https://tun.wiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Administrator 律学维基 - 用户贡献 [zh-cn] 2026-06-09T21:03:49Z 用户贡献 MediaWiki 1.44.2 https://tun.wiki/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&diff=629 首页 2026-04-26T05:22:32Z <p>Administrator：​/* 律制 */</p> <hr /> <div>== 欢迎来到律学维基！ ==<br /> 律学维基是一个开放的、协作的音乐律学知识库与调谐系统指南。我们致力于系统化地梳理与呈现人类音乐中丰富多彩的音高组织智慧。<br /> <br /> 我们的涵盖范围包括：<br /> <br /> * 理论体系：从[[纯律]]、[[五度相生律]]到[[12ed2|十二平均律]]及现代微分音理论。<br /> * 历史实践：深入挖掘西方古乐调律，如[[2.3.5/(81/80)|中庸全音律（meantone）]]、瓦洛蒂调律等。<br /> * 全球传统：印度拉格、波斯-阿拉伯玛卡姆、中国琴律、印尼甘美兰调律等。<br /> * 实际应用：提供律制对比音频、乐器调音指南，并探讨其在当代创作、演奏与数字音乐中的实践。<br /> <br /> 无论您是学者、音乐家、制琴师，还是纯粹好奇的爱好者，律学维基都邀请您一同探索、聆听并参与构建这个关于音高宇宙的公共知识宝藏。<br /> <br /> == 初学者页面 ==<br /> 你是否曾好奇，为什么有些音符组合起来悦耳和谐，有些却略显紧张？为什么不同的乐器调音方式会塑造出截然不同的音乐色彩？答案，就藏在音律学之中。<br /> <br /> 音律学是音乐背后的“数学与密码”，它研究我们如何定义、划分和组织音高。它不像乐理那样直接教你写旋律，而是为你揭示声音之所以成为音乐的根本法则——从物理振动到听觉感知，从古希腊到全球各地，人类如何用智慧“雕刻”出千变万化的音高体系。<br /> <br /> 这个初学者页面是你探索旅程的第一张地图。我们将从最核心的概念出发，循序渐进地搭建理解框架：<br /> <br /> ==== 一、声音与音高基础 ====<br /> <br /> # [[乐音]] (Musical Tone)<br /> # 音高 (Pitch)<br /> # 音符 (Note) 与音符命名系统<br /> # 标准音高 (A4 = 440 Hz)<br /> <br /> ==== 二、频率与音程 ====<br /> <br /> # 频率比与音程 (Interval)<br /> # 上行音程、下行音程与完全一度<br /> # 音程的[[转位]]关系<br /> <br /> ==== 三、八度等价与音高组织 ====<br /> <br /> # 八度等价 (Octave Equivalence) ''注：此处特指“八度平均划分”体系下的等价关系''<br /> # 等价类 (Equivalence Class) 概念<br /> # 音符类 (Note Class)<br /> <br /> ==== 四、泛音与沉音 ====<br /> <br /> # [[泛音列]] (Harmonic Series)<br /> # [[沉音列]] (Undertone series)<br /> <br /> ==== 五、音分系统 ====<br /> <br /> # [[音分]] (Cent) 的定义以及推导<br /> # 音程单位转换与对数关系<br /> <br /> ==== 六、音阶与律制入门 ====<br /> <br /> # [[音阶]]的一般理论<br /> # [[MOS]]音阶<br /> # [[矢状记谱法]]（[[矢状记谱法|sagittal notation]]）<br /> # [[FJS记谱法]]<br /> # 律制系统概述<br /> #* [[五度相生律]]<br /> #* [[5限纯律]]<br /> #* [[平均律]]<br /> # 音差概念<br /> #* 毕达哥拉斯音差（[[531441/524288]]）<br /> #* 合音差（[[81/80]]）<br /> #* [[间差]]<br /> #* [[点差]]<br /> <br /> ==== 七、调律与调音 ====<br /> # [[规则调律理论]]<br /> # [[音程复杂度]]<br /> # [[最优调音]]<br /> <br /> ==== 八、常见错误观点 ====<br /> <br /> # [[常见错误观点]]<br /> <br /> == 音程 ==<br /> [[5/4]]<br /> <br /> [[7/6]]<br /> <br /> [[8/7]]<br /> <br /> [[81/80]]<br /> <br /> [[225/224]]<br /> <br /> [[4375/4374]]<br /> <br /> == 律制 ==<br /> [[3限纯律]]<br /> <br /> [[12ed2]]<br /> <br /> [[31ed2]]<br /> <br /> [[53ed2]]<br /> <br /> [[2.3.5/(81/80)]]<br /> <br /> [[2.3.5.7/(81/80,225/224)]]<br /> <br /> [[2.3.7/(1029/1024)]]<br /> <br /> [[2.3.5.7/(225/224,1029/1024)]]<br /> <br /> [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]<br /> <br /> == 术语 ==<br /> [[me/ie]]<br /> <br /> [[超3限简单音程的命名]]<br /> <br /> [[X分Y差]]<br /> <br /> [[和弦]]<br /> <br /> [[负和声]]<br /> <br /> [[对称和弦]]<br /> <br /> [[谐波限]]<br /> <br /> [[平移]]<br /> <br /> [[和声熵]]<br /> <br /> == 和弦 ==<br /> [[5限和弦]]<br /> <br /> [[7限和弦]]<br /> <br /> == 音阶 ==<br /> <br /> [[音阶]]<br /> <br /> [[中立音]]<br /> <br /> == 记谱法 ==<br /> [[半整数升降]]<br /> <br /> == 精度 ==<br /> [[平均律误差]]<br /> <br /> [[Zeta调律]]<br /> <br /> == 乐器 ==<br /> <br /> [https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%8F%B7/1474939 自然号]<br /> <br /> == 音乐 ==<br /> <br /> [https://www.bilibili.com/video/BV1bgsdznEKR/ 在林中]<br /> <br /> [https://musescore.com/user/10794916/scores/6240657 Nokia Arabic Ringtone]<br /> <br /> == 入门 ==<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Configuration_settings MediaWiki配置设置列表]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ/zh-hans MediaWiki常见问题]<br /> * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/mediawiki-announce.lists.wikimedia.org/ MediaWiki发布邮件列表]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Localisation#Translation_resources 本地化MediaWiki到您的语言]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Combating_spam 了解如何在您的wiki上打击破坏]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E8%B6%853%E9%99%90%E7%AE%80%E5%8D%95%E9%9F%B3%E7%A8%8B%E7%9A%84%E5%91%BD%E5%90%8D&diff=557 超3限简单音程的命名 2026-04-11T04:39:21Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>若纯律音程y可化为&lt;math&gt;\frac{2^{n}}{3^{m}} \times (2.3.p\text{子群的形式音差})^{x}&lt;/math&gt;的形式，其中n,m皆为整数，x为非0整数，且x的值取其它非0整数时会使得整个式子的Tenney norm更大，那么此时y被称为p纯（&lt;math&gt;\frac{2^{n}}{3^{m}}\text{所对应的fjs名称}&lt;/math&gt;）。<br /> <br /> == 例子 ==<br /> 81/80为5纯纯一度，5/4为5纯大三度，6/5为5纯小三度，7/4为7纯小七度，7/6为7纯小三度，11/9为11纯小三度。