疑问，改变一个音程的某个音的八度等级就会改变这一音程的意义），但是他并未使其系统化。维施内格拉德斯基将他作品中的微分音资源安排成非八度周期循环，因此八度跳进可以和小二度旋律音程一样被分类。

泛音列中，考虑八度等级的需要变得尤其显然：第10分音比第5分音高2/1，并且，10/1也是被它的邻居9/1和11/1定义的，也就是与它相邻的音程更小（在这里是不同的二[[音阶|度]]）。

将奇数次分音向下移动2/1会改变整个泛音频谱，它也会将虚拟基频向下移动2/1. 比如，取C2的第8, 10, 11分音，分别为C5, E5, 和Fｷ5；将Fｷ5向下移动2/1，得到Fｷ4，则Fｷ4，C5, E5的频率比是11:16:20，虚拟基频为C1.

拍频对八度等级的改变是极其敏感的。将一个音程的两个音都上移2/1，得到的新音程的拍频完全不同（ 拍频的频率为两音频率之差，所以原本一秒n次的拍频在上移2/1之后是一秒2n次 ）。如果只有一个音上移了2/1，得到的结果有可能是全新的。（[4] 考虑8/7和7/4）

== 论题4: 常用的记谱法阻碍微分音思维 ==

[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称|我们熟悉的记谱法]]，作为作曲家与演奏家之间仍然在很大程度上不可或缺的交流方式，是过去的遗迹（16世纪的管风琴记谱法改编）。为了用这种记谱法表示节奏的微小变化，力度层次，深浅层次，声音偏移，必须引入烦人的新字符。我们往往需要选择：只用暗示表示很多内容，或者使乐谱过于繁杂。

但是这种记谱法对于写微分音而言是不充分的。即使是12ed2的表示都称不上充分——每个音高需要一个字母和一个升降号。因为[[MOS音阶|自然七音]]体系的每步大小不同，等大的音程必须用不等大的方式记录，如增四度=减五度，小三度=增二度，等等。

借助更细微的音程，记录最小的差别不是问题，因为可以用特殊符号，但（这种方法）一涉及音程关系，谱子就乱了。“等音解释”是不可避免的。

两个例子：

1. （24ed2的）C-Dｷ-Fｷ与 Fｷ-A♭B 是同一和弦；

2. （72ed2的）4:5:6:7在C上为C-E↓-G-B♭↡，如果以B♭↡为低音则是B♭↡-Dd-F↡-G↟. 泛音七和弦成了加六和弦（简谱1-3-5-6的和弦，并非增六和弦）。

对于我来说，作曲意味着“用声音思考”。书写乐谱能够使用声音的思考可被传达，但是声音的纸面表示有可能引起混乱。因此，我只在工作的最后阶段才书写微分音乐谱，而（音乐上的）决定早就做好了，并且我尽可能长时间地寻找其他（仅供我自己阅读的）记谱方式。（[5]特别地，我想到了贾钦托·谢尔西，他可以完全不依赖乐谱）

== 论题5: 微分音音乐需要自己的时间形态 ==

G. F. Haas：微分音的五个论题

2026-07-14T09:23:54Z

Administrator：/* 论题4: 常用的记谱法阻碍微分音思维 */

== 论题1: 泛音列是一种人为构造 ==

单一声音的各分音构成的序列（[[泛音列]]）是微分音和声学的基础之一。这一序列可以从真实乐器的声音经傅里叶分析算出，也可以从这些声音的录音由窄带滤波器得到。这一计算的结果经由[[记谱法]]转移的和声和[[和弦]]有其自身的感官吸引力，且带来了音乐的更多可能性。

但是，“泛音列”是带有浓厚意识形态色彩的。甚至，它的名称也是独断的：''纯''律，''自然''律，好像其它一切都是“不纯”“非自然”的。

在这种情况下，任何试图精确捕捉泛音列的尝试都必然失败。傅里叶分析的前提是周期（总是精确保持不变）振动，但是真实的乐器声音会有持续但微小的变化，因此对音高的测量只能是近似的。另外，高次分音会偏移它们的理想位置（ 第n分音与基音的频率比未必精确地等于n ）。弦有质量或直径，因此它们的声学性质是（理想 ）弦与金属棒的声学性质[1]的结合；管乐器中，不仅是空气柱有震动，振动体本身也在振动，空气柱直径受其影响；诸如此类。

[1] 钢琴调音师知道这一问题：低音弦的第二分音([[2/1]])已经不准了，琴弦是根据分音而非基音调音的。

傅里叶分析的结果常称为“声谱”，可类比于光学的“光谱”。彩虹中的白光折射和声学分析也可类比。但是，它们有着根本的不同：光波的振动极快，也就是说对于光谱分析可用的振动次数极大，各次振动之间的变化或偏离是不重要的。声波的振动慢几个量级（一个A4=440 Hz的声音要约五万年才能达到一秒钟蓝光的振动次数）。特别地，在暂态过程中，声波在每一次振动中都有变化，这一变化体现了不同种类的声音的独特性。

分音在不变的，稳态声音中最容易听清：因此“自然音列”反而最容易从机器声（老式电冰箱，变电站，轮船引擎等）中听到。

将（总是近似测得的或在理想条件下计算的）分音转换为乐音不是将声音的“本性”转移到音乐里，而是一个自由的音乐选择。

用弦乐团演奏泛音列（将单一乐音的假想傅里叶分析的结果用多个乐器呈现）的结果就像用化学课墙上的蓝球和黑球表示氧原子一样。这一结果可能有高度的美学价值，但是它只是这一现象的（思想）模型。因此，弦乐团演奏的泛音列并未展示（乐音的 ）自然现象，而是从一个世界到另一个世界的转换，其结果是令人惊奇的声音。

将（管乐器）的泛音演奏法或超吹等价于分音也是错误的。

通过按钢琴琴弦，可以明显呈现第七分音，其与[[12ed2]]调和音的区别可以清楚地显示：按下钢琴上的C1，触碰琴弦的适当位置（琴弦长度1/7处 ）,对比C1产生的B♭3与钢琴上的B♭3按键的音高的区别，显然C1产生的B♭3比B♭3按键的音高更低。同样地，[[7/1]]低于12ed2小七度，但是钢琴的第七分音和7/1并不''一样''低。（Karl Valentin: 在那里？——我已经去过了！[2] 据回忆复述）

在弦乐器的微音定弦中，如果借助高次“自然”泛音（弦乐的泛音演奏法），在偏差太大时只会产生近似（音准）。

毫无疑问，自然泛音奏法和超吹是离开12ed2的好方法。但是，进入（虚拟的）泛音列需要更多操作。

我不会忘记在我的[https://www.bilibili.com/video/BV1Af4y1w7ok/ 第一弦乐四重奏]或[https://www.bilibili.com/video/BV1BX4y187C6 歌剧Nacht]，让弦乐把自然泛音奏法产生的音高与泛音列的音准对齐是多么难；或者在[https://www.bilibili.com/video/BV1Lr4y1r7eR/ in vain]中让小号和圆号的自然音高与泛音列对准是多么难——“自然”律是人工的。

综上：从“自然”律得到的声音是令人惊奇的，但是泛音列意识形态（“纯”，“自然”）只配进垃圾桶。分音列和其它音乐素材一样人工。

== 论题2: 音乐中的拍音是人类的需要 ==

如果你考察不同的音乐传统，你会在最广阔的范围里找到对“虚假”音高——与分音列音程有微小误差的音程——的追求，比如[[拉伸与压缩|拉伸或压缩的2/1]] （如甘美兰音乐的Slendro涉及2/1拉伸）或者接受接近（纯音程）的“略准”音程。即使在追求“纯音准”的印度音乐中，某些raga也包含至少一个与低声部3/2产生拍音的主音。三和弦（据说是来自于泛音列的）是西方音乐的单独事件（现已有广泛影响），不同的拍音经常在不同的文化传统中独立地出现。可以经验地证明：在不同音乐传统中找到的不是对泛音列的对应，而是对泛音列的偏移：不是融合，而是摩擦。

我认为12ed2的广泛传播并非是“''即使''它的音程是抽象的”，而是''因为''它的音程是抽象的：大三和弦和属七和弦都令人惊奇地“虚假”（产生拍音）。

在调性音乐的''实践''中有多种微音误差：合唱式弦乐揉弦（=微分音簇），歌剧中独唱演员唱得太大声（因此他们能够更好地被听到且声音更高），小提琴家的刻意的偏离正常音准的调律（…因此音乐厅里每个人都知道我演奏的八度双音''确实''有两个音…）等。这些拍音给音乐带来生命。

== 论题3: 微分音音乐中，同名音不（再）等价 ==
我们习惯于给音高（ 在一个2/1范围内的 ）名称，然后把它赋予某个八度等级（A♭就是A♭，无论是A♭2还是A♭4还是A♭6）。专注于历史和声的学院派音乐教育让学生们对八度移动不敏感：用“倒影”，“密集排列”，“开放排列”等术语让人认为声音的八度等级只是一个多余的特征，和弦仅由音的叠加构成（与八度等级无关）。音级集合理论将这一倾向延续到无调性音乐。这个抽象的原则在多大程度上实际上适用于历史音乐，不讨论。一个音程越小，它的声音越复杂，八度等级的选择就越有意义[3]。

[3] 微分音的先驱们已经在质疑八度等价性了。哈巴在他的和声教学中指出和弦中音程的意义不是八度等价的（毫无疑问，改变一个音程的某个音的八度等级就会改变这一音程的意义），但是他并未使其系统化。维施内格拉德斯基将他作品中的微分音资源安排成非八度周期循环，因此八度跳进可以和小二度旋律音程一样被分类。

泛音列中，考虑八度等级的需要变得尤其显然：第10分音比第5分音高2/1，并且，10/1也是被它的邻居9/1和11/1定义的，也就是与它相邻的音程更小（在这里是不同的二[[音阶|度]]）。

将奇数次分音向下移动2/1会改变整个泛音频谱，它也会将虚拟基频向下移动2/1. 比如，取C2的第8, 10, 11分音，分别为C5, E5, 和Fｷ5；将Fｷ5向下移动2/1，得到Fｷ4，则Fｷ4，C5, E5的频率比是11:16:20，虚拟基频为C1.

拍频对八度等级的改变是极其敏感的。将一个音程的两个音都上移2/1，得到的新音程的拍频完全不同（ 拍频的频率为两音频率之差，所以原本一秒n次的拍频在上移2/1之后是一秒2n次 ）。如果只有一个音上移了2/1，得到的结果有可能是全新的。（[4] 考虑8/7和7/4）

== 论题4: 常用的记谱法阻碍微分音思维 ==

[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称|我们熟悉的记谱法]]，作为作曲家与演奏家之间仍然在很大程度上不可或缺的交流方式，是过去的遗迹（16世纪的管风琴记谱法改编）。为了用这种记谱法表示节奏的微小变化，力度层次，深浅层次，声音偏移，必须引入烦人的新字符。我们往往需要选择：只用暗示表示很多内容，或者使乐谱过于繁杂。

但是这种记谱法对于写微分音而言是不充分的。即使是12ed2的表示都称不上充分——每个音高需要一个字母和一个升降号。因为[[MOS音阶|自然七音]]体系的每步大小不同，等大的音程必须用不等大的方式记录，如增四度=减五度，小三度=增二度，等等。

借助更细微的音程，记录最小的差别不是问题，因为可以用特殊符号，但（这种方法）一涉及音程关系，谱子就乱了。“等音解释”是不可避免的。

两个例子：

1. （24ed2的）C-Dｷ-Fｷ与 Fｷ-A♭B 是同一和弦；

2. （72ed2的）4:5:6:7在C上为C-E↓-G-B♭↡，如果以B♭↡为低音则是B♭↡-Dd-F↡-G↟. 泛音七和弦成了加六和弦（简谱1-3-5-6的和弦，并非增六和弦）。

对于我来说，作曲意味着“用声音思考”。书写乐谱能够使用声音的思考可被传达，但是声音的纸面表示有可能引起混乱。因此，我只在工作的最后阶段才书写微分音乐谱，而（音乐上的）决定早就做好了，并且我尽可能长时间地寻找其他（仅供我自己阅读的）记谱方式。（[5]特别地，我想到了贾钦托·谢尔西，他可以完全不依赖乐谱）

G. F. Haas：微分音的五个论题

2026-07-14T09:22:35Z

Administrator：/* 论题4: 常用的记谱法阻碍微分音思维 */

== 论题1: 泛音列是一种人为构造 ==

单一声音的各分音构成的序列（[[泛音列]]）是微分音和声学的基础之一。这一序列可以从真实乐器的声音经傅里叶分析算出，也可以从这些声音的录音由窄带滤波器得到。这一计算的结果经由[[记谱法]]转移的和声和[[和弦]]有其自身的感官吸引力，且带来了音乐的更多可能性。