<br /> <br /> = 未完成 =<br /> 添加含多个超3限谐波子群的拓展</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E8%B0%90%E6%B3%A2%E9%99%90&diff=554 谐波限 2026-03-31T18:50:34Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>谐波限是一类约束纯律音程或纯律和弦谐波的方法。最小谐波限小于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度受限的，也就是它们较为简单。最大超谐波限大于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度超限的，也就是它们较为复杂。<br /> <br /> 以下假设纯律音程a/b中的a, b是整数且没有大于1的公因子。<br /> <br /> == 谐波限的类型 ==<br /> === 质数限 ===<br /> 设a/b是纯律音程，将a/b写成 &lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;的形式，其中&lt;math&gt;{p_1} \cdots {p_k}&lt;/math&gt;为互不相同的质数， &lt;math&gt;{n_1}\cdots {n_k}&lt;/math&gt;为非零整数，则a/b的质数限不小于&lt;math&gt;{p_1} \cdots {p_k}&lt;/math&gt;的最大者。<br /> <br /> 设p为质数，所有质数限不超过p的纯律音程的全体构成一个[[子群]]，称为p限子群。<br /> <br /> 注：不要将m限音程写成m-限音程。短横线仅应用于连接两个专有名词。&lt;ref&gt; [https://zhuanlan.zhihu.com/p/1213957321 微分音音乐理论术语表]&lt;/ref&gt;<br /> <br /> === 奇数限 ===<br /> 设a/b是纯律音程，将a/b写成 &lt;math&gt;{2}^{n}{q_1}/{q_2}&lt;/math&gt;的形式，其中n是整数，&lt;math&gt;{q_1}&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;{q_2}&lt;/math&gt;是奇数，则a/b的奇数限不小于&lt;math&gt;max({q_1}, {q_2})&lt;/math&gt;.<br /> <br /> 设p为奇数，所有大小在[1/1, 2/1]之内的奇数限不超过p的纯律音程的全体称为'''p奇数限'''(p-odd-limit tonality diamond)。<br /> <br /> === 整数限 ===<br /> 纯律音程a/b的整数限不小于max(a, b).<br /> <br /> === 和弦的质数限 ===<br /> 和弦的质数限不小于各个组成音程质数限的最大者。<br /> <br /> === 和弦的整数限 ===<br /> 和弦&lt;math&gt;x_1:x_2:...:x_n&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;x_1, x_2, ..., x_n&lt;/math&gt;为整数且没有大于1的公因子) 的整数限不小于&lt;math&gt;\max(x_1, x_2, ..., x_n)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> == 超谐波限 ==<br /> 设a/b是纯律音程，其最小谐波限制y大于x，则称a/b为x超谐波限音程。<br /> <br /> === 和弦的超谐波限 ===<br /> 和弦的超谐波限不大于各个组成音程最大的超谐波限中最大者。<br /> <br /> == 例子 ==<br /> * 音程16/15的质数限≥5, 奇数限≥15, 整数限≥16,同时是超3质数限与超11奇数限音程.<br /> <br /> * 和弦4:5:6的质数限≥5, 整数限≥6,同时是超3质数限与超5整数限和弦.<br /> <br /> * 一个2/1内的7奇数限音程的全体是1/1, 8/7, 7/6, 6/5, 5/4, 4/3, 7/5, 10/7, 3/2, 8/5, 5/3, 12/7, 7/4, 2/1.<br /> <br /> == 具体质数谐波的限制 ==<br /> [[具体质数谐波的限制]]<br /> <br /> == 谐波限的组合 ==<br /> 质数限、奇数限、整数限、超质数限、超奇数限、超整数限作为约束条件可以组合，p质数限n奇数限m整数限q超质数限a超奇数限b超整数限是质数限不超过p、奇数限不超过n、整数限不超过m、超质数限不超过q、超奇数限不超过a、超整数限不超过b的音程全体。<br /> <br /> 例：5限15奇数限超3奇数限的音程全体是16/15, 15/8, 10/9, 9/5, 9/8, 16/9, 6/5, 5/3, 5/4, 8/5以及它们增加（或减少）任意个2/1得到的音程全体。<br /> <br /> == 参考 ==<br /> <br /> &lt;references/&gt;</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E5%85%B7%E4%BD%93%E8%B4%A8%E6%95%B0%E8%B0%90%E6%B3%A2%E7%9A%84%E9%99%90%E5%88%B6&diff=553 具体质数谐波的限制 2026-03-31T18:48:00Z <p>Administrator：​创建页面，内容为“设a/b是纯律音程，将a/b写成&lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;的形式，其中&lt;math&gt;{p_1} \cdots {p_k}&lt;/math&gt;为互不相同的质数，&lt;math&gt;{n_1}\cdots {n_k}&lt;/math&gt;皆为非零整数.其中&lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;若有质数p的指数不为0，则称a/b为含p音程. === p/与/p音程 === 若&lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;其中质数p的指数为正数，则称a/b为p/音程…”</p> <hr /> <div>设a/b是纯律音程，将a/b写成&lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;的形式，其中&lt;math&gt;{p_1} \cdots {p_k}&lt;/math&gt;为互不相同的质数，&lt;math&gt;{n_1}\cdots {n_k}&lt;/math&gt;皆为非零整数.其中&lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;若有质数p的指数不为0，则称a/b为含p音程.<br /> <br /> === p/与/p音程 ===<br /> 若&lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;其中质数p的指数为正数，则称a/b为p/音程.若&lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;其中质数p的指数为负数，则称a/b为/p音程.<br /> <br /> == 和弦的具体谐波的限制 ==<br /> 若和弦中任意一音程为含p音程，则该和弦含p。</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E5%92%8C%E5%A3%B0%E7%86%B5&diff=549 和声熵 2026-03-30T03:36:21Z <p>Administrator：​/* 另见 */</p> <hr /> <div>'''和声熵'''是衡量[[和弦]]和谐程度的方式。和声熵的基本假设是：一个和弦越容易被识别为某个模板和弦，它就越和谐；一个和弦越不容易被识别为任一模板和弦，它就越不和谐。<br /> <br /> == 模型 ==<br /> 假设我们研究的和弦都由k个音组成。令&lt;math&gt;X=\{ X_n\}&lt;/math&gt;为模板和弦的集合，其元素为&lt;math&gt;k&lt;/math&gt;音和弦&lt;math&gt; X_n=X_{n1}:...:X_{nk}&lt;/math&gt;. 为了使用贝叶斯公式，假设和弦&lt;math&gt; X_n&lt;/math&gt;出现的先验概率是&lt;math&gt;P(X_n)&lt;/math&gt;. <br /> <br /> 按照先验概率随机选择一个和弦&lt;math&gt; X_n&lt;/math&gt;, 接收者会接受到信号&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;, 它是&lt;math&gt; X_n&lt;/math&gt;的近似。为了从&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;复原&lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt;，使用贝叶斯公式：&lt;math&gt;P(X_n|Y) = (P(Y|X_n)P(X_n))/ \sum P(Y|x)P(x) &lt;/math&gt;<br /> <br /> 使得&lt;math&gt;f(x)=P(x|Y)&lt;/math&gt;最大的模板和弦&lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt;是信号&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;最有可能对应的模板和弦。接收者对和弦&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;是&lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt;的置信程度是&lt;math&gt;\max_x f(x)&lt;/math&gt;. 置信程度&lt;math&gt;\max_x f(x)&lt;/math&gt;越大，接受者就越容易把&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;识别为某个模板和弦，&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;就越和谐。<br /> <br /> 考虑到&lt;math&gt;\max_x f(x)&lt;/math&gt;等价于α=+∞的[https://mathworld.wolfram.com/RenyiEntropy.html Rényi熵]，我们也可以考虑α为有限值的Rényi熵，如α=1对应的[https://mathworld.wolfram.com/Entropy.html Shannon熵]。熵值越低，接受者就越容易把&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;识别为某个模板和弦，&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;就越和谐。<br /> <br /> == 细节 ==<br /> <br /> * 模板和弦的集合&lt;math&gt;X=\{ X_n\}&lt;/math&gt;可以取[[整数限]]和[[质数限]]有限的和弦，或者质数限有限的和弦，或者一切k音纯律和弦。如果选择第一个选项，&lt;math&gt;P(X_n)&lt;/math&gt;可以任意选择；如果选择第二个选项，&lt;math&gt;P(X_n)&lt;/math&gt;可以选择为&lt;math&gt;1/s(X_n)^\beta&lt;/math&gt;, 其中&lt;math&gt;s(X_n)&lt;/math&gt;表示&lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt;的整数限，&lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt;为大于0的常数；如果选择第三个选项，&lt;math&gt;P(X_n)&lt;/math&gt;可以选择为&lt;math&gt;1/(X_{n1}X_{n2}...X_{nk})^\beta&lt;/math&gt;,&lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt;大于1的常数，这里要求&lt;math&gt;X_{n1}, X_{n2}, ...,X_{nk}&lt;/math&gt;是正整数且没有大于1的公因子。<br /> * 以上三种选择和弦的方式会给[[泛音列]]的靠近基音的子集较低的和声熵，泛音列的远离基音的子集较高的和声熵。<br /> * 鉴于人耳的对音程的识别误差可以用[[音分]]而不是赫兹数表示，假设&lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt;的音分为&lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;¢,...,&lt;math&gt;x_k&lt;/math&gt;¢, &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;的音分为&lt;math&gt;y_1&lt;/math&gt;¢,...,&lt;math&gt;y_k&lt;/math&gt;¢, 则&lt;math&gt;y_1=x_1+\epsilon_1&lt;/math&gt;, ..., &lt;math&gt;y_k=x_k+\epsilon_k&lt;/math&gt;，其中&lt;math&gt;\epsilon_1, ..., \epsilon_n&lt;/math&gt;为独立同分布的正态随机变量，其均值为0，其标准差是自由参数σ。<br /> * 计算&lt;math&gt;P(Y|X_n)&lt;/math&gt;的方式如下：将&lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt;写成音分&lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;¢, ..., &lt;math&gt;x_k&lt;/math&gt;¢, &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;写成音分&lt;math&gt;y_1&lt;/math&gt;¢, ..., &lt;math&gt;y_k&lt;/math&gt;¢, 顺序为从小到大，且使得&lt;math&gt;x_1+...+x_k=y_1+...+y_k&lt;/math&gt; (这相当于给和弦的频率比的每一项乘以一个常数)，则&lt;math&gt;P(Y|X_n)&lt;/math&gt;正比于&lt;math&gt;\exp(-((x_1-y_1)^2+...+(x_k-y_k)^2)/{2\sigma^2})&lt;/math&gt;.<br /> <br /> == 性质 ==<br /> * 和声熵只取决于和弦的频率比，不取决于音区（和弦的频率）和音色。<br /> * 计算和声熵需要预先知道k的值，当k很大时(≥4)，计算和声熵将变得困难。<br /> * 和声熵并不会因为和弦的两个音趋于相同而减少，这是因为让两音相同会远离模板和弦。<br /> * 使用和声熵时可以拒绝承认某个素数具有和声意义，只要在模板和弦里删除包含这一素数因子的和弦即可。<br /> <br /> == 数据 ==<br /> 以下是三音和弦1:x:y的和声熵，其中x, y分别为横纵坐标，模板和弦为所有的3音纯律和弦，先验概率为&lt;math&gt;P(X_n)=1/(X_{n1}X_{n2}X_{n3})^2&lt;/math&gt;；观测误差&lt;math&gt;\epsilon_1, ..., \epsilon_n&lt;/math&gt;为正态分布随机变量，均值为0，标准差为9[[间差]](21.51¢)；置信程度取&lt;math&gt;\max_x f(x)&lt;/math&gt;. 和声熵数据的误差不超过0.005.<br /> <br /> <br /> [[文件:3321.png|3音和弦的和声熵]]<br /> <br /> 当模板和弦的个数有限且扰动的标准差σ趋于0时，平面上表示纯律和弦的点的 [https://mathworld.wolfram.com/VoronoiDiagram.html Voronoi 图] 的每个胞腔区域内对这个胞腔内的最邻近点的置信程度趋于1，而胞腔边缘和顶点则不是。这张图虽然考虑了无穷多模板和弦，但是效果上类似于模板和弦的个数有限。<br /> <br /> 以下是三音和弦1:x:3/2的和声熵，其中x为横坐标，模板和弦为3音纯律和弦，质数限为5或7；先验概率为&lt;math&gt;P(X_n)=1/(X_{n1}X_{n2}X_{n3})^2&lt;/math&gt;；观测误差&lt;math&gt;\epsilon_1, ..., \epsilon_n&lt;/math&gt;为正态分布随机变量，均值为0，标准差为9间差；置信程度取&lt;math&gt;\max_x f(x)&lt;/math&gt;. 和声熵数据的误差不超过0.005.<br /> <br /> [[文件:13532.png|3音和弦的和声熵]]<br /> <br /> 红色曲线在1.5处值较小，其对应和弦为16:24:25. 这说明限制质数限会清除本来不和谐的和弦周围的和弦，从而降低其和声熵，因此限制质数限的做法应该视为简化计算的方式，而非对于某种“p限和谐度”的逼近。<br /> <br /> == 另见 ==<br /> * [[Zeta调律]]<br /> * [[频谱熵]] <br /> [[Category:连续音高]]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E5%92%8C%E5%A3%B0%E7%86%B5&diff=548 和声熵 2026-03-30T03:35:54Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>'''和声熵'''是衡量[[和弦]]和谐程度的方式。和声熵的基本假设是：一个和弦越容易被识别为某个模板和弦，它就越和谐；一个和弦越不容易被识别为任一模板和弦，它就越不和谐。<br /> <br /> == 模型 ==<br /> 假设我们研究的和弦都由k个音组成。令&lt;math&gt;X=\{ X_n\}&lt;/math&gt;为模板和弦的集合，其元素为&lt;math&gt;k&lt;/math&gt;音和弦&lt;math&gt; X_n=X_{n1}:...:X_{nk}&lt;/math&gt;. 为了使用贝叶斯公式，假设和弦&lt;math&gt; X_n&lt;/math&gt;出现的先验概率是&lt;math&gt;P(X_n)&lt;/math&gt;. <br /> <br /> 按照先验概率随机选择一个和弦&lt;math&gt; X_n&lt;/math&gt;, 接收者会接受到信号&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;, 它是&lt;math&gt; X_n&lt;/math&gt;的近似。