但是，“泛音列”是带有浓厚意识形态色彩的。甚至，它的名称也是独断的：''纯''律，''自然''律，好像其它一切都是“不纯”“非自然”的。

在这种情况下，任何试图精确捕捉泛音列的尝试都必然失败。傅里叶分析的前提是周期（总是精确保持不变）振动，但是真实的乐器声音会有持续但微小的变化，因此对音高的测量只能是近似的。另外，高次分音会偏移它们的理想位置（ 第n分音与基音的频率比未必精确地等于n ）。弦有质量或直径，因此它们的声学性质是（理想 ）弦与金属棒的声学性质[1]的结合；管乐器中，不仅是空气柱有震动，振动体本身也在振动，空气柱直径受其影响；诸如此类。

[1] 钢琴调音师知道这一问题：低音弦的第二分音([[2/1]])已经不准了，琴弦是根据分音而非基音调音的。

傅里叶分析的结果常称为“声谱”，可类比于光学的“光谱”。彩虹中的白光折射和声学分析也可类比。但是，它们有着根本的不同：光波的振动极快，也就是说对于光谱分析可用的振动次数极大，各次振动之间的变化或偏离是不重要的。声波的振动慢几个量级（一个A4=440 Hz的声音要约五万年才能达到一秒钟蓝光的振动次数）。特别地，在暂态过程中，声波在每一次振动中都有变化，这一变化体现了不同种类的声音的独特性。

分音在不变的，稳态声音中最容易听清：因此“自然音列”反而最容易从机器声（老式电冰箱，变电站，轮船引擎等）中听到。

将（总是近似测得的或在理想条件下计算的）分音转换为乐音不是将声音的“本性”转移到音乐里，而是一个自由的音乐选择。

用弦乐团演奏泛音列（将单一乐音的假想傅里叶分析的结果用多个乐器呈现）的结果就像用化学课墙上的蓝球和黑球表示氧原子一样。这一结果可能有高度的美学价值，但是它只是这一现象的（思想）模型。因此，弦乐团演奏的泛音列并未展示（乐音的 ）自然现象，而是从一个世界到另一个世界的转换，其结果是令人惊奇的声音。

将（管乐器）的泛音演奏法或超吹等价于分音也是错误的。

通过按钢琴琴弦，可以明显呈现第七分音，其与[[12ed2]]调和音的区别可以清楚地显示：按下钢琴上的C1，触碰琴弦的适当位置（琴弦长度1/7处 ）,对比C1产生的B♭3与钢琴上的B♭3按键的音高的区别，显然C1产生的B♭3比B♭3按键的音高更低。同样地，[[7/1]]低于12ed2小七度，但是钢琴的第七分音和7/1并不''一样''低。（Karl Valentin: 在那里？——我已经去过了！[2] 据回忆复述）

在弦乐器的微音定弦中，如果借助高次“自然”泛音（弦乐的泛音演奏法），在偏差太大时只会产生近似（音准）。

毫无疑问，自然泛音奏法和超吹是离开12ed2的好方法。但是，进入（虚拟的）泛音列需要更多操作。

我不会忘记在我的[https://www.bilibili.com/video/BV1Af4y1w7ok/ 第一弦乐四重奏]或[https://www.bilibili.com/video/BV1BX4y187C6 歌剧Nacht]，让弦乐把自然泛音奏法产生的音高与泛音列的音准对齐是多么难；或者在[https://www.bilibili.com/video/BV1Lr4y1r7eR/ in vain]中让小号和圆号的自然音高与泛音列对准是多么难——“自然”律是人工的。

综上：从“自然”律得到的声音是令人惊奇的，但是泛音列意识形态（“纯”，“自然”）只配进垃圾桶。分音列和其它音乐素材一样人工。

== 论题2: 音乐中的拍音是人类的需要 ==

如果你考察不同的音乐传统，你会在最广阔的范围里找到对“虚假”音高——与分音列音程有微小误差的音程——的追求，比如[[拉伸与压缩|拉伸或压缩的2/1]] （如甘美兰音乐的Slendro涉及2/1拉伸）或者接受接近（纯音程）的“略准”音程。即使在追求“纯音准”的印度音乐中，某些raga也包含至少一个与低声部3/2产生拍音的主音。三和弦（据说是来自于泛音列的）是西方音乐的单独事件（现已有广泛影响），不同的拍音经常在不同的文化传统中独立地出现。可以经验地证明：在不同音乐传统中找到的不是对泛音列的对应，而是对泛音列的偏移：不是融合，而是摩擦。

我认为12ed2的广泛传播并非是“''即使''它的音程是抽象的”，而是''因为''它的音程是抽象的：大三和弦和属七和弦都令人惊奇地“虚假”（产生拍音）。

在调性音乐的''实践''中有多种微音误差：合唱式弦乐揉弦（=微分音簇），歌剧中独唱演员唱得太大声（因此他们能够更好地被听到且声音更高），小提琴家的刻意的偏离正常音准的调律（…因此音乐厅里每个人都知道我演奏的八度双音''确实''有两个音…）等。这些拍音给音乐带来生命。

== 论题3: 微分音音乐中，同名音不（再）等价 ==
我们习惯于给音高（ 在一个2/1范围内的 ）名称，然后把它赋予某个八度等级（A♭就是A♭，无论是A♭2还是A♭4还是A♭6）。专注于历史和声的学院派音乐教育让学生们对八度移动不敏感：用“倒影”，“密集排列”，“开放排列”等术语让人认为声音的八度等级只是一个多余的特征，和弦仅由音的叠加构成（与八度等级无关）。音级集合理论将这一倾向延续到无调性音乐。这个抽象的原则在多大程度上实际上适用于历史音乐，不讨论。一个音程越小，它的声音越复杂，八度等级的选择就越有意义[3]。

[3] 微分音的先驱们已经在质疑八度等价性了。哈巴在他的和声教学中指出和弦中音程的意义不是八度等价的（毫无疑问，改变一个音程的某个音的八度等级就会改变这一音程的意义），但是他并未使其系统化。维施内格拉德斯基将他作品中的微分音资源安排成非八度周期循环，因此八度跳进可以和小二度旋律音程一样被分类。

泛音列中，考虑八度等级的需要变得尤其显然：第10分音比第5分音高2/1，并且，10/1也是被它的邻居9/1和11/1定义的，也就是与它相邻的音程更小（在这里是不同的二[[音阶|度]]）。

将奇数次分音向下移动2/1会改变整个泛音频谱，它也会将虚拟基频向下移动2/1. 比如，取C2的第8, 10, 11分音，分别为C5, E5, 和Fｷ5；将Fｷ5向下移动2/1，得到Fｷ4，则Fｷ4，C5, E5的频率比是11:16:20，虚拟基频为C1.

拍频对八度等级的改变是极其敏感的。将一个音程的两个音都上移2/1，得到的新音程的拍频完全不同（ 拍频的频率为两音频率之差，所以原本一秒n次的拍频在上移2/1之后是一秒2n次 ）。如果只有一个音上移了2/1，得到的结果有可能是全新的。（[4] 考虑8/7和7/4）

== 论题4: 常用的记谱法阻碍微分音思维 ==

[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称|我们熟悉的记谱法]]，作为作曲家与演奏家之间仍然在很大程度上不可或缺的交流方式，是过去的遗迹（16世纪的管风琴记谱法改编）。为了用这种记谱法表示节奏的微小变化，力度层次，深浅层次，声音偏移，必须引入烦人的新字符。我们往往需要选择：只用暗示表示很多内容，或者使乐谱过于繁杂。

但是这种记谱法对于写微分音而言是不充分的。即使是12ed2的表示都称不上充分——每个音高需要一个字母和一个升降号。因为[[MOS音阶|自然七音]]体系的每步大小不同，等大的音程必须用不等大的方式记录，如增四度=减五度，小三度=增二度，等等。

借助更细微的音程，记录最小的差别不是问题，因为可以用特殊符号，但（这种方法）一涉及音程关系，谱子就乱了。“等音解释”是不可避免的。

两个例子：

1. （24ed2的）C-Dｷ-Fｷ与 Fｷ-A♭B 是同一和弦；

2. （72ed2的）4:5:6:7在C上为C-E↓-G-B♭↡，如果以B♭↡为低音则是B♭↡-Dd-F↡-G↟. 泛音七和弦成了加六和弦（简谱1-3-5-6的和弦，并非增六和弦）。

对于我来说，作曲意味着“用声音思考”。书写乐谱能够使用声音的思考可被传达，但是用书写对声音的表示有可能搅局。因此，我只在工作的最后阶段才书写微分音乐谱，而（音乐上的）决定早就做好了，并且尽可能长时间地寻找其他（仅供我自己阅读的）记谱方式。（[5]特别地，我想到了贾钦托·谢尔西，他可以完全不依赖乐谱）

G. F. Haas：微分音的五个论题

2026-07-14T09:22:19Z

Administrator：/* 论题4: 常用的记谱法阻碍微分音思维 */

== 论题1: 泛音列是一种人为构造 ==

单一声音的各分音构成的序列（[[泛音列]]）是微分音和声学的基础之一。这一序列可以从真实乐器的声音经傅里叶分析算出，也可以从这些声音的录音由窄带滤波器得到。这一计算的结果经由[[记谱法]]转移的和声和[[和弦]]有其自身的感官吸引力，且带来了音乐的更多可能性。

但是，“泛音列”是带有浓厚意识形态色彩的。甚至，它的名称也是独断的：''纯''律，''自然''律，好像其它一切都是“不纯”“非自然”的。

在这种情况下，任何试图精确捕捉泛音列的尝试都必然失败。傅里叶分析的前提是周期（总是精确保持不变）振动，但是真实的乐器声音会有持续但微小的变化，因此对音高的测量只能是近似的。另外，高次分音会偏移它们的理想位置（ 第n分音与基音的频率比未必精确地等于n ）。弦有质量或直径，因此它们的声学性质是（理想 ）弦与金属棒的声学性质[1]的结合；管乐器中，不仅是空气柱有震动，振动体本身也在振动，空气柱直径受其影响；诸如此类。

[1] 钢琴调音师知道这一问题：低音弦的第二分音([[2/1]])已经不准了，琴弦是根据分音而非基音调音的。

傅里叶分析的结果常称为“声谱”，可类比于光学的“光谱”。彩虹中的白光折射和声学分析也可类比。但是，它们有着根本的不同：光波的振动极快，也就是说对于光谱分析可用的振动次数极大，各次振动之间的变化或偏离是不重要的。声波的振动慢几个量级（一个A4=440 Hz的声音要约五万年才能达到一秒钟蓝光的振动次数）。特别地，在暂态过程中，声波在每一次振动中都有变化，这一变化体现了不同种类的声音的独特性。

分音在不变的，稳态声音中最容易听清：因此“自然音列”反而最容易从机器声（老式电冰箱，变电站，轮船引擎等）中听到。

将（总是近似测得的或在理想条件下计算的）分音转换为乐音不是将声音的“本性”转移到音乐里，而是一个自由的音乐选择。

用弦乐团演奏泛音列（将单一乐音的假想傅里叶分析的结果用多个乐器呈现）的结果就像用化学课墙上的蓝球和黑球表示氧原子一样。这一结果可能有高度的美学价值，但是它只是这一现象的（思想）模型。因此，弦乐团演奏的泛音列并未展示（乐音的 ）自然现象，而是从一个世界到另一个世界的转换，其结果是令人惊奇的声音。

将（管乐器）的泛音演奏法或超吹等价于分音也是错误的。

通过按钢琴琴弦，可以明显呈现第七分音，其与[[12ed2]]调和音的区别可以清楚地显示：按下钢琴上的C1，触碰琴弦的适当位置（琴弦长度1/7处 ）,对比C1产生的B♭3与钢琴上的B♭3按键的音高的区别，显然C1产生的B♭3比B♭3按键的音高更低。同样地，[[7/1]]低于12ed2小七度，但是钢琴的第七分音和7/1并不''一样''低。（Karl Valentin: 在那里？——我已经去过了！[2] 据回忆复述）

在弦乐器的微音定弦中，如果借助高次“自然”泛音（弦乐的泛音演奏法），在偏差太大时只会产生近似（音准）。

毫无疑问，自然泛音奏法和超吹是离开12ed2的好方法。但是，进入（虚拟的）泛音列需要更多操作。

我不会忘记在我的[https://www.bilibili.com/video/BV1Af4y1w7ok/ 第一弦乐四重奏]或[https://www.bilibili.com/video/BV1BX4y187C6 歌剧Nacht]，让弦乐把自然泛音奏法产生的音高与泛音列的音准对齐是多么难；或者在[https://www.bilibili.com/video/BV1Lr4y1r7eR/ in vain]中让小号和圆号的自然音高与泛音列对准是多么难——“自然”律是人工的。