为了从&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;复原&lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt;，使用贝叶斯公式：&lt;math&gt;P(X_n|Y) = (P(Y|X_n)P(X_n))/ \sum P(Y|x)P(x) &lt;/math&gt;<br /> <br /> 使得&lt;math&gt;f(x)=P(x|Y)&lt;/math&gt;最大的模板和弦&lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt;是信号&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;最有可能对应的模板和弦。接收者对和弦&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;是&lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt;的置信程度是&lt;math&gt;\max_x f(x)&lt;/math&gt;. 置信程度&lt;math&gt;\max_x f(x)&lt;/math&gt;越大，接受者就越容易把&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;识别为某个模板和弦，&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;就越和谐。<br /> <br /> 考虑到&lt;math&gt;\max_x f(x)&lt;/math&gt;等价于α=+∞的[https://mathworld.wolfram.com/RenyiEntropy.html Rényi熵]，我们也可以考虑α为有限值的Rényi熵，如α=1对应的[https://mathworld.wolfram.com/Entropy.html Shannon熵]。熵值越低，接受者就越容易把&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;识别为某个模板和弦，&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;就越和谐。<br /> <br /> == 细节 ==<br /> <br /> * 模板和弦的集合&lt;math&gt;X=\{ X_n\}&lt;/math&gt;可以取[[整数限]]和[[质数限]]有限的和弦，或者质数限有限的和弦，或者一切k音纯律和弦。如果选择第一个选项，&lt;math&gt;P(X_n)&lt;/math&gt;可以任意选择；如果选择第二个选项，&lt;math&gt;P(X_n)&lt;/math&gt;可以选择为&lt;math&gt;1/s(X_n)^\beta&lt;/math&gt;, 其中&lt;math&gt;s(X_n)&lt;/math&gt;表示&lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt;的整数限，&lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt;为大于0的常数；如果选择第三个选项，&lt;math&gt;P(X_n)&lt;/math&gt;可以选择为&lt;math&gt;1/(X_{n1}X_{n2}...X_{nk})^\beta&lt;/math&gt;,&lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt;大于1的常数，这里要求&lt;math&gt;X_{n1}, X_{n2}, ...,X_{nk}&lt;/math&gt;是正整数且没有大于1的公因子。<br /> * 以上三种选择和弦的方式会给[[泛音列]]的靠近基音的子集较低的和声熵，泛音列的远离基音的子集较高的和声熵。<br /> * 鉴于人耳的对音程的识别误差可以用[[音分]]而不是赫兹数表示，假设&lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt;的音分为&lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;¢,...,&lt;math&gt;x_k&lt;/math&gt;¢, &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;的音分为&lt;math&gt;y_1&lt;/math&gt;¢,...,&lt;math&gt;y_k&lt;/math&gt;¢, 则&lt;math&gt;y_1=x_1+\epsilon_1&lt;/math&gt;, ..., &lt;math&gt;y_k=x_k+\epsilon_k&lt;/math&gt;，其中&lt;math&gt;\epsilon_1, ..., \epsilon_n&lt;/math&gt;为独立同分布的正态随机变量，其均值为0，其标准差是自由参数σ。<br /> * 计算&lt;math&gt;P(Y|X_n)&lt;/math&gt;的方式如下：将&lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt;写成音分&lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;¢, ..., &lt;math&gt;x_k&lt;/math&gt;¢, &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;写成音分&lt;math&gt;y_1&lt;/math&gt;¢, ..., &lt;math&gt;y_k&lt;/math&gt;¢, 顺序为从小到大，且使得&lt;math&gt;x_1+...+x_k=y_1+...+y_k&lt;/math&gt; (这相当于给和弦的频率比的每一项乘以一个常数)，则&lt;math&gt;P(Y|X_n)&lt;/math&gt;正比于&lt;math&gt;\exp(-((x_1-y_1)^2+...+(x_k-y_k)^2)/{2\sigma^2})&lt;/math&gt;.<br /> <br /> == 性质 ==<br /> * 和声熵只取决于和弦的频率比，不取决于音区（和弦的频率）和音色。<br /> * 计算和声熵需要预先知道k的值，当k很大时(≥4)，计算和声熵将变得困难。<br /> * 和声熵并不会因为和弦的两个音趋于相同而减少，这是因为让两音相同会远离模板和弦。<br /> * 使用和声熵时可以拒绝承认某个素数具有和声意义，只要在模板和弦里删除包含这一素数因子的和弦即可。<br /> <br /> == 数据 ==<br /> 以下是三音和弦1:x:y的和声熵，其中x, y分别为横纵坐标，模板和弦为所有的3音纯律和弦，先验概率为&lt;math&gt;P(X_n)=1/(X_{n1}X_{n2}X_{n3})^2&lt;/math&gt;；观测误差&lt;math&gt;\epsilon_1, ..., \epsilon_n&lt;/math&gt;为正态分布随机变量，均值为0，标准差为9[[间差]](21.51¢)；置信程度取&lt;math&gt;\max_x f(x)&lt;/math&gt;. 和声熵数据的误差不超过0.005.<br /> <br /> <br /> [[文件:3321.png|3音和弦的和声熵]]<br /> <br /> 当模板和弦的个数有限且扰动的标准差σ趋于0时，平面上表示纯律和弦的点的 [https://mathworld.wolfram.com/VoronoiDiagram.html Voronoi 图] 的每个胞腔区域内对这个胞腔内的最邻近点的置信程度趋于1，而胞腔边缘和顶点则不是。这张图虽然考虑了无穷多模板和弦，但是效果上类似于模板和弦的个数有限。<br /> <br /> 以下是三音和弦1:x:3/2的和声熵，其中x为横坐标，模板和弦为3音纯律和弦，质数限为5或7；先验概率为&lt;math&gt;P(X_n)=1/(X_{n1}X_{n2}X_{n3})^2&lt;/math&gt;；观测误差&lt;math&gt;\epsilon_1, ..., \epsilon_n&lt;/math&gt;为正态分布随机变量，均值为0，标准差为9间差；置信程度取&lt;math&gt;\max_x f(x)&lt;/math&gt;. 和声熵数据的误差不超过0.005.<br /> <br /> [[文件:13532.png|3音和弦的和声熵]]<br /> <br /> 红色曲线在1.5处值较小，其对应和弦为16:24:25. 这说明限制质数限会清除本来不和谐的和弦周围的和弦，从而降低其和声熵，因此限制质数限的做法应该视为简化计算的方式，而非对于某种“p限和谐度”的逼近。