综上：从“自然”律得到的声音是令人惊奇的，但是泛音列意识形态（“纯”，“自然”）只配进垃圾桶。分音列和其它音乐素材一样人工。

== 论题2: 音乐中的拍音是人类的需要 ==

如果你考察不同的音乐传统，你会在最广阔的范围里找到对“虚假”音高——与分音列音程有微小误差的音程——的追求，比如[[拉伸与压缩|拉伸或压缩的2/1]] （如甘美兰音乐的Slendro涉及2/1拉伸）或者接受接近（纯音程）的“略准”音程。即使在追求“纯音准”的印度音乐中，某些raga也包含至少一个与低声部3/2产生拍音的主音。三和弦（据说是来自于泛音列的）是西方音乐的单独事件（现已有广泛影响），不同的拍音经常在不同的文化传统中独立地出现。可以经验地证明：在不同音乐传统中找到的不是对泛音列的对应，而是对泛音列的偏移：不是融合，而是摩擦。

我认为12ed2的广泛传播并非是“''即使''它的音程是抽象的”，而是''因为''它的音程是抽象的：大三和弦和属七和弦都令人惊奇地“虚假”（产生拍音）。

在调性音乐的''实践''中有多种微音误差：合唱式弦乐揉弦（=微分音簇），歌剧中独唱演员唱得太大声（因此他们能够更好地被听到且声音更高），小提琴家的刻意的偏离正常音准的调律（…因此音乐厅里每个人都知道我演奏的八度双音''确实''有两个音…）等。这些拍音给音乐带来生命。

== 论题3: 微分音音乐中，同名音不（再）等价 ==
我们习惯于给音高（ 在一个2/1范围内的 ）名称，然后把它赋予某个八度等级（A♭就是A♭，无论是A♭2还是A♭4还是A♭6）。专注于历史和声的学院派音乐教育让学生们对八度移动不敏感：用“倒影”，“密集排列”，“开放排列”等术语让人认为声音的八度等级只是一个多余的特征，和弦仅由音的叠加构成（与八度等级无关）。音级集合理论将这一倾向延续到无调性音乐。这个抽象的原则在多大程度上实际上适用于历史音乐，不讨论。一个音程越小，它的声音越复杂，八度等级的选择就越有意义[3]。

[3] 微分音的先驱们已经在质疑八度等价性了。哈巴在他的和声教学中指出和弦中音程的意义不是八度等价的（毫无疑问，改变一个音程的某个音的八度等级就会改变这一音程的意义），但是他并未使其系统化。维施内格拉德斯基将他作品中的微分音资源安排成非八度周期循环，因此八度跳进可以和小二度旋律音程一样被分类。

泛音列中，考虑八度等级的需要变得尤其显然：第10分音比第5分音高2/1，并且，10/1也是被它的邻居9/1和11/1定义的，也就是与它相邻的音程更小（在这里是不同的二[[音阶|度]]）。

将奇数次分音向下移动2/1会改变整个泛音频谱，它也会将虚拟基频向下移动2/1. 比如，取C2的第8, 10, 11分音，分别为C5, E5, 和Fｷ5；将Fｷ5向下移动2/1，得到Fｷ4，则Fｷ4，C5, E5的频率比是11:16:20，虚拟基频为C1.

拍频对八度等级的改变是极其敏感的。将一个音程的两个音都上移2/1，得到的新音程的拍频完全不同（ 拍频的频率为两音频率之差，所以原本一秒n次的拍频在上移2/1之后是一秒2n次 ）。如果只有一个音上移了2/1，得到的结果有可能是全新的。（[4] 考虑8/7和7/4）

== 论题4: 常用的记谱法阻碍微分音思维 ==

[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称我们熟悉的记谱法]]，作为作曲家与演奏家之间仍然在很大程度上不可或缺的交流方式，是过去的遗迹（16世纪的管风琴记谱法改编）。为了用这种记谱法表示节奏的微小变化，力度层次，深浅层次，声音偏移，必须引入烦人的新字符。我们往往需要选择：只用暗示表示很多内容，或者使乐谱过于繁杂。

但是这种记谱法对于写微分音而言是不充分的。即使是12ed2的表示都称不上充分——每个音高需要一个字母和一个升降号。因为[[MOS音阶|自然七音]]体系的每步大小不同，等大的音程必须用不等大的方式记录，如增四度=减五度，小三度=增二度，等等。

借助更细微的音程，记录最小的差别不是问题，因为可以用特殊符号，但（这种方法）一涉及音程关系，谱子就乱了。“等音解释”是不可避免的。

两个例子：

1. （24ed2的）C-Dｷ-Fｷ与 Fｷ-A♭B 是同一和弦；

2. （72ed2的）4:5:6:7在C上为C-E↓-G-B♭↡，如果以B♭↡为低音则是B♭↡-Dd-F↡-G↟. 泛音七和弦成了加六和弦（简谱1-3-5-6的和弦，并非增六和弦）。

对于我来说，作曲意味着“用声音思考”。书写乐谱能够使用声音的思考可被传达，但是用书写对声音的表示有可能搅局。因此，我只在工作的最后阶段才书写微分音乐谱，而（音乐上的）决定早就做好了，并且尽可能长时间地寻找其他（仅供我自己阅读的）记谱方式。（[5]特别地，我想到了贾钦托·谢尔西，他可以完全不依赖乐谱）

G. F. Haas：微分音的五个论题

2026-07-14T09:22:11Z

Administrator：/* 论题4: 常用的记谱法阻碍微分音思维 */

== 论题1: 泛音列是一种人为构造 ==

单一声音的各分音构成的序列（[[泛音列]]）是微分音和声学的基础之一。这一序列可以从真实乐器的声音经傅里叶分析算出，也可以从这些声音的录音由窄带滤波器得到。这一计算的结果经由[[记谱法]]转移的和声和[[和弦]]有其自身的感官吸引力，且带来了音乐的更多可能性。

但是，“泛音列”是带有浓厚意识形态色彩的。甚至，它的名称也是独断的：''纯''律，''自然''律，好像其它一切都是“不纯”“非自然”的。

在这种情况下，任何试图精确捕捉泛音列的尝试都必然失败。傅里叶分析的前提是周期（总是精确保持不变）振动，但是真实的乐器声音会有持续但微小的变化，因此对音高的测量只能是近似的。另外，高次分音会偏移它们的理想位置（ 第n分音与基音的频率比未必精确地等于n ）。弦有质量或直径，因此它们的声学性质是（理想 ）弦与金属棒的声学性质[1]的结合；管乐器中，不仅是空气柱有震动，振动体本身也在振动，空气柱直径受其影响；诸如此类。

[1] 钢琴调音师知道这一问题：低音弦的第二分音([[2/1]])已经不准了，琴弦是根据分音而非基音调音的。

傅里叶分析的结果常称为“声谱”，可类比于光学的“光谱”。彩虹中的白光折射和声学分析也可类比。但是，它们有着根本的不同：光波的振动极快，也就是说对于光谱分析可用的振动次数极大，各次振动之间的变化或偏离是不重要的。声波的振动慢几个量级（一个A4=440 Hz的声音要约五万年才能达到一秒钟蓝光的振动次数）。特别地，在暂态过程中，声波在每一次振动中都有变化，这一变化体现了不同种类的声音的独特性。

分音在不变的，稳态声音中最容易听清：因此“自然音列”反而最容易从机器声（老式电冰箱，变电站，轮船引擎等）中听到。

将（总是近似测得的或在理想条件下计算的）分音转换为乐音不是将声音的“本性”转移到音乐里，而是一个自由的音乐选择。

用弦乐团演奏泛音列（将单一乐音的假想傅里叶分析的结果用多个乐器呈现）的结果就像用化学课墙上的蓝球和黑球表示氧原子一样。这一结果可能有高度的美学价值，但是它只是这一现象的（思想）模型。因此，弦乐团演奏的泛音列并未展示（乐音的 ）自然现象，而是从一个世界到另一个世界的转换，其结果是令人惊奇的声音。

将（管乐器）的泛音演奏法或超吹等价于分音也是错误的。

通过按钢琴琴弦，可以明显呈现第七分音，其与[[12ed2]]调和音的区别可以清楚地显示：按下钢琴上的C1，触碰琴弦的适当位置（琴弦长度1/7处 ）,对比C1产生的B♭3与钢琴上的B♭3按键的音高的区别，显然C1产生的B♭3比B♭3按键的音高更低。同样地，[[7/1]]低于12ed2小七度，但是钢琴的第七分音和7/1并不''一样''低。（Karl Valentin: 在那里？——我已经去过了！[2] 据回忆复述）

在弦乐器的微音定弦中，如果借助高次“自然”泛音（弦乐的泛音演奏法），在偏差太大时只会产生近似（音准）。

毫无疑问，自然泛音奏法和超吹是离开12ed2的好方法。但是，进入（虚拟的）泛音列需要更多操作。

我不会忘记在我的[https://www.bilibili.com/video/BV1Af4y1w7ok/ 第一弦乐四重奏]或[https://www.bilibili.com/video/BV1BX4y187C6 歌剧Nacht]，让弦乐把自然泛音奏法产生的音高与泛音列的音准对齐是多么难；或者在[https://www.bilibili.com/video/BV1Lr4y1r7eR/ in vain]中让小号和圆号的自然音高与泛音列对准是多么难——“自然”律是人工的。

综上：从“自然”律得到的声音是令人惊奇的，但是泛音列意识形态（“纯”，“自然”）只配进垃圾桶。分音列和其它音乐素材一样人工。

== 论题2: 音乐中的拍音是人类的需要 ==

如果你考察不同的音乐传统，你会在最广阔的范围里找到对“虚假”音高——与分音列音程有微小误差的音程——的追求，比如[[拉伸与压缩|拉伸或压缩的2/1]] （如甘美兰音乐的Slendro涉及2/1拉伸）或者接受接近（纯音程）的“略准”音程。即使在追求“纯音准”的印度音乐中，某些raga也包含至少一个与低声部3/2产生拍音的主音。三和弦（据说是来自于泛音列的）是西方音乐的单独事件（现已有广泛影响），不同的拍音经常在不同的文化传统中独立地出现。可以经验地证明：在不同音乐传统中找到的不是对泛音列的对应，而是对泛音列的偏移：不是融合，而是摩擦。

我认为12ed2的广泛传播并非是“''即使''它的音程是抽象的”，而是''因为''它的音程是抽象的：大三和弦和属七和弦都令人惊奇地“虚假”（产生拍音）。

在调性音乐的''实践''中有多种微音误差：合唱式弦乐揉弦（=微分音簇），歌剧中独唱演员唱得太大声（因此他们能够更好地被听到且声音更高），小提琴家的刻意的偏离正常音准的调律（…因此音乐厅里每个人都知道我演奏的八度双音''确实''有两个音…）等。这些拍音给音乐带来生命。

== 论题3: 微分音音乐中，同名音不（再）等价 ==
我们习惯于给音高（ 在一个2/1范围内的 ）名称，然后把它赋予某个八度等级（A♭就是A♭，无论是A♭2还是A♭4还是A♭6）。专注于历史和声的学院派音乐教育让学生们对八度移动不敏感：用“倒影”，“密集排列”，“开放排列”等术语让人认为声音的八度等级只是一个多余的特征，和弦仅由音的叠加构成（与八度等级无关）。音级集合理论将这一倾向延续到无调性音乐。这个抽象的原则在多大程度上实际上适用于历史音乐，不讨论。一个音程越小，它的声音越复杂，八度等级的选择就越有意义[3]。

[3] 微分音的先驱们已经在质疑八度等价性了。哈巴在他的和声教学中指出和弦中音程的意义不是八度等价的（毫无疑问，改变一个音程的某个音的八度等级就会改变这一音程的意义），但是他并未使其系统化。维施内格拉德斯基将他作品中的微分音资源安排成非八度周期循环，因此八度跳进可以和小二度旋律音程一样被分类。

泛音列中，考虑八度等级的需要变得尤其显然：第10分音比第5分音高2/1，并且，10/1也是被它的邻居9/1和11/1定义的，也就是与它相邻的音程更小（在这里是不同的二[[音阶|度]]）。

将奇数次分音向下移动2/1会改变整个泛音频谱，它也会将虚拟基频向下移动2/1. 比如，取C2的第8, 10, 11分音，分别为C5, E5, 和Fｷ5；将Fｷ5向下移动2/1，得到Fｷ4，则Fｷ4，C5, E5的频率比是11:16:20，虚拟基频为C1.