<br /> <br /> == 另见 ==<br /> <br /> * [[Zeta调律]]<br /> * [[频谱熵]] <br /> <br /> [[Category:连续音高]]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=2.3.7/(1029/1024)&diff=547 2.3.7/(1029/1024) 2026-03-30T03:35:17Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>{| style=&quot;float:right; border:1px solid black; background-color: #f0f0f0; border-collapse: collapse;&quot;<br /> !colspan=&quot;2&quot; | 8/7-3ed3/2律<br /> |-<br /> ! &amp;ensp;&amp;ensp;&amp;ensp;子群&amp;ensp;&amp;ensp;&amp;ensp;<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;&quot; | 2.3.7&amp;ensp;<br /> |-<br /> ! &amp;ensp;&amp;ensp;&amp;ensp;音差&amp;ensp;&amp;ensp;&amp;ensp;<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;&quot; | 1029/1024&amp;ensp;<br /> |-<br /> ! &amp;ensp;&amp;ensp;&amp;ensp;映射&amp;ensp;&amp;ensp;&amp;ensp;<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;&quot; | [1 1 3; 0 3 -1]&amp;ensp;<br /> |-<br /> ! &amp;ensp;&amp;ensp;&amp;ensp;平均律&amp;ensp;&amp;ensp;&amp;ensp;<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;&quot; | 36 &amp; 41&amp;ensp;<br /> |-<br /> ! &amp;ensp;&amp;ensp;&amp;ensp;生程&amp;ensp;&amp;ensp;&amp;ensp;<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;&quot; | 2/1, 8/7&amp;ensp;<br /> |}<br /> <br /> 8/7-3ed3/2律是2.3.7子群上的规则调律，其生程为8/7, 三个8/7表示一个3/2, 四个8/7表示一个12/7.<br /> <br /> == 调音 ==<br /> 假设生程2/1是纯的，则2.3.7/(1029/1024)的调音完全由8/7的调音决定。<br /> <br /> 下图为8/7, 7/6和3/2的误差与8/7的调音的关系，其中横坐标为8/7的调音（[[音分]]值），纵坐标为误差（音分值），橙色点为最小化这三者最大误差的调音，也就是1/4音差调音(8/7的调音为(8/7) * (1029/1024)^(1/4), n3/2的调音为(3/2) / (1029/1024)^(1/4), 7/6是准确的)，生程大小约为233.282¢.<br /> <br /> [[文件:123.png ]]<br /> <br /> == 和弦 ==<br /> 将8/7叠加三遍，可以得到1-8/7-21/16-3/2[[本质调和和弦]]，其相邻两音的音程为8/7，而根音与冠音之间的音程为3/2.<br /> <br /> == 作品 ==<br /> ; Adriaan Fokker<br /> * [https://www.huygens-fokker.org/music/rmten.html ''Tenacita''] <br /> <br /> ; Jan van Dijk<br /> * [https://www.huygens-fokker.org/music/rmcap.html ''Capriccio''] <br /> * [https://www.huygens-fokker.org/music/rmctta.html ''Canzonetta'']<br /> <br /> == 另见 ==<br /> <br /> * [[31ed2]] <br /> <br /> [[Category:规则调律]]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E8%B0%90%E6%B3%A2%E9%99%90&diff=546 谐波限 2026-03-29T15:15:28Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>谐波限是一类约束纯律音程或纯律和弦谐波的方法。最小谐波限小于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度受限的，也就是它们较为简单。最大超谐波限大于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度超限的，也就是它们较为复杂。<br /> <br /> 以下假设纯律音程a/b中的a, b是整数且没有大于1的公因子。<br /> <br /> == 谐波限的类型 ==<br /> === 质数限 ===<br /> 设a/b是纯律音程，将a/b写成 &lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;的形式，其中&lt;math&gt;{p_1} \cdots {p_k}&lt;/math&gt;为互不相同的质数， &lt;math&gt;{n_1}\cdots {n_k}&lt;/math&gt;为非零整数，则a/b的质数限不小于&lt;math&gt;{p_1} \cdots {p_k}&lt;/math&gt;的最大者。<br /> <br /> 设p为质数，所有质数限不超过p的纯律音程的全体构成一个[[子群]]，称为p限子群。<br /> <br /> 注：不要将m限音程写成m-限音程。短横线仅应用于连接两个专有名词。&lt;ref&gt; [https://zhuanlan.zhihu.com/p/1213957321 微分音音乐理论术语表]&lt;/ref&gt;<br /> <br /> === 奇数限 ===<br /> 设a/b是纯律音程，将a/b写成 &lt;math&gt;{2}^{n}{q_1}/{q_2}&lt;/math&gt;的形式，其中n是整数，&lt;math&gt;{q_1}&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;{q_2}&lt;/math&gt;是奇数，则a/b的奇数限不小于&lt;math&gt;max({q_1}, {q_2})&lt;/math&gt;.<br /> <br /> 设p为奇数，所有大小在[1/1, 2/1]之内的奇数限不超过p的纯律音程的全体称为'''p奇数限'''(p-odd-limit tonality diamond)。<br /> <br /> === 整数限 ===<br /> 纯律音程a/b的整数限不小于max(a, b).<br /> <br /> === 和弦的质数限 ===<br /> 和弦的质数限不小于各个组成音程质数限的最大者。<br /> <br /> === 和弦的整数限 ===<br /> 和弦&lt;math&gt;x_1:x_2:...:x_n&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;x_1, x_2, ..., x_n&lt;/math&gt;为整数且没有大于1的公因子) 的整数限不小于&lt;math&gt;\max(x_1, x_2, ..., x_n)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> == 超谐波限 ==<br /> 设a/b是纯律音程，其最小谐波限制y大于x，则称a/b为x超谐波限音程。<br /> <br /> === 和弦的超谐波限 ===<br /> 和弦的超谐波限不大于各个组成音程最大的超谐波限中最大者。<br /> <br /> == 具体质数谐波的限制 ==<br /> 设a/b是纯律音程，将a/b写成 &lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;的形式，其中&lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;若有质数p的指数不为0，则称a/b为含p音程.<br /> <br /> === 和弦的具体谐波的限制 ===<br /> 若和弦中任意一音程为含p音程，则该和弦含p。<br /> <br /> == 例子 ==<br /> * 音程16/15的质数限≥5, 奇数限≥15, 整数限≥16,同时是超3质数限与超11奇数限音程.<br /> <br /> * 和弦4:5:6的质数限≥5, 整数限≥6,同时是超3质数限与超5整数限和弦.<br /> <br /> * 一个2/1内的7奇数限音程的全体是1/1, 8/7, 7/6, 6/5, 5/4, 4/3, 7/5, 10/7, 3/2, 8/5, 5/3, 12/7, 7/4, 2/1.<br /> * 音程9/7是含7音程.<br /> <br /> == 谐波限的组合 ==<br /> 质数限、奇数限、整数限、超质数限、超奇数限、超整数限、含p作为约束条件可以组合，p质数限n奇数限m整数限q超质数限a超奇数限b超整数限含p是质数限不超过p、奇数限不超过n、整数限不超过m、超质数限不超过q、超奇数限不超过a、超整数限不超过b、包含质数谐波p的音程全体。<br /> <br /> 例：5限15奇数限超3奇数限含5的音程全体是16/15, 15/8, 10/9, 9/5, 6/5, 5/3, 5/4, 8/5以及它们增加（或减少）任意个2/1得到的音程全体。<br /> <br /> == 参考 ==<br /> <br /> &lt;references/&gt;</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E8%B0%90%E6%B3%A2%E9%99%90&diff=545 谐波限 2026-03-29T15:14:43Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>谐波限是一类约束纯律音程或纯律和弦谐波的方法。