拍频对八度等级的改变是极其敏感的。将一个音程的两个音都上移2/1，得到的新音程的拍频完全不同（ 拍频的频率为两音频率之差，所以原本一秒n次的拍频在上移2/1之后是一秒2n次 ）。如果只有一个音上移了2/1，得到的结果有可能是全新的。（[4] 考虑8/7和7/4）

== 论题4: 常用的记谱法阻碍微分音思维 ==

[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称我们熟悉的记谱法]]，作为作曲家与演奏家之间仍然在很大程度上不可或缺的交流方式，是过去的遗迹（16世纪的管风琴记谱法改编）。为了用这种记谱法表示节奏的微小变化，力度层次，深浅层次，声音偏移，必须引入烦人的新字符。我们往往需要选择：只用暗示表示很多内容，或者使乐谱过于繁杂。

但是这种记谱法对于写微分音而言是不充分的。即使是12ed2的表示都称不上充分——每个音高需要一个字母和一个升降号。因为[[MOS音阶|自然七音]]体系的每步大小不同，等大的音程必须用不等大的方式记录，如增四度=减五度，小三度=增二度，等等。

借助更细微的音程，记录最小的差别不是问题，因为可以用特殊符号，但（这种方法）一涉及音程关系，谱子就乱了。“等音解释”是不可避免的。

两个例子：
1. （24ed2的）C-Dｷ-Fｷ与 Fｷ-A♭B 是同一和弦；
2. （72ed2的）4:5:6:7在C上为C-E↓-G-B♭↡，如果以B♭↡为低音则是B♭↡-Dd-F↡-G↟. 泛音七和弦成了加六和弦（简谱1-3-5-6的和弦，并非增六和弦）。

对于我来说，作曲意味着“用声音思考”。书写乐谱能够使用声音的思考可被传达，但是用书写对声音的表示有可能搅局。因此，我只在工作的最后阶段才书写微分音乐谱，而（音乐上的）决定早就做好了，并且尽可能长时间地寻找其他（仅供我自己阅读的）记谱方式。（[5]特别地，我想到了贾钦托·谢尔西，他可以完全不依赖乐谱）

G. F. Haas：微分音的五个论题

2026-07-14T08:55:44Z

Administrator：/* 论题3: 微分音音乐中，同名音不（再）等价 */

== 论题1: 泛音列是一种人为构造 ==

单一声音的各分音构成的序列（[[泛音列]]）是微分音和声学的基础之一。这一序列可以从真实乐器的声音经傅里叶分析算出，也可以从这些声音的录音由窄带滤波器得到。这一计算的结果经由[[记谱法]]转移的和声和[[和弦]]有其自身的感官吸引力，且带来了音乐的更多可能性。

但是，“泛音列”是带有浓厚意识形态色彩的。甚至，它的名称也是独断的：''纯''律，''自然''律，好像其它一切都是“不纯”“非自然”的。

在这种情况下，任何试图精确捕捉泛音列的尝试都必然失败。傅里叶分析的前提是周期（总是精确保持不变）振动，但是真实的乐器声音会有持续但微小的变化，因此对音高的测量只能是近似的。另外，高次分音会偏移它们的理想位置（ 第n分音与基音的频率比未必精确地等于n ）。弦有质量或直径，因此它们的声学性质是（理想 ）弦与金属棒的声学性质[1]的结合；管乐器中，不仅是空气柱有震动，振动体本身也在振动，空气柱直径受其影响；诸如此类。

[1] 钢琴调音师知道这一问题：低音弦的第二分音([[2/1]])已经不准了，琴弦是根据分音而非基音调音的。

傅里叶分析的结果常称为“声谱”，可类比于光学的“光谱”。彩虹中的白光折射和声学分析也可类比。但是，它们有着根本的不同：光波的振动极快，也就是说对于光谱分析可用的振动次数极大，各次振动之间的变化或偏离是不重要的。声波的振动慢几个量级（一个A4=440 Hz的声音要约五万年才能达到一秒钟蓝光的振动次数）。特别地，在暂态过程中，声波在每一次振动中都有变化，这一变化体现了不同种类的声音的独特性。

分音在不变的，稳态声音中最容易听清：因此“自然音列”反而最容易从机器声（老式电冰箱，变电站，轮船引擎等）中听到。

将（总是近似测得的或在理想条件下计算的）分音转换为乐音不是将声音的“本性”转移到音乐里，而是一个自由的音乐选择。

用弦乐团演奏泛音列（将单一乐音的假想傅里叶分析的结果用多个乐器呈现）的结果就像用化学课墙上的蓝球和黑球表示氧原子一样。这一结果可能有高度的美学价值，但是它只是这一现象的（思想）模型。因此，弦乐团演奏的泛音列并未展示（乐音的 ）自然现象，而是从一个世界到另一个世界的转换，其结果是令人惊奇的声音。

将（管乐器）的泛音演奏法或超吹等价于分音也是错误的。

通过按钢琴琴弦，可以明显呈现第七分音，其与[[12ed2]]调和音的区别可以清楚地显示：按下钢琴上的C1，触碰琴弦的适当位置（琴弦长度1/7处 ）,对比C1产生的B♭3与钢琴上的B♭3按键的音高的区别，显然C1产生的B♭3比B♭3按键的音高更低。同样地，[[7/1]]低于12ed2小七度，但是钢琴的第七分音和7/1并不''一样''低。（Karl Valentin: 在那里？——我已经去过了！[2] 据回忆复述）

在弦乐器的微音定弦中，如果借助高次“自然”泛音（弦乐的泛音演奏法），在偏差太大时只会产生近似（音准）。

毫无疑问，自然泛音奏法和超吹是离开12ed2的好方法。但是，进入（虚拟的）泛音列需要更多操作。

我不会忘记在我的[https://www.bilibili.com/video/BV1Af4y1w7ok/ 第一弦乐四重奏]或[https://www.bilibili.com/video/BV1BX4y187C6 歌剧Nacht]，让弦乐把自然泛音奏法产生的音高与泛音列的音准对齐是多么难；或者在[https://www.bilibili.com/video/BV1Lr4y1r7eR/ in vain]中让小号和圆号的自然音高与泛音列对准是多么难——“自然”律是人工的。

综上：从“自然”律得到的声音是令人惊奇的，但是泛音列意识形态（“纯”，“自然”）只配进垃圾桶。分音列和其它音乐素材一样人工。

== 论题2: 音乐中的拍音是人类的需要 ==

如果你考察不同的音乐传统，你会在最广阔的范围里找到对“虚假”音高——与分音列音程有微小误差的音程——的追求，比如[[拉伸与压缩|拉伸或压缩的2/1]] （如甘美兰音乐的Slendro涉及2/1拉伸）或者接受接近（纯音程）的“略准”音程。即使在追求“纯音准”的印度音乐中，某些raga也包含至少一个与低声部3/2产生拍音的主音。三和弦（据说是来自于泛音列的）是西方音乐的单独事件（现已有广泛影响），不同的拍音经常在不同的文化传统中独立地出现。可以经验地证明：在不同音乐传统中找到的不是对泛音列的对应，而是对泛音列的偏移：不是融合，而是摩擦。

我认为12ed2的广泛传播并非是“''即使''它的音程是抽象的”，而是''因为''它的音程是抽象的：大三和弦和属七和弦都令人惊奇地“虚假”（产生拍音）。

在调性音乐的''实践''中有多种微音误差：合唱式弦乐揉弦（=微分音簇），歌剧中独唱演员唱得太大声（因此他们能够更好地被听到且声音更高），小提琴家的刻意的偏离正常音准的调律（…因此音乐厅里每个人都知道我演奏的八度双音''确实''有两个音…）等。这些拍音给音乐带来生命。

== 论题3: 微分音音乐中，同名音不（再）等价 ==
我们习惯于给音高（ 在一个2/1范围内的 ）名称，然后把它赋予某个八度等级（A♭就是A♭，无论是A♭2还是A♭4还是A♭6）。专注于历史和声的学院派音乐教育让学生们对八度移动不敏感：用“倒影”，“密集排列”，“开放排列”等术语让人认为声音的八度等级只是一个多余的特征，和弦仅由音的叠加构成（与八度等级无关）。音级集合理论将这一倾向延续到无调性音乐。这个抽象的原则在多大程度上实际上适用于历史音乐，不讨论。一个音程越小，它的声音越复杂，八度等级的选择就越有意义[3]。

[3] 微分音的先驱们已经在质疑八度等价性了。哈巴在他的和声教学中指出和弦中音程的意义不是八度等价的（毫无疑问，改变一个音程的某个音的八度等级就会改变这一音程的意义），但是他并未使其系统化。维施内格拉德斯基将他作品中的微分音资源安排成非八度周期循环，因此八度跳进可以和小二度旋律音程一样被分类。

泛音列中，考虑八度等级的需要变得尤其显然：第10分音比第5分音高2/1，并且，10/1也是被它的邻居9/1和11/1定义的，也就是与它相邻的音程更小（在这里是不同的二[[音阶|度]]）。

将奇数次分音向下移动2/1会改变整个泛音频谱，它也会将虚拟基频向下移动2/1. 比如，取C2的第8, 10, 11分音，分别为C5, E5, 和Fｷ5；将Fｷ5向下移动2/1，得到Fｷ4，则Fｷ4，C5, E5的频率比是11:16:20，虚拟基频为C1.

拍频对八度等级的改变是极其敏感的。将一个音程的两个音都上移2/1，得到的新音程的拍频完全不同（ 拍频的频率为两音频率之差，所以原本一秒n次的拍频在上移2/1之后是一秒2n次 ）。如果只有一个音上移了2/1，得到的结果有可能是全新的。（[4] 考虑8/7和7/4）

== 论题4: 常用的记谱法阻碍微分音思维 ==

G. F. Haas：微分音的五个论题

2026-07-14T08:55:30Z

Administrator：

== 论题1: 泛音列是一种人为构造 ==

单一声音的各分音构成的序列（[[泛音列]]）是微分音和声学的基础之一。这一序列可以从真实乐器的声音经傅里叶分析算出，也可以从这些声音的录音由窄带滤波器得到。这一计算的结果经由[[记谱法]]转移的和声和[[和弦]]有其自身的感官吸引力，且带来了音乐的更多可能性。

但是，“泛音列”是带有浓厚意识形态色彩的。甚至，它的名称也是独断的：''纯''律，''自然''律，好像其它一切都是“不纯”“非自然”的。

在这种情况下，任何试图精确捕捉泛音列的尝试都必然失败。傅里叶分析的前提是周期（总是精确保持不变）振动，但是真实的乐器声音会有持续但微小的变化，因此对音高的测量只能是近似的。另外，高次分音会偏移它们的理想位置（ 第n分音与基音的频率比未必精确地等于n ）。弦有质量或直径，因此它们的声学性质是（理想 ）弦与金属棒的声学性质[1]的结合；管乐器中，不仅是空气柱有震动，振动体本身也在振动，空气柱直径受其影响；诸如此类。

[1] 钢琴调音师知道这一问题：低音弦的第二分音([[2/1]])已经不准了，琴弦是根据分音而非基音调音的。

傅里叶分析的结果常称为“声谱”，可类比于光学的“光谱”。彩虹中的白光折射和声学分析也可类比。但是，它们有着根本的不同：光波的振动极快，也就是说对于光谱分析可用的振动次数极大，各次振动之间的变化或偏离是不重要的。声波的振动慢几个量级（一个A4=440 Hz的声音要约五万年才能达到一秒钟蓝光的振动次数）。特别地，在暂态过程中，声波在每一次振动中都有变化，这一变化体现了不同种类的声音的独特性。

分音在不变的，稳态声音中最容易听清：因此“自然音列”反而最容易从机器声（老式电冰箱，变电站，轮船引擎等）中听到。

将（总是近似测得的或在理想条件下计算的）分音转换为乐音不是将声音的“本性”转移到音乐里，而是一个自由的音乐选择。

用弦乐团演奏泛音列（将单一乐音的假想傅里叶分析的结果用多个乐器呈现）的结果就像用化学课墙上的蓝球和黑球表示氧原子一样。这一结果可能有高度的美学价值，但是它只是这一现象的（思想）模型。因此，弦乐团演奏的泛音列并未展示（乐音的 ）自然现象，而是从一个世界到另一个世界的转换，其结果是令人惊奇的声音。

将（管乐器）的泛音演奏法或超吹等价于分音也是错误的。

通过按钢琴琴弦，可以明显呈现第七分音，其与[[12ed2]]调和音的区别可以清楚地显示：按下钢琴上的C1，触碰琴弦的适当位置（琴弦长度1/7处 ）,对比C1产生的B♭3与钢琴上的B♭3按键的音高的区别，显然C1产生的B♭3比B♭3按键的音高更低。同样地，[[7/1]]低于12ed2小七度，但是钢琴的第七分音和7/1并不''一样''低。（Karl Valentin: 在那里？——我已经去过了！[2] 据回忆复述）

在弦乐器的微音定弦中，如果借助高次“自然”泛音（弦乐的泛音演奏法），在偏差太大时只会产生近似（音准）。

毫无疑问，自然泛音奏法和超吹是离开12ed2的好方法。但是，进入（虚拟的）泛音列需要更多操作。

我不会忘记在我的[https://www.bilibili.com/video/BV1Af4y1w7ok/ 第一弦乐四重奏]或[https://www.bilibili.com/video/BV1BX4y187C6 歌剧Nacht]，让弦乐把自然泛音奏法产生的音高与泛音列的音准对齐是多么难；或者在[https://www.bilibili.com/video/BV1Lr4y1r7eR/ in vain]中让小号和圆号的自然音高与泛音列对准是多么难——“自然”律是人工的。