最小谐波限小于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度受限的，也就是它们较为简单。最大超谐波限大于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度超限的，也就是它们较为复杂。<br /> <br /> 以下假设纯律音程a/b中的a, b是整数且没有大于1的公因子。<br /> <br /> == 谐波限的类型 ==<br /> === 质数限 ===<br /> 设a/b是纯律音程，将a/b写成 &lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;的形式，其中&lt;math&gt;{p_1} \cdots {p_k}&lt;/math&gt;为互不相同的质数， &lt;math&gt;{n_1}\cdots {n_k}&lt;/math&gt;为非零整数，则a/b的质数限不小于&lt;math&gt;{p_1} \cdots {p_k}&lt;/math&gt;的最大者。<br /> <br /> 设p为质数，所有质数限不超过p的纯律音程的全体构成一个[[子群]]，称为p限子群。<br /> <br /> 注：不要将m限音程写成m-限音程。短横线仅应用于连接两个专有名词。&lt;ref&gt; [https://zhuanlan.zhihu.com/p/1213957321 微分音音乐理论术语表]&lt;/ref&gt;<br /> <br /> === 奇数限 ===<br /> 设a/b是纯律音程，将a/b写成 &lt;math&gt;{2}^{n}{q_1}/{q_2}&lt;/math&gt;的形式，其中n是整数，&lt;math&gt;{q_1}&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;{q_2}&lt;/math&gt;是奇数，则a/b的奇数限不小于&lt;math&gt;max({q_1}, {q_2})&lt;/math&gt;.<br /> <br /> 设p为奇数，所有大小在[1/1, 2/1]之内的奇数限不超过p的纯律音程的全体称为'''p奇数限'''(p-odd-limit tonality diamond)。<br /> <br /> === 整数限 ===<br /> 纯律音程a/b的整数限不小于max(a, b).<br /> <br /> === 和弦的质数限 ===<br /> 和弦的质数限不小于各个组成音程质数限的最大者。<br /> <br /> === 和弦的整数限 ===<br /> 和弦&lt;math&gt;x_1:x_2:...:x_n&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;x_1, x_2, ..., x_n&lt;/math&gt;为整数且没有大于1的公因子) 的整数限不小于&lt;math&gt;\max(x_1, x_2, ..., x_n)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> == 超谐波限 ==<br /> 设a/b是纯律音程，其最小谐波限制y大于x，则称a/b为x超谐波限音程。<br /> <br /> === 和弦的超谐波限 ===<br /> 和弦的超谐波限不大于各个组成音程最大的超谐波限中最大者。<br /> <br /> == 例子 ==<br /> * 音程16/15的质数限≥5, 奇数限≥15, 整数限≥16,同时是超3质数限与超11奇数限音程.<br /> <br /> * 和弦4:5:6的质数限≥5, 整数限≥6,同时是超3质数限与超5整数限和弦.<br /> <br /> * 一个2/1内的7奇数限音程的全体是1/1, 8/7, 7/6, 6/5, 5/4, 4/3, 7/5, 10/7, 3/2, 8/5, 5/3, 12/7, 7/4, 2/1.<br /> * 音程9/7是含7音程.<br /> <br /> == 具体质数谐波的限制 ==<br /> 设a/b是纯律音程，将a/b写成 &lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;的形式，其中&lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;若有质数p的指数不为0，则称a/b为含p音程.<br /> <br /> === 和弦的具体谐波的限制 ===<br /> 若和弦中任意一音程为含p音程，则该和弦含p。<br /> <br /> == 谐波限的组合 ==<br /> 质数限、奇数限、整数限、超质数限、超奇数限、超整数限、含p作为约束条件可以组合，p质数限n奇数限m整数限q超质数限a超奇数限b超整数限含p是质数限不超过p、奇数限不超过n、整数限不超过m、超质数限不超过q、超奇数限不超过a、超整数限不超过b、包含质数谐波p的音程全体。<br /> <br /> 例：5限15奇数限超3奇数限含5的音程全体是16/15, 15/8, 10/9, 9/5, 6/5, 5/3, 5/4, 8/5以及它们增加（或减少）任意个2/1得到的音程全体。<br /> <br /> == 参考 ==<br /> <br /> &lt;references/&gt;</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=X%E5%88%86Y%E5%B7%AE&diff=544 X分Y差 2026-03-26T11:14:11Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>X分Y差指的是对于一个音程Y，存在一个使得&lt;math&gt;|\log(Z^X/Y)|&lt;/math&gt;最小的16[[谐波限|整数限]]音程Z，若&lt;math&gt;Z^X/Y&gt;1&lt;/math&gt;，那么X分Y差就是&lt;math&gt;Z^X/Y&lt;/math&gt;，若&lt;math&gt;Z^X/Y&lt;1&lt;/math&gt;，那么X分Y差就是&lt;math&gt;Y/Z^X&lt;/math&gt;。<br /> <br /> 如3分3/2差代表1029/1024，因为使得&lt;math&gt;|\log(Z^3/(3/2))|&lt;/math&gt;最小的16[[谐波限|整数限]]音程Z=8/7，3分3/2差就是&lt;math&gt;(3/2)/(8/7)^3=1029/1024&lt;/math&gt;</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&diff=543 首页 2026-03-26T10:29:07Z <p>Administrator：​/* 术语 */</p> <hr /> <div>== 欢迎来到律学维基！ ==<br /> 律学维基是一个开放的、协作的音乐律学知识库与调谐系统指南。我们致力于系统化地梳理与呈现人类音乐中丰富多彩的音高组织智慧。<br /> <br /> 我们的涵盖范围包括：<br /> <br /> * 理论体系：从[[纯律]]、[[五度相生律]]到[[12ed2|十二平均律]]及现代微分音理论。<br /> * 历史实践：深入挖掘西方古乐调律，如[[2.3.5/(81/80)|中庸全音律（meantone）]]、瓦洛蒂调律等。<br /> * 全球传统：印度拉格、波斯-阿拉伯玛卡姆、中国琴律、印尼甘美兰调律等。<br /> * 实际应用：提供律制对比音频、乐器调音指南，并探讨其在当代创作、演奏与数字音乐中的实践。<br /> <br /> 无论您是学者、音乐家、制琴师，还是纯粹好奇的爱好者，律学维基都邀请您一同探索、聆听并参与构建这个关于音高宇宙的公共知识宝藏。<br /> <br /> == 初学者页面 ==<br /> 你是否曾好奇，为什么有些音符组合起来悦耳和谐，有些却略显紧张？为什么不同的乐器调音方式会塑造出截然不同的音乐色彩？答案，就藏在音律学之中。<br /> <br /> 音律学是音乐背后的“数学与密码”，它研究我们如何定义、划分和组织音高。它不像乐理那样直接教你写旋律，而是为你揭示声音之所以成为音乐的根本法则——从物理振动到听觉感知，从古希腊到全球各地，人类如何用智慧“雕刻”出千变万化的音高体系。<br /> <br /> 这个初学者页面是你探索旅程的第一张地图。我们将从最核心的概念出发，循序渐进地搭建理解框架：<br /> <br /> ==== 一、声音与音高基础 ====<br /> <br /> # [[乐音]] (Musical Tone)<br /> # 音高 (Pitch)<br /> # 音符 (Note) 与音符命名系统<br /> # 标准音高 (A4 = 440 Hz)<br /> <br /> ==== 二、频率与音程 ====<br /> <br /> # 频率比与音程 (Interval)<br /> # 上行音程、下行音程与完全一度<br /> # 音程的[[转位]]关系<br /> <br /> ==== 三、八度等价与音高组织 ====<br /> <br /> # 八度等价 (Octave Equivalence) ''注：此处特指“八度平均划分”体系下的等价关系''<br /> # 等价类 (Equivalence Class) 概念<br /> # 音符类 (Note Class)<br /> <br /> ==== 四、泛音与沉音 ====<br /> <br /> # [[泛音列]] (Harmonic Series)<br /> # [[沉音列]] (Undertone series)<br /> <br /> ==== 五、音分系统 ====<br /> <br /> # [[音分]] (Cent) 的定义以及推导<br /> # 音程单位转换与对数关系<br /> <br /> ==== 六、音阶与律制入门 ====<br /> <br /> # [[音阶]]的一般理论<br /> # [[MOS]]音阶<br /> # [[矢状记谱法]]（[[矢状记谱法|sagittal notation]]）<br /> # 律制系统概述<br /> #* [[五度相生律]]<br /> #* [[5限纯律]]<br /> #* [[平均律]]<br /> # 音差概念<br /> #* 毕达哥拉斯音差（[[531441/524288]]）<br /> #* 合音差（[[81/80]]）<br /> #* [[间差]]<br /> #* [[点差]]<br /> <br /> ==== 七、常见错误观点 ====<br /> <br /> # [[常见错误观点]]<br /> <br /> == 音程 ==<br /> [[5/4]]<br /> <br /> [[7/6]]<br /> <br /> [[8/7]]<br /> <br /> [[81/80]]<br /> <br /> [[225/224]]<br /> <br /> [[4375/4374]]<br /> <br /> == 律制 ==<br /> [[3限纯律]]<br /> <br /> [[12ed2]]<br /> <br /> [[31ed2]]<br /> <br /> [[53ed2]]<br /> <br /> [[2.3.5/(81/80)]]<br /> <br /> [[2.3.5.7/(81/80,225/224)]]<br /> <br /> [[2.3.7/(1029/1024)]]<br /> <br /> [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]<br /> <br /> == 术语 ==<br /> [[me/ie]]<br /> <br /> [[超3限简单音程的命名]]<br /> <br /> [[X分Y差]]<br /> <br /> [[和弦]]<br /> <br /> [[负和声]]<br /> <br /> [[对称和弦]]<br /> <br /> [[谐波限]]<br /> <br /> [[平移]]<br /> <br /> [[和声熵]]<br /> <br /> == 和弦 ==<br /> [[5限和弦]]<br /> <br /> [[7限和弦]]<br /> <br /> == 音阶 ==<br /> <br /> [[音阶]]<br /> <br /> [[中立音]]<br /> <br /> == 记谱法 ==<br /> [[半整数升降]]<br /> <br /> == 精度 ==<br /> [[平均律误差]]<br /> <br /> [[Zeta调律]]<br /> <br /> == 乐器 ==<br /> <br /> [https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%8F%B7/1474939 自然号]<br /> <br /> == 音乐 ==<br /> <br /> [https://www.bilibili.com/video/BV1bgsdznEKR/ 在林中]<br /> <br /> [https://musescore.com/user/10794916/scores/6240657 Nokia Arabic Ringtone]<br /> <br /> == 入门 ==<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Configuration_settings MediaWiki配置设置列表]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ/zh-hans MediaWiki常见问题]<br /> * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/mediawiki-announce.lists.wikimedia.org/ MediaWiki发布邮件列表]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Localisation#Translation_resources 本地化MediaWiki到您的语言]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Combating_spam 了解如何在您的wiki上打击破坏]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=X%E5%88%86Y%E5%B7%AE&diff=542 X分Y差 2026-03-25T13:33:45Z <p>Administrator：​创建页面，内容为“X分Y差指的是对于一个音程Y，存在一个使得&lt;math&gt;|\log(Z^X/Y)|&lt;/math&gt;最小的21奇数限音程Z，若&lt;math&gt;Z^X/Y&gt;1&lt;/math&gt;，那么X分Y差就是&lt;math&gt;Z^X/Y&lt;/math&gt;，若&lt;math&gt;Z^X/Y&lt;1&lt;/math&gt;，那么X分Y差就是&lt;math&gt;Y/Z^X&lt;/math&gt;。 如3分3/2差代表1029/1024，因为使得&lt;math&gt;|\log(Z^3/(3/2))|&lt;/math&gt;最小的21奇数限音程Z=8/7，3分3/2差就是&lt;math&gt;(3/2)/(8/7)^3=1029/1024&lt;/math&gt;”</p> <hr /> <div>X分Y差指的是对于一个音程Y，存在一个使得&lt;math&gt;|\log(Z^X/Y)|&lt;/math&gt;最小的21[[谐波限|奇数限]]音程Z，若&lt;math&gt;Z^X/Y&gt;1&lt;/math&gt;，那么X分Y差就是&lt;math&gt;Z^X/Y&lt;/math&gt;，若&lt;math&gt;Z^X/Y&lt;1&lt;/math&gt;，那么X分Y差就是&lt;math&gt;Y/Z^X&lt;/math&gt;。<br /> <br /> 如3分3/2差代表1029/1024，因为使得&lt;math&gt;|\log(Z^3/(3/2))|&lt;/math&gt;最小的21[[谐波限|奇数限]]音程Z=8/7，3分3/2差就是&lt;math&gt;(3/2)/(8/7)^3=1029/1024&lt;/math&gt;</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E8%B6%853%E9%99%90%E7%AE%80%E5%8D%95%E9%9F%B3%E7%A8%8B%E7%9A%84%E5%91%BD%E5%90%8D&diff=541 超3限简单音程的命名 2026-03-25T08:40:12Z <p>Administrator：​/* 例子 */</p> <hr /> <div>若纯律音程y可化为&lt;math&gt;\frac{2^{n}}{3^{m}} \times (2.3.p\text{子群的形式音差})^{x}&lt;/math&gt;的形式，其中n,m皆为整数，x为非0整数，且x的值取其它非0整数时会使得整个式子的Tenney norm更大，那么此时y被称为p纯（&lt;math&gt;\frac{2^{n}}{3^{m}}\text{所对应的fjs名称}&lt;/math&gt;）。<br /> <br /> == 例子 ==<br /> 81/80为5纯纯一度，5/4为5纯大三度，6/5为5纯小三度，7/4为7纯小七度，7/6为7纯小三度，11/9为11纯小三度。</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E8%B6%853%E9%99%90%E7%AE%80%E5%8D%95%E9%9F%B3%E7%A8%8B%E7%9A%84%E5%91%BD%E5%90%8D&diff=540 超3限简单音程的命名 2026-03-25T08:39:42Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>若纯律音程y可化为&lt;math&gt;\frac{2^{n}}{3^{m}} \times (2.3.p\text{子群的形式音差})^{x}&lt;/math&gt;的形式，其中n,m皆为整数，x为非0整数，且x的值取其它非0整数时会使得整个式子的Tenney norm更大，那么此时y被称为p纯（&lt;math&gt;\frac{2^{n}}{3^{m}}\text{所对应的fjs名称}&lt;/math&gt;）。<br /> <br /> == 例子 ==<br /> 81/80为5纯大一度，5/4为5纯大三度，6/5为5纯小三度，7/4为7纯小七度，7/6为7纯小三度，11/9为11纯小三度。</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&diff=539 首页 2026-03-25T08:37:39Z <p>Administrator：​/* 术语 */</p> <hr /> <div>== 欢迎来到律学维基！ ==<br /> 律学维基是一个开放的、协作的音乐律学知识库与调谐系统指南。我们致力于系统化地梳理与呈现人类音乐中丰富多彩的音高组织智慧。<br /> <br /> 我们的涵盖范围包括：<br /> <br /> * 理论体系：从[[纯律]]、[[五度相生律]]到[[12ed2|十二平均律]]及现代微分音理论。<br /> * 历史实践：深入挖掘西方古乐调律，如[[2.3.5/(81/80)|中庸全音律（meantone）]]、瓦洛蒂调律等。