综上：从“自然”律得到的声音是令人惊奇的，但是泛音列意识形态（“纯”，“自然”）只配进垃圾桶。分音列和其它音乐素材一样人工。

== 论题2: 音乐中的拍音是人类的需要 ==

如果你考察不同的音乐传统，你会在最广阔的范围里找到对“虚假”音高——与分音列音程有微小误差的音程——的追求，比如[[拉伸与压缩|拉伸或压缩的2/1]] （如甘美兰音乐的Slendro涉及2/1拉伸）或者接受接近（纯音程）的“略准”音程。即使在追求“纯音准”的印度音乐中，某些raga也包含至少一个与低声部3/2产生拍音的主音。三和弦（据说是来自于泛音列的）是西方音乐的单独事件（现已有广泛影响），不同的拍音经常在不同的文化传统中独立地出现。可以经验地证明：在不同音乐传统中找到的不是对泛音列的对应，而是对泛音列的偏移：不是融合，而是摩擦。

我认为12ed2的广泛传播并非是“''即使''它的音程是抽象的”，而是''因为''它的音程是抽象的：大三和弦和属七和弦都令人惊奇地“虚假”（产生拍音）。

在调性音乐的''实践''中有多种微音误差：合唱式弦乐揉弦（=微分音簇），歌剧中独唱演员唱得太大声（因此他们能够更好地被听到且声音更高），小提琴家的刻意的偏离正常音准的调律（…因此音乐厅里每个人都知道我演奏的八度双音''确实''有两个音…）等。这些拍音给音乐带来生命。

== 论题3: 微分音音乐中，同名音不（再）等价 ==
我们习惯于给音高（ 在一个2/1范围内的 ）名称，然后把它赋予某个八度等级（A♭就是A♭，无论是A♭2还是A♭4还是A♭6）。专注于历史和声的学院派音乐教育让学生们对八度移动不敏感：用“倒影”，“密集排列”，“开放排列”等术语让人认为声音的八度等级只是一个多余的特征，和弦仅由音的叠加构成（与八度等级无关）。音级集合理论将这一倾向延续到无调性音乐。这个抽象的原则在多大程度上实际上适用于历史音乐，不讨论。一个音程越小，它的声音越复杂，八度等级的选择就越有意义[3]。

[3] 微分音的先驱们已经在质疑八度等价性了。哈巴在他的和声教学中指出和弦中音程的意义不是八度等价的（毫无疑问，改变一个音程的某个音的八度等级就会改变这一音程的意义），但是他并未使其系统化。维施内格拉德斯基将他作品中的微分音资源安排成非八度周期循环，因此八度跳进可以和小二度旋律音程一样被分类。

泛音列中，考虑八度等级的需要变得尤其显然：第10分音比第5分音高2/1，并且，10/1也是被它的邻居9/1和11/1定义的，也就是与它相邻的音程更小（在这里是不同的二[[音阶|度]]）。

将奇数次分音向下移动2/1会改变整个泛音频谱，它也会将虚拟基频向下移动2/1. 比如，取C2的第8, 10, 11分音，分别为C5, E5, 和Fｷ5；将Fｷ5向下移动2/1，得到Fｷ4，则Fｷ4，C5, E5的频率比是11:16:20，虚拟基频为C1.

拍频对八度等级的改变是极其敏感的。将一个音程的两个音都上移2/1，得到的新音程的拍频完全不同（ 拍频的频率为两音频率之差，所以原本一秒n次的拍频在上移之后是一秒2n次 ）。如果只有一个音上移了2/1，得到的结果有可能是全新的。（[4] 考虑8/7和7/4）

== 论题4: 常用的记谱法阻碍微分音思维 ==

G. F. Haas：微分音的五个论题

2026-07-14T08:54:47Z

Administrator：/* 论题3: 微分音音乐中，同名音不（再）等价 */

== 论题1: 泛音列是一种人为构造 ==

单一声音的各分音构成的序列（[[泛音列]]）是微分音和声学的基础之一。这一序列可以从真实乐器的声音经傅里叶分析算出，也可以从这些声音的录音由窄带滤波器得到。这一计算的结果经由[[记谱法]]转移的和声和[[和弦]]有其自身的感官吸引力，且带来了音乐的更多可能性。

但是，“泛音列”是带有浓厚意识形态色彩的。甚至，它的名称也是独断的：''纯''律，''自然''律，好像其它一切都是“不纯”“非自然”的。

在这种情况下，任何试图精确捕捉泛音列的尝试都必然失败。傅里叶分析的前提是周期（总是精确保持不变）振动，但是真实的乐器声音会有持续但微小的变化，因此对音高的测量只能是近似的。另外，高次分音会偏移它们的理想位置（ 第n分音与基音的频率比未必精确地等于n ）。弦有质量或直径，因此它们的声学性质是（理想 ）弦与金属棒的声学性质[1]的结合；管乐器中，不仅是空气柱有震动，振动体本身也在振动，空气柱直径受其影响；诸如此类。

[1] 钢琴调音师知道这一问题：低音弦的第二分音([[2/1]])已经不准了，琴弦是根据分音而非基音调音的。

傅里叶分析的结果常称为“声谱”，可类比于光学的“光谱”。彩虹中的白光折射和声学分析也可类比。但是，它们有着根本的不同：光波的振动极快，也就是说对于光谱分析可用的振动次数极大，各次振动之间的变化或偏离是不重要的。声波的振动慢几个量级（一个A4=440 Hz的声音要约五万年才能达到一秒钟蓝光的振动次数）。特别地，在暂态过程中，声波在每一次振动中都有变化，这一变化体现了不同种类的声音的独特性。

分音在不变的，稳态声音中最容易听清：因此“自然音列”反而最容易从机器声（老式电冰箱，变电站，轮船引擎等）中听到。

将（总是近似测得的或在理想条件下计算的）分音转换为乐音不是将声音的“本性”转移到音乐里，而是一个自由的音乐选择。

用弦乐团演奏泛音列（将单一乐音的假想傅里叶分析的结果用多个乐器呈现）的结果就像用化学课墙上的蓝球和黑球表示氧原子一样。这一结果可能有高度的美学价值，但是它只是这一现象的（思想）模型。因此，弦乐团演奏的泛音列并未展示（乐音的 ）自然现象，而是从一个世界到另一个世界的转换，其结果是令人惊奇的声音。

将（管乐器）的泛音演奏法或超吹等价于分音也是错误的。

通过按钢琴琴弦，可以明显呈现第七分音，其与[[12ed2]]调和音的区别可以清楚地显示：按下钢琴上的C1，触碰琴弦的适当位置（琴弦长度1/7处 ）,对比C1产生的B♭3与钢琴上的B♭3按键的音高的区别，显然C1产生的B♭3比B♭3按键的音高更低。同样地，[[7/1]]低于12ed2小七度，但是钢琴的第七分音和7/1并不''一样''低。（Karl Valentin: 在那里？——我已经去过了！[2] 据回忆复述）

在弦乐器的微音定弦中，如果借助高次“自然”泛音（弦乐的泛音演奏法），在偏差太大时只会产生近似（音准）。

毫无疑问，自然泛音奏法和超吹是离开12ed2的好方法。但是，进入（虚拟的）泛音列需要更多操作。

我不会忘记在我的[https://www.bilibili.com/video/BV1Af4y1w7ok/ 第一弦乐四重奏]或[https://www.bilibili.com/video/BV1BX4y187C6 歌剧Nacht]，让弦乐把自然泛音奏法产生的音高与泛音列的音准对齐是多么难；或者在[https://www.bilibili.com/video/BV1Lr4y1r7eR/ in vain]中让小号和圆号的自然音高与泛音列对准是多么难——“自然”律是人工的。

综上：从“自然”律得到的声音是令人惊奇的，但是泛音列意识形态（“纯”，“自然”）只配进垃圾桶。分音列和其它音乐素材一样人工。

== 论题2: 音乐中的拍音是人类的需要 ==

如果你考察不同的音乐传统，你会在最广阔的范围里找到对“虚假”音高——与分音列音程有微小误差的音程——的追求，比如[[拉伸与压缩|拉伸或压缩的2/1]] （如甘美兰音乐的Slendro涉及2/1拉伸）或者接受接近（纯音程）的“略准”音程。即使在追求“纯音准”的印度音乐中，某些raga也包含至少一个与低声部3/2产生拍音的主音。三和弦（据说是来自于泛音列的）是西方音乐的单独事件（现已有广泛影响），不同的拍音经常在不同的文化传统中独立地出现。可以经验地证明：在不同音乐传统中找到的不是对泛音列的对应，而是对泛音列的偏移：不是融合，而是摩擦。

我认为12ed2的广泛传播并非是“''即使''它的音程是抽象的”，而是''因为''它的音程是抽象的：大三和弦和属七和弦都令人惊奇地“虚假”（产生拍音）。

在调性音乐的''实践''中有多种微音误差：合唱式弦乐揉弦（=微分音簇），歌剧中独唱演员唱得太大声（因此他们能够更好地被听到且声音更高），小提琴家的刻意的偏离正常音准的调律（…因此音乐厅里每个人都知道我演奏的八度双音''确实''有两个音…）等。这些拍音给音乐带来生命。

== 论题3: 微分音音乐中，同名音不（再）等价 ==
我们习惯于给音高（ 在一个2/1范围内的 ）名称，然后把它赋予某个八度等级（A♭就是A♭，无论是A♭2还是A♭4还是A♭6）。专注于历史和声的学院派音乐教育让学生们对八度移动不敏感：用“倒影”，“密集排列”，“开放排列”等术语让人认为声音的八度等级只是一个多余的特征，和弦仅由音的叠加构成（与八度等级无关）。音级集合理论将这一倾向延续到无调性音乐。这个抽象的原则在多大程度上实际上适用于历史音乐，不讨论。一个音程越小，它的声音越复杂，八度等级的选择就越有意义[3]。

[3] 微分音的先驱们已经在质疑八度等价性了。哈巴在他的和声教学中指出和弦中音程的意义不是八度等价的（毫无疑问，改变一个音程的某个音的八度等级就会改变这一音程的意义），但是他并未使其系统化。维施内格拉德斯基将他作品中的微分音资源安排成非八度周期循环，因此八度跳进可以和小二度旋律音程一样被分类。

泛音列中，考虑八度等级的需要变得尤其显然：第10分音比第5分音高2/1，并且，10/1也是被它的邻居9/1和11/1定义的，也就是与它相邻的音程更小（在这里是不同的二[[音阶|度]]）。

将奇数次分音向下移动2/1会改变整个泛音频谱，它也会将虚拟基频向下移动2/1. 比如，取C2的第8, 10, 11分音，分别为C5, E5, 和Fｷ5；将Fｷ5向下移动2/1，得到Fｷ4，则Fｷ4，C5, E5的频率比是11:16:20，虚拟基频为C1.

拍频对八度等级的改变是极其敏感的。将一个音程的两个音都上移2/1，得到的新音程的拍频完全不同（ 拍频的频率为两音频率之差，所以原本一秒n次的拍频在上移之后是一秒2n次 ）。如果只有一个音上移了2/1，得到的结果有可能是全新的。（[4] 考虑8/7和7/4）

G. F. Haas：微分音的五个论题

2026-07-14T08:54:27Z

Administrator：/* 论题3: 微分音音乐中，同名音不（再）等价 */

== 论题1: 泛音列是一种人为构造 ==

单一声音的各分音构成的序列（[[泛音列]]）是微分音和声学的基础之一。这一序列可以从真实乐器的声音经傅里叶分析算出，也可以从这些声音的录音由窄带滤波器得到。这一计算的结果经由[[记谱法]]转移的和声和[[和弦]]有其自身的感官吸引力，且带来了音乐的更多可能性。

但是，“泛音列”是带有浓厚意识形态色彩的。甚至，它的名称也是独断的：''纯''律，''自然''律，好像其它一切都是“不纯”“非自然”的。

在这种情况下，任何试图精确捕捉泛音列的尝试都必然失败。傅里叶分析的前提是周期（总是精确保持不变）振动，但是真实的乐器声音会有持续但微小的变化，因此对音高的测量只能是近似的。另外，高次分音会偏移它们的理想位置（ 第n分音与基音的频率比未必精确地等于n ）。弦有质量或直径，因此它们的声学性质是（理想 ）弦与金属棒的声学性质[1]的结合；管乐器中，不仅是空气柱有震动，振动体本身也在振动，空气柱直径受其影响；诸如此类。

[1] 钢琴调音师知道这一问题：低音弦的第二分音([[2/1]])已经不准了，琴弦是根据分音而非基音调音的。

傅里叶分析的结果常称为“声谱”，可类比于光学的“光谱”。彩虹中的白光折射和声学分析也可类比。但是，它们有着根本的不同：光波的振动极快，也就是说对于光谱分析可用的振动次数极大，各次振动之间的变化或偏离是不重要的。声波的振动慢几个量级（一个A4=440 Hz的声音要约五万年才能达到一秒钟蓝光的振动次数）。特别地，在暂态过程中，声波在每一次振动中都有变化，这一变化体现了不同种类的声音的独特性。

分音在不变的，稳态声音中最容易听清：因此“自然音列”反而最容易从机器声（老式电冰箱，变电站，轮船引擎等）中听到。

将（总是近似测得的或在理想条件下计算的）分音转换为乐音不是将声音的“本性”转移到音乐里，而是一个自由的音乐选择。

用弦乐团演奏泛音列（将单一乐音的假想傅里叶分析的结果用多个乐器呈现）的结果就像用化学课墙上的蓝球和黑球表示氧原子一样。这一结果可能有高度的美学价值，但是它只是这一现象的（思想）模型。因此，弦乐团演奏的泛音列并未展示（乐音的 ）自然现象，而是从一个世界到另一个世界的转换，其结果是令人惊奇的声音。

将（管乐器）的泛音演奏法或超吹等价于分音也是错误的。

通过按钢琴琴弦，可以明显呈现第七分音，其与[[12ed2]]调和音的区别可以清楚地显示：按下钢琴上的C1，触碰琴弦的适当位置（琴弦长度1/7处 ）,对比C1产生的B♭3与钢琴上的B♭3按键的音高的区别，显然C1产生的B♭3比B♭3按键的音高更低。同样地，[[7/1]]低于12ed2小七度，但是钢琴的第七分音和7/1并不''一样''低。（Karl Valentin: 在那里？——我已经去过了！[2] 据回忆复述）

在弦乐器的微音定弦中，如果借助高次“自然”泛音（弦乐的泛音演奏法），在偏差太大时只会产生近似（音准）。

毫无疑问，自然泛音奏法和超吹是离开12ed2的好方法。但是，进入（虚拟的）泛音列需要更多操作。

我不会忘记在我的[https://www.bilibili.com/video/BV1Af4y1w7ok/ 第一弦乐四重奏]或[https://www.bilibili.com/video/BV1BX4y187C6 歌剧Nacht]，让弦乐把自然泛音奏法产生的音高与泛音列的音准对齐是多么难；或者在[https://www.bilibili.com/video/BV1Lr4y1r7eR/ in vain]中让小号和圆号的自然音高与泛音列对准是多么难——“自然”律是人工的。

综上：从“自然”律得到的声音是令人惊奇的，但是泛音列意识形态（“纯”，“自然”）只配进垃圾桶。分音列和其它音乐素材一样人工。

== 论题2: 音乐中的拍音是人类的需要 ==

如果你考察不同的音乐传统，你会在最广阔的范围里找到对“虚假”音高——与分音列音程有微小误差的音程——的追求，比如[[拉伸与压缩|拉伸或压缩的2/1]] （如甘美兰音乐的Slendro涉及2/1拉伸）或者接受接近（纯音程）的“略准”音程。即使在追求“纯音准”的印度音乐中，某些raga也包含至少一个与低声部3/2产生拍音的主音。三和弦（据说是来自于泛音列的）是西方音乐的单独事件（现已有广泛影响），不同的拍音经常在不同的文化传统中独立地出现。可以经验地证明：在不同音乐传统中找到的不是对泛音列的对应，而是对泛音列的偏移：不是融合，而是摩擦。

我认为12ed2的广泛传播并非是“''即使''它的音程是抽象的”，而是''因为''它的音程是抽象的：大三和弦和属七和弦都令人惊奇地“虚假”（产生拍音）。

在调性音乐的''实践''中有多种微音误差：合唱式弦乐揉弦（=微分音簇），歌剧中独唱演员唱得太大声（因此他们能够更好地被听到且声音更高），小提琴家的刻意的偏离正常音准的调律（…因此音乐厅里每个人都知道我演奏的八度双音''确实''有两个音…）等。这些拍音给音乐带来生命。

== 论题3: 微分音音乐中，同名音不（再）等价 ==
我们习惯于给音高（ 在一个2/1范围内的 ）名称，然后把它赋予某个八度等级（A♭就是A♭，无论是A♭2还是A♭4还是A♭6）。专注于历史和声的学院派音乐教育让学生们对八度移动不敏感：用“倒影”，“密集排列”，“开放排列”等术语让人认为声音的八度等级只是一个多余的特征，和弦仅由音的叠加构成（与八度等级无关）。音级集合理论将这一倾向延续到无调性音乐。这个抽象的原则在多大程度上实际上适用于历史音乐，不讨论。一个音程越小，它的声音越复杂，八度等级的选择就越有意义[3]。

[3] 微分音的先驱们已经在质疑八度等价性了。哈巴在他的和声教学中指出和弦中音程的意义不是八度等价的（毫无疑问，改变一个音程的某个音的八度等级就会改变这一音程的意义），但是他并未使其系统化。维施内格拉德斯基将他作品中的微分音资源安排成非八度周期循环，因此八度跳进可以和小二度旋律音程一样被分类。

泛音列中，考虑八度等级的需要变得尤其显然：第10分音比第5分音高2/1，并且，10/1也是被它的邻居9/1和11/1定义的，也就是与它相邻的音程更小（在这里是不同的二[[音阶|度]]）。

将奇数次分音向下移动2/1会改变整个泛音频谱，它也会将虚拟基频向下移动2/1. 比如，取C2的第8, 10, 11分音，分别为C5, E5, 和Fｷ5；将Fｷ5向下移动2/1，得到Fｷ4，则Fｷ4，C5, E5的频率比是11:16:20，虚拟基频为C1.

拍频对八度等级的改变是极其敏感的。将一个音程的两个音都上移2/1，得到的新音程的拍频完全不同（ 拍频的频率为两音频率之差，所以原本一秒n次的拍频在上移之后是一秒2n次 ）。如果只有一个音上移了2/1，得到的结果有可能是全新的（[4] 考虑8/7和7/4）.

G. F. Haas：微分音的五个论题

2026-07-14T08:46:38Z

Administrator：/* 论题1: 泛音列是一种人为构造 */

G. F. Haas：微分音的五个论题

2026-07-14T08:46:10Z

Administrator：/* 论题1: 泛音列是一种人为构造 */

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一致限

2026-07-14T08:06:18Z

Administrator：

以下为各平均律的[[一致]]限。

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一致限

2026-07-14T07:56:50Z

Administrator：

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一致限

2026-07-14T07:56:17Z

Administrator：

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一致限

2026-07-14T07:55:44Z

Administrator：

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一致限

2026-07-14T07:55:32Z

Administrator：

以下为各平均律的[[一致]]限。

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一致限

2026-07-14T07:55:16Z

Administrator：创建页面，内容为“以下为各平均律的一致限。 {| class="wikitable" |. |+0 |+1 |+2 |+3 |+4 |+5 |+6 |+7 |+8 |+9 |- | 0 |1|2|3|4|5|6|7|8|9 |}”

以下为各平均律的[[一致]]限。

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一致

2026-07-14T07:50:02Z

Administrator：

给定[[平均律]]和纯律音程a/b, 有两种逼近a/b的方式：
* 用n平均律的映射行乘以a/b的质因列，得数为m，选取m\n为a/b的逼近；
* 直接选择距离a/b最近的音程。

如果这两者结果相同，那么称n平均律对a/b'''一致'''。

如果n是使得平均律M对{1,2,…,n}构成的所有音程都一致的最大正整数，那么称M的'''一致限'''是n.

== 例子 ==
27平均律的3/1是43步，11/1是93步，因此按照第一种算法得到的11/9是7\27, 而11/9≈7.82\27，第二种算法得到的是8\27, 因此27平均律对11/9是不一致的。

27平均律无法准确逼近8:9:11和弦：

* (0,5,12)\27能正确逼近包含根音的两个音程，但是第二音与冠音构成音程7\27，代表6/5(5限小三度)而非11/9(中三度)；

[[文件:0 5 12.mp3]]

* (0,5,13)\27能正确逼近包含第二音的两个音程，但是根音与冠音构成音程13\27，代表7/5(窄三全音)而非11/8(半增四度)；

[[文件:0 5 13.mp3]]

* (0,4,12)\27能正确逼近包含冠音的两个音程，但是根音与第二音构成音程4\27，代表10/9而非9/8.

[[文件:0 4 12.mp3]]

它们都是听觉上不可信的。以下是正确的8:9:11:

[[文件:Ture.mp3]]

== 另见 ==
* [[一致限]] (列表)

64/63

2026-07-14T07:43:52Z

Administrator：/* 参考 */

{| style="float:right; border:1px solid black; background-color: #f0f0f0; border-collapse: collapse;"
!colspan="2" | 音程信息
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;名称 &ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 8间差&ensp;
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;有理比例&ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 64/63&ensp;
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;质因列&ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | [6 -2 0 -1>&ensp;
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;质因式&ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | A6b2d&ensp;
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;质数子群&ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 2.3.7&ensp;
|}

8间差（64/63）是9/8和8/7之间的7限音差，它可以视为[[81/80]]在2.3.7子群的对应。它可以将复杂的[[3限]]音程与简单的[[7限]]音程合一，比如32/27与7/6就相差64/63，81/64与9/7也相差64/63.

== 调律 ==
[[调和]]64/63产生[[2.3.7/(64/63)|八间律]]，其中[[9/8]]和[[8/7]]相等，[[7/4]]和[[16/9]]相等。因此属七和弦36:45:54:64与泛音七和弦4:5:6:7相等。[[12ed2|12]], [[15ed2|15]], [[17ed2|17]], [[22ed2|22]], [[27ed2|27]]平均律调和64/63.

调和64/63后，大三和弦1:81/64:3/2变成了14:18:21，小三和弦1:32/27:3/2变成了6:7:9. 对比调和81/80的情况：大三和弦是4:5:6，小三和弦是10:12:15.

== 音差泵 ==
2.3.7子群的16251进行会升高一个64/63，类似于2.3.5子群的16251进行会降低一个81/80.

== 记谱 ==
64/63是[[FJS]]和[[矢状记谱法]]的形式音差，在unicode中以ﾚ(63/64)和𐊓(64/63)表示。<ref> [https://zhuanlan.zhihu.com/p/1213957321 微分音音乐理论术语表]</ref>

== 作为音程 ==
4/3-21/16-5/4进行中涉及64/63作为旋律音程。

== 另见 ==

* [[81/80]]

== 参考 ==
[[Category:7限音程]]
[[Category:音差]]
[[Category:间差]]

首页

2026-04-26T05:22:32Z

Administrator：/* 律制 */

== 欢迎来到律学维基！ ==
律学维基是一个开放的、协作的音乐律学知识库与调谐系统指南。我们致力于系统化地梳理与呈现人类音乐中丰富多彩的音高组织智慧。

我们的涵盖范围包括：

* 理论体系：从[[纯律]]、[[五度相生律]]到[[12ed2|十二平均律]]及现代微分音理论。
* 历史实践：深入挖掘西方古乐调律，如[[2.3.5/(81/80)|中庸全音律（meantone）]]、瓦洛蒂调律等。
* 全球传统：印度拉格、波斯-阿拉伯玛卡姆、中国琴律、印尼甘美兰调律等。
* 实际应用：提供律制对比音频、乐器调音指南，并探讨其在当代创作、演奏与数字音乐中的实践。

无论您是学者、音乐家、制琴师，还是纯粹好奇的爱好者，律学维基都邀请您一同探索、聆听并参与构建这个关于音高宇宙的公共知识宝藏。

== 初学者页面 ==
你是否曾好奇，为什么有些音符组合起来悦耳和谐，有些却略显紧张？为什么不同的乐器调音方式会塑造出截然不同的音乐色彩？答案，就藏在音律学之中。

音律学是音乐背后的“数学与密码”，它研究我们如何定义、划分和组织音高。它不像乐理那样直接教你写旋律，而是为你揭示声音之所以成为音乐的根本法则——从物理振动到听觉感知，从古希腊到全球各地，人类如何用智慧“雕刻”出千变万化的音高体系。

这个初学者页面是你探索旅程的第一张地图。我们将从最核心的概念出发，循序渐进地搭建理解框架：

==== 一、声音与音高基础 ====

# [[乐音]] (Musical Tone)
# 音高 (Pitch)
# 音符 (Note) 与音符命名系统
# 标准音高 (A4 = 440 Hz)

==== 二、频率与音程 ====

# 频率比与音程 (Interval)
# 上行音程、下行音程与完全一度
# 音程的[[转位]]关系

==== 三、八度等价与音高组织 ====

# 八度等价 (Octave Equivalence) ''注：此处特指“八度平均划分”体系下的等价关系''
# 等价类 (Equivalence Class) 概念
# 音符类 (Note Class)

==== 四、泛音与沉音 ====

# [[泛音列]] (Harmonic Series)
# [[沉音列]] (Undertone series)

==== 五、音分系统 ====

# [[音分]] (Cent) 的定义以及推导
# 音程单位转换与对数关系

==== 六、音阶与律制入门 ====

# [[音阶]]的一般理论
# [[MOS]]音阶
# [[矢状记谱法]]（[[矢状记谱法|sagittal notation]]）
# [[FJS记谱法]]
# 律制系统概述
#* [[五度相生律]]
#* [[5限纯律]]
#* [[平均律]]
# 音差概念
#* 毕达哥拉斯音差（[[531441/524288]]）
#* 合音差（[[81/80]]）
#* [[间差]]
#* [[点差]]

==== 七、调律与调音 ====
# [[规则调律理论]]
# [[音程复杂度]]
# [[最优调音]]

==== 八、常见错误观点 ====

# [[常见错误观点]]

== 音程 ==
[[5/4]]

[[7/6]]

[[8/7]]

[[81/80]]

[[225/224]]

[[4375/4374]]

== 律制 ==
[[3限纯律]]

[[12ed2]]

[[31ed2]]

[[53ed2]]

[[2.3.5/(81/80)]]

[[2.3.5.7/(81/80,225/224)]]

[[2.3.7/(1029/1024)]]

[[2.3.5.7/(225/224,1029/1024)]]

[[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]

== 术语 ==
[[me/ie]]

[[超3限简单音程的命名]]

[[X分Y差]]

[[和弦]]

[[负和声]]

[[对称和弦]]

[[谐波限]]

[[平移]]

[[和声熵]]

== 和弦 ==
[[5限和弦]]

[[7限和弦]]

== 音阶 ==

[[音阶]]

[[中立音]]

== 记谱法 ==
[[半整数升降]]

== 精度 ==
[[平均律误差]]

[[Zeta调律]]

== 乐器 ==

[https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%8F%B7/1474939 自然号]

== 音乐 ==

[https://www.bilibili.com/video/BV1bgsdznEKR/ 在林中]

[https://musescore.com/user/10794916/scores/6240657 Nokia Arabic Ringtone]

== 入门 ==
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Configuration_settings MediaWiki配置设置列表]
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ/zh-hans MediaWiki常见问题]
* [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/mediawiki-announce.lists.wikimedia.org/ MediaWiki发布邮件列表]
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Localisation#Translation_resources 本地化MediaWiki到您的语言]
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Combating_spam 了解如何在您的wiki上打击破坏]

超3限简单音程的命名

2026-04-11T04:39:21Z

Administrator：

若纯律音程y可化为<math>\frac{2^{n}}{3^{m}} \times (2.3.p\text{子群的形式音差})^{x}</math>的形式，其中n,m皆为整数，x为非0整数，且x的值取其它非0整数时会使得整个式子的Tenney norm更大，那么此时y被称为p纯（<math>\frac{2^{n}}{3^{m}}\text{所对应的fjs名称}</math>）。

== 例子 ==
81/80为5纯纯一度，5/4为5纯大三度，6/5为5纯小三度，7/4为7纯小七度，7/6为7纯小三度，11/9为11纯小三度。

= 未完成 =
添加含多个超3限谐波子群的拓展

谐波限

2026-03-31T18:50:34Z

Administrator：

谐波限是一类约束纯律音程或纯律和弦谐波的方法。最小谐波限小于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度受限的，也就是它们较为简单。最大超谐波限大于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度超限的，也就是它们较为复杂。

以下假设纯律音程a/b中的a, b是整数且没有大于1的公因子。

== 谐波限的类型 ==
=== 质数限 ===
设a/b是纯律音程，将a/b写成 <math>{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}</math>的形式，其中<math>{p_1} \cdots {p_k}</math>为互不相同的质数， <math>{n_1}\cdots {n_k}</math>为非零整数，则a/b的质数限不小于<math>{p_1} \cdots {p_k}</math>的最大者。

设p为质数，所有质数限不超过p的纯律音程的全体构成一个[[子群]]，称为p限子群。

注：不要将m限音程写成m-限音程。短横线仅应用于连接两个专有名词。<ref> [https://zhuanlan.zhihu.com/p/1213957321 微分音音乐理论术语表]</ref>

=== 奇数限 ===
设a/b是纯律音程，将a/b写成 <math>{2}^{n}{q_1}/{q_2}</math>的形式，其中n是整数，<math>{q_1}</math>和<math>{q_2}</math>是奇数，则a/b的奇数限不小于<math>max({q_1}, {q_2})</math>.

设p为奇数，所有大小在[1/1, 2/1]之内的奇数限不超过p的纯律音程的全体称为'''p奇数限'''(p-odd-limit tonality diamond)。

=== 整数限 ===
纯律音程a/b的整数限不小于max(a, b).

=== 和弦的质数限 ===
和弦的质数限不小于各个组成音程质数限的最大者。

=== 和弦的整数限 ===
和弦<math>x_1:x_2:...:x_n</math> (<math>x_1, x_2, ..., x_n</math>为整数且没有大于1的公因子) 的整数限不小于<math>\max(x_1, x_2, ..., x_n)</math>.

== 超谐波限 ==
设a/b是纯律音程，其最小谐波限制y大于x，则称a/b为x超谐波限音程。

=== 和弦的超谐波限 ===
和弦的超谐波限不大于各个组成音程最大的超谐波限中最大者。

== 例子 ==
* 音程16/15的质数限≥5, 奇数限≥15, 整数限≥16,同时是超3质数限与超11奇数限音程.

* 和弦4:5:6的质数限≥5, 整数限≥6,同时是超3质数限与超5整数限和弦.

* 一个2/1内的7奇数限音程的全体是1/1, 8/7, 7/6, 6/5, 5/4, 4/3, 7/5, 10/7, 3/2, 8/5, 5/3, 12/7, 7/4, 2/1.

== 具体质数谐波的限制 ==
[[具体质数谐波的限制]]

== 谐波限的组合 ==
质数限、奇数限、整数限、超质数限、超奇数限、超整数限作为约束条件可以组合，p质数限n奇数限m整数限q超质数限a超奇数限b超整数限是质数限不超过p、奇数限不超过n、整数限不超过m、超质数限不超过q、超奇数限不超过a、超整数限不超过b的音程全体。

例：5限15奇数限超3奇数限的音程全体是16/15, 15/8, 10/9, 9/5, 9/8, 16/9, 6/5, 5/3, 5/4, 8/5以及它们增加（或减少）任意个2/1得到的音程全体。

== 参考 ==

<references/>

具体质数谐波的限制

2026-03-31T18:48:00Z

Administrator：创建页面，内容为“设a/b是纯律音程，将a/b写成<math>{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}</math>的形式，其中<math>{p_1} \cdots {p_k}</math>为互不相同的质数，<math>{n_1}\cdots {n_k}</math>皆为非零整数.其中<math>{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}</math>若有质数p的指数不为0，则称a/b为含p音程. === p/与/p音程 === 若<math>{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}</math>其中质数p的指数为正数，则称a/b为p/音程…”

设a/b是纯律音程，将a/b写成<math>{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}</math>的形式，其中<math>{p_1} \cdots {p_k}</math>为互不相同的质数，<math>{n_1}\cdots {n_k}</math>皆为非零整数.其中<math>{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}</math>若有质数p的指数不为0，则称a/b为含p音程.

=== p/与/p音程 ===
若<math>{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}</math>其中质数p的指数为正数，则称a/b为p/音程.若<math>{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}</math>其中质数p的指数为负数，则称a/b为/p音程.

== 和弦的具体谐波的限制 ==
若和弦中任意一音程为含p音程，则该和弦含p。

和声熵

2026-03-30T03:36:21Z

Administrator：/* 另见 */

'''和声熵'''是衡量[[和弦]]和谐程度的方式。和声熵的基本假设是：一个和弦越容易被识别为某个模板和弦，它就越和谐；一个和弦越不容易被识别为任一模板和弦，它就越不和谐。

== 模型 ==
假设我们研究的和弦都由k个音组成。令<math>X=\{ X_n\}</math>为模板和弦的集合，其元素为<math>k</math>音和弦<math> X_n=X_{n1}:...:X_{nk}</math>. 为了使用贝叶斯公式，假设和弦<math> X_n</math>出现的先验概率是<math>P(X_n)</math>.

按照先验概率随机选择一个和弦<math> X_n</math>, 接收者会接受到信号<math>Y</math>, 它是<math> X_n</math>的近似。为了从<math>Y</math>复原<math>X_n</math>，使用贝叶斯公式：<math>P(X_n|Y) = (P(Y|X_n)P(X_n))/ \sum P(Y|x)P(x) </math>

使得<math>f(x)=P(x|Y)</math>最大的模板和弦<math>X_n</math>是信号<math>Y</math>最有可能对应的模板和弦。接收者对和弦<math>Y</math>是<math>X_n</math>的置信程度是<math>\max_x f(x)</math>. 置信程度<math>\max_x f(x)</math>越大，接受者就越容易把<math>Y</math>识别为某个模板和弦，<math>Y</math>就越和谐。

考虑到<math>\max_x f(x)</math>等价于α=+∞的[https://mathworld.wolfram.com/RenyiEntropy.html Rényi熵]，我们也可以考虑α为有限值的Rényi熵，如α=1对应的[https://mathworld.wolfram.com/Entropy.html Shannon熵]。熵值越低，接受者就越容易把<math>Y</math>识别为某个模板和弦，<math>Y</math>就越和谐。

== 细节 ==

* 模板和弦的集合<math>X=\{ X_n\}</math>可以取[[整数限]]和[[质数限]]有限的和弦，或者质数限有限的和弦，或者一切k音纯律和弦。如果选择第一个选项，<math>P(X_n)</math>可以任意选择；如果选择第二个选项，<math>P(X_n)</math>可以选择为<math>1/s(X_n)^\beta</math>, 其中<math>s(X_n)</math>表示<math>X_n</math>的整数限，<math>\beta</math>为大于0的常数；如果选择第三个选项，<math>P(X_n)</math>可以选择为<math>1/(X_{n1}X_{n2}...X_{nk})^\beta</math>,<math>\beta</math>大于1的常数，这里要求<math>X_{n1}, X_{n2}, ...,X_{nk}</math>是正整数且没有大于1的公因子。
* 以上三种选择和弦的方式会给[[泛音列]]的靠近基音的子集较低的和声熵，泛音列的远离基音的子集较高的和声熵。
* 鉴于人耳的对音程的识别误差可以用[[音分]]而不是赫兹数表示，假设<math>X_n</math>的音分为<math>x_1</math>¢,...,<math>x_k</math>¢, <math>Y</math>的音分为<math>y_1</math>¢,...,<math>y_k</math>¢, 则<math>y_1=x_1+\epsilon_1</math>, ..., <math>y_k=x_k+\epsilon_k</math>，其中<math>\epsilon_1, ..., \epsilon_n</math>为独立同分布的正态随机变量，其均值为0，其标准差是自由参数σ。
* 计算<math>P(Y|X_n)</math>的方式如下：将<math>X_n</math>写成音分<math>x_1</math>¢, ..., <math>x_k</math>¢, <math>Y</math>写成音分<math>y_1</math>¢, ..., <math>y_k</math>¢, 顺序为从小到大，且使得<math>x_1+...+x_k=y_1+...+y_k</math> (这相当于给和弦的频率比的每一项乘以一个常数)，则<math>P(Y|X_n)</math>正比于<math>\exp(-((x_1-y_1)^2+...+(x_k-y_k)^2)/{2\sigma^2})</math>.

== 性质 ==
* 和声熵只取决于和弦的频率比，不取决于音区（和弦的频率）和音色。
* 计算和声熵需要预先知道k的值，当k很大时(≥4)，计算和声熵将变得困难。
* 和声熵并不会因为和弦的两个音趋于相同而减少，这是因为让两音相同会远离模板和弦。
* 使用和声熵时可以拒绝承认某个素数具有和声意义，只要在模板和弦里删除包含这一素数因子的和弦即可。

== 数据 ==
以下是三音和弦1:x:y的和声熵，其中x, y分别为横纵坐标，模板和弦为所有的3音纯律和弦，先验概率为<math>P(X_n)=1/(X_{n1}X_{n2}X_{n3})^2</math>；观测误差<math>\epsilon_1, ..., \epsilon_n</math>为正态分布随机变量，均值为0，标准差为9[[间差]](21.51¢)；置信程度取<math>\max_x f(x)</math>. 和声熵数据的误差不超过0.005.

[[文件:3321.png|3音和弦的和声熵]]

当模板和弦的个数有限且扰动的标准差σ趋于0时，平面上表示纯律和弦的点的 [https://mathworld.wolfram.com/VoronoiDiagram.html Voronoi 图] 的每个胞腔区域内对这个胞腔内的最邻近点的置信程度趋于1，而胞腔边缘和顶点则不是。这张图虽然考虑了无穷多模板和弦，但是效果上类似于模板和弦的个数有限。

以下是三音和弦1:x:3/2的和声熵，其中x为横坐标，模板和弦为3音纯律和弦，质数限为5或7；先验概率为<math>P(X_n)=1/(X_{n1}X_{n2}X_{n3})^2</math>；观测误差<math>\epsilon_1, ..., \epsilon_n</math>为正态分布随机变量，均值为0，标准差为9间差；置信程度取<math>\max_x f(x)</math>. 和声熵数据的误差不超过0.005.

[[文件:13532.png|3音和弦的和声熵]]

红色曲线在1.5处值较小，其对应和弦为16:24:25. 这说明限制质数限会清除本来不和谐的和弦周围的和弦，从而降低其和声熵，因此限制质数限的做法应该视为简化计算的方式，而非对于某种“p限和谐度”的逼近。

== 另见 ==
* [[Zeta调律]]
* [[频谱熵]]
[[Category:连续音高]]

和声熵

2026-03-30T03:35:54Z

Administrator：

'''和声熵'''是衡量[[和弦]]和谐程度的方式。和声熵的基本假设是：一个和弦越容易被识别为某个模板和弦，它就越和谐；一个和弦越不容易被识别为任一模板和弦，它就越不和谐。

== 模型 ==
假设我们研究的和弦都由k个音组成。令<math>X=\{ X_n\}</math>为模板和弦的集合，其元素为<math>k</math>音和弦<math> X_n=X_{n1}:...:X_{nk}</math>. 为了使用贝叶斯公式，假设和弦<math> X_n</math>出现的先验概率是<math>P(X_n)</math>.

按照先验概率随机选择一个和弦<math> X_n</math>, 接收者会接受到信号<math>Y</math>, 它是<math> X_n</math>的近似。为了从<math>Y</math>复原<math>X_n</math>，使用贝叶斯公式：<math>P(X_n|Y) = (P(Y|X_n)P(X_n))/ \sum P(Y|x)P(x) </math>

使得<math>f(x)=P(x|Y)</math>最大的模板和弦<math>X_n</math>是信号<math>Y</math>最有可能对应的模板和弦。接收者对和弦<math>Y</math>是<math>X_n</math>的置信程度是<math>\max_x f(x)</math>. 置信程度<math>\max_x f(x)</math>越大，接受者就越容易把<math>Y</math>识别为某个模板和弦，<math>Y</math>就越和谐。

考虑到<math>\max_x f(x)</math>等价于α=+∞的[https://mathworld.wolfram.com/RenyiEntropy.html Rényi熵]，我们也可以考虑α为有限值的Rényi熵，如α=1对应的[https://mathworld.wolfram.com/Entropy.html Shannon熵]。熵值越低，接受者就越容易把<math>Y</math>识别为某个模板和弦，<math>Y</math>就越和谐。

== 细节 ==

* 模板和弦的集合<math>X=\{ X_n\}</math>可以取[[整数限]]和[[质数限]]有限的和弦，或者质数限有限的和弦，或者一切k音纯律和弦。如果选择第一个选项，<math>P(X_n)</math>可以任意选择；如果选择第二个选项，<math>P(X_n)</math>可以选择为<math>1/s(X_n)^\beta</math>, 其中<math>s(X_n)</math>表示<math>X_n</math>的整数限，<math>\beta</math>为大于0的常数；如果选择第三个选项，<math>P(X_n)</math>可以选择为<math>1/(X_{n1}X_{n2}...X_{nk})^\beta</math>,<math>\beta</math>大于1的常数，这里要求<math>X_{n1}, X_{n2}, ...,X_{nk}</math>是正整数且没有大于1的公因子。
* 以上三种选择和弦的方式会给[[泛音列]]的靠近基音的子集较低的和声熵，泛音列的远离基音的子集较高的和声熵。
* 鉴于人耳的对音程的识别误差可以用[[音分]]而不是赫兹数表示，假设<math>X_n</math>的音分为<math>x_1</math>¢,...,<math>x_k</math>¢, <math>Y</math>的音分为<math>y_1</math>¢,...,<math>y_k</math>¢, 则<math>y_1=x_1+\epsilon_1</math>, ..., <math>y_k=x_k+\epsilon_k</math>，其中<math>\epsilon_1, ..., \epsilon_n</math>为独立同分布的正态随机变量，其均值为0，其标准差是自由参数σ。
* 计算<math>P(Y|X_n)</math>的方式如下：将<math>X_n</math>写成音分<math>x_1</math>¢, ..., <math>x_k</math>¢, <math>Y</math>写成音分<math>y_1</math>¢, ..., <math>y_k</math>¢, 顺序为从小到大，且使得<math>x_1+...+x_k=y_1+...+y_k</math> (这相当于给和弦的频率比的每一项乘以一个常数)，则<math>P(Y|X_n)</math>正比于<math>\exp(-((x_1-y_1)^2+...+(x_k-y_k)^2)/{2\sigma^2})</math>.

== 性质 ==
* 和声熵只取决于和弦的频率比，不取决于音区（和弦的频率）和音色。
* 计算和声熵需要预先知道k的值，当k很大时(≥4)，计算和声熵将变得困难。
* 和声熵并不会因为和弦的两个音趋于相同而减少，这是因为让两音相同会远离模板和弦。
* 使用和声熵时可以拒绝承认某个素数具有和声意义，只要在模板和弦里删除包含这一素数因子的和弦即可。

== 数据 ==
以下是三音和弦1:x:y的和声熵，其中x, y分别为横纵坐标，模板和弦为所有的3音纯律和弦，先验概率为<math>P(X_n)=1/(X_{n1}X_{n2}X_{n3})^2</math>；观测误差<math>\epsilon_1, ..., \epsilon_n</math>为正态分布随机变量，均值为0，标准差为9[[间差]](21.51¢)；置信程度取<math>\max_x f(x)</math>. 和声熵数据的误差不超过0.005.

[[文件:3321.png|3音和弦的和声熵]]

当模板和弦的个数有限且扰动的标准差σ趋于0时，平面上表示纯律和弦的点的 [https://mathworld.wolfram.com/VoronoiDiagram.html Voronoi 图] 的每个胞腔区域内对这个胞腔内的最邻近点的置信程度趋于1，而胞腔边缘和顶点则不是。这张图虽然考虑了无穷多模板和弦，但是效果上类似于模板和弦的个数有限。

以下是三音和弦1:x:3/2的和声熵，其中x为横坐标，模板和弦为3音纯律和弦，质数限为5或7；先验概率为<math>P(X_n)=1/(X_{n1}X_{n2}X_{n3})^2</math>；观测误差<math>\epsilon_1, ..., \epsilon_n</math>为正态分布随机变量，均值为0，标准差为9间差；置信程度取<math>\max_x f(x)</math>. 和声熵数据的误差不超过0.005.

[[文件:13532.png|3音和弦的和声熵]]

红色曲线在1.5处值较小，其对应和弦为16:24:25. 这说明限制质数限会清除本来不和谐的和弦周围的和弦，从而降低其和声熵，因此限制质数限的做法应该视为简化计算的方式，而非对于某种“p限和谐度”的逼近。

== 另见 ==

* [[Zeta调律]]
* [[频谱熵]]

[[Category:连续音高]]

2.3.7/(1029/1024)

2026-03-30T03:35:17Z

Administrator：

{| style="float:right; border:1px solid black; background-color: #f0f0f0; border-collapse: collapse;"
!colspan="2" | 8/7-3ed3/2律
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;子群&ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 2.3.7&ensp;
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;音差&ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 1029/1024&ensp;
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;映射&ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | [1 1 3; 0 3 -1]&ensp;
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;平均律&ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 36 & 41&ensp;
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;生程&ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 2/1, 8/7&ensp;
|}

8/7-3ed3/2律是2.3.7子群上的规则调律，其生程为8/7, 三个8/7表示一个3/2, 四个8/7表示一个12/7.

== 调音 ==
假设生程2/1是纯的，则2.3.7/(1029/1024)的调音完全由8/7的调音决定。

下图为8/7, 7/6和3/2的误差与8/7的调音的关系，其中横坐标为8/7的调音（[[音分]]值），纵坐标为误差（音分值），橙色点为最小化这三者最大误差的调音，也就是1/4音差调音(8/7的调音为(8/7) * (1029/1024)^(1/4), n3/2的调音为(3/2) / (1029/1024)^(1/4), 7/6是准确的)，生程大小约为233.282¢.

[[文件:123.png ]]

== 和弦 ==
将8/7叠加三遍，可以得到1-8/7-21/16-3/2[[本质调和和弦]]，其相邻两音的音程为8/7，而根音与冠音之间的音程为3/2.

== 作品 ==
; Adriaan Fokker
* [https://www.huygens-fokker.org/music/rmten.html ''Tenacita'']

; Jan van Dijk
* [https://www.huygens-fokker.org/music/rmcap.html ''Capriccio'']
* [https://www.huygens-fokker.org/music/rmctta.html ''Canzonetta'']

== 另见 ==

* [[31ed2]]

[[Category:规则调律]]

谐波限

2026-03-29T15:15:28Z

Administrator：

谐波限是一类约束纯律音程或纯律和弦谐波的方法。最小谐波限小于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度受限的，也就是它们较为简单。最大超谐波限大于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度超限的，也就是它们较为复杂。

以下假设纯律音程a/b中的a, b是整数且没有大于1的公因子。

== 谐波限的类型 ==
=== 质数限 ===
设a/b是纯律音程，将a/b写成 <math>{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}</math>的形式，其中<math>{p_1} \cdots {p_k}</math>为互不相同的质数， <math>{n_1}\cdots {n_k}</math>为非零整数，则a/b的质数限不小于<math>{p_1} \cdots {p_k}</math>的最大者。

设p为质数，所有质数限不超过p的纯律音程的全体构成一个[[子群]]，称为p限子群。

注：不要将m限音程写成m-限音程。短横线仅应用于连接两个专有名词。<ref> [https://zhuanlan.zhihu.com/p/1213957321 微分音音乐理论术语表]</ref>

=== 奇数限 ===
设a/b是纯律音程，将a/b写成 <math>{2}^{n}{q_1}/{q_2}</math>的形式，其中n是整数，<math>{q_1}</math>和<math>{q_2}</math>是奇数，则a/b的奇数限不小于<math>max({q_1}, {q_2})</math>.

设p为奇数，所有大小在[1/1, 2/1]之内的奇数限不超过p的纯律音程的全体称为'''p奇数限'''(p-odd-limit tonality diamond)。

=== 整数限 ===
纯律音程a/b的整数限不小于max(a, b).

=== 和弦的质数限 ===
和弦的质数限不小于各个组成音程质数限的最大者。

=== 和弦的整数限 ===
和弦<math>x_1:x_2:...:x_n</math> (<math>x_1, x_2, ..., x_n</math>为整数且没有大于1的公因子) 的整数限不小于<math>\max(x_1, x_2, ..., x_n)</math>.

== 超谐波限 ==
设a/b是纯律音程，其最小谐波限制y大于x，则称a/b为x超谐波限音程。

=== 和弦的超谐波限 ===
和弦的超谐波限不大于各个组成音程最大的超谐波限中最大者。

== 具体质数谐波的限制 ==
设a/b是纯律音程，将a/b写成 <math>{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}</math>的形式，其中<math>{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}</math>若有质数p的指数不为0，则称a/b为含p音程.

=== 和弦的具体谐波的限制 ===
若和弦中任意一音程为含p音程，则该和弦含p。

== 例子 ==
* 音程16/15的质数限≥5, 奇数限≥15, 整数限≥16,同时是超3质数限与超11奇数限音程.

* 和弦4:5:6的质数限≥5, 整数限≥6,同时是超3质数限与超5整数限和弦.

* 一个2/1内的7奇数限音程的全体是1/1, 8/7, 7/6, 6/5, 5/4, 4/3, 7/5, 10/7, 3/2, 8/5, 5/3, 12/7, 7/4, 2/1.
* 音程9/7是含7音程.

== 谐波限的组合 ==
质数限、奇数限、整数限、超质数限、超奇数限、超整数限、含p作为约束条件可以组合，p质数限n奇数限m整数限q超质数限a超奇数限b超整数限含p是质数限不超过p、奇数限不超过n、整数限不超过m、超质数限不超过q、超奇数限不超过a、超整数限不超过b、包含质数谐波p的音程全体。

例：5限15奇数限超3奇数限含5的音程全体是16/15, 15/8, 10/9, 9/5, 6/5, 5/3, 5/4, 8/5以及它们增加（或减少）任意个2/1得到的音程全体。

== 参考 ==

<references/>

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G. F. Haas： 微分音的五个论题

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一致限

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