<br /> * 全球传统：印度拉格、波斯-阿拉伯玛卡姆、中国琴律、印尼甘美兰调律等。<br /> * 实际应用：提供律制对比音频、乐器调音指南，并探讨其在当代创作、演奏与数字音乐中的实践。<br /> <br /> 无论您是学者、音乐家、制琴师，还是纯粹好奇的爱好者，律学维基都邀请您一同探索、聆听并参与构建这个关于音高宇宙的公共知识宝藏。<br /> <br /> == 初学者页面 ==<br /> 你是否曾好奇，为什么有些音符组合起来悦耳和谐，有些却略显紧张？为什么不同的乐器调音方式会塑造出截然不同的音乐色彩？答案，就藏在音律学之中。<br /> <br /> 音律学是音乐背后的“数学与密码”，它研究我们如何定义、划分和组织音高。它不像乐理那样直接教你写旋律，而是为你揭示声音之所以成为音乐的根本法则——从物理振动到听觉感知，从古希腊到全球各地，人类如何用智慧“雕刻”出千变万化的音高体系。<br /> <br /> 这个初学者页面是你探索旅程的第一张地图。我们将从最核心的概念出发，循序渐进地搭建理解框架：<br /> <br /> ==== 一、声音与音高基础 ====<br /> <br /> # [[乐音]] (Musical Tone)<br /> # 音高 (Pitch)<br /> # 音符 (Note) 与音符命名系统<br /> # 标准音高 (A4 = 440 Hz)<br /> <br /> ==== 二、频率与音程 ====<br /> <br /> # 频率比与音程 (Interval)<br /> # 上行音程、下行音程与完全一度<br /> # 音程的[[转位]]关系<br /> <br /> ==== 三、八度等价与音高组织 ====<br /> <br /> # 八度等价 (Octave Equivalence) ''注：此处特指“八度平均划分”体系下的等价关系''<br /> # 等价类 (Equivalence Class) 概念<br /> # 音符类 (Note Class)<br /> <br /> ==== 四、泛音与沉音 ====<br /> <br /> # [[泛音列]] (Harmonic Series)<br /> # [[沉音列]] (Undertone series)<br /> <br /> ==== 五、音分系统 ====<br /> <br /> # [[音分]] (Cent) 的定义以及推导<br /> # 音程单位转换与对数关系<br /> <br /> ==== 六、音阶与律制入门 ====<br /> <br /> # [[音阶]]的一般理论<br /> # [[MOS]]音阶<br /> # [[矢状记谱法]]（[[矢状记谱法|sagittal notation]]）<br /> # 律制系统概述<br /> #* [[五度相生律]]<br /> #* [[5限纯律]]<br /> #* [[平均律]]<br /> # 音差概念<br /> #* 毕达哥拉斯音差（[[531441/524288]]）<br /> #* 合音差（[[81/80]]）<br /> #* [[间差]]<br /> #* [[点差]]<br /> <br /> ==== 七、常见错误观点 ====<br /> <br /> # [[常见错误观点]]<br /> <br /> == 音程 ==<br /> [[5/4]]<br /> <br /> [[7/6]]<br /> <br /> [[8/7]]<br /> <br /> [[81/80]]<br /> <br /> [[225/224]]<br /> <br /> [[4375/4374]]<br /> <br /> == 律制 ==<br /> [[3限纯律]]<br /> <br /> [[12ed2]]<br /> <br /> [[31ed2]]<br /> <br /> [[53ed2]]<br /> <br /> [[2.3.5/(81/80)]]<br /> <br /> [[2.3.5.7/(81/80,225/224)]]<br /> <br /> [[2.3.7/(1029/1024)]]<br /> <br /> [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]<br /> <br /> == 术语 ==<br /> [[me/ie]]<br /> <br /> [[超3限简单音程的命名]]<br /> <br /> [[和弦]]<br /> <br /> [[负和声]]<br /> <br /> [[对称和弦]]<br /> <br /> [[谐波限]]<br /> <br /> [[平移]]<br /> <br /> [[和声熵]]<br /> <br /> == 和弦 ==<br /> [[5限和弦]]<br /> <br /> [[7限和弦]]<br /> <br /> == 音阶 ==<br /> <br /> [[音阶]]<br /> <br /> [[中立音]]<br /> <br /> == 记谱法 ==<br /> [[半整数升降]]<br /> <br /> == 精度 ==<br /> [[平均律误差]]<br /> <br /> [[Zeta调律]]<br /> <br /> == 乐器 ==<br /> <br /> [https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%8F%B7/1474939 自然号]<br /> <br /> == 音乐 ==<br /> <br /> [https://www.bilibili.com/video/BV1bgsdznEKR/ 在林中]<br /> <br /> [https://musescore.com/user/10794916/scores/6240657 Nokia Arabic Ringtone]<br /> <br /> == 入门 ==<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Configuration_settings MediaWiki配置设置列表]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ/zh-hans MediaWiki常见问题]<br /> * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/mediawiki-announce.lists.wikimedia.org/ MediaWiki发布邮件列表]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Localisation#Translation_resources 本地化MediaWiki到您的语言]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Combating_spam 了解如何在您的wiki上打击破坏]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E8%B0%90%E6%B3%A2%E9%99%90&diff=538 谐波限 2026-03-25T08:26:21Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>谐波限是一类约束纯律音程或纯律和弦谐波的方法。最小谐波限小于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度受限的，也就是它们较为简单。最大超谐波限大于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度超限的，也就是它们较为复杂。<br /> <br /> 以下假设纯律音程a/b中的a, b是整数且没有大于1的公因子。<br /> <br /> == 谐波限的类型 ==<br /> === 质数限 ===<br /> 设a/b是纯律音程，将a/b写成 &lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;的形式，其中&lt;math&gt;{p_1} \cdots {p_k}&lt;/math&gt;为互不相同的质数， &lt;math&gt;{n_1}\cdots {n_k}&lt;/math&gt;为非零整数，则a/b的质数限不小于&lt;math&gt;{p_1} \cdots {p_k}&lt;/math&gt;的最大者。<br /> <br /> 设p为质数，所有质数限不超过p的纯律音程的全体构成一个[[子群]]，称为p限子群。<br /> <br /> 注：不要将m限音程写成m-限音程。短横线仅应用于连接两个专有名词。&lt;ref&gt; [https://zhuanlan.zhihu.com/p/1213957321 微分音音乐理论术语表]&lt;/ref&gt;<br /> <br /> === 奇数限 ===<br /> 设a/b是纯律音程，将a/b写成 &lt;math&gt;{2}^{n}{q_1}/{q_2}&lt;/math&gt;的形式，其中n是整数，&lt;math&gt;{q_1}&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;{q_2}&lt;/math&gt;是奇数，则a/b的奇数限不小于&lt;math&gt;max({q_1}, {q_2})&lt;/math&gt;.<br /> <br /> 设p为奇数，所有大小在[1/1, 2/1]之内的奇数限不超过p的纯律音程的全体称为'''p奇数限'''(p-odd-limit tonality diamond)。<br /> <br /> === 整数限 ===<br /> 纯律音程a/b的整数限不小于max(a, b).<br /> <br /> === 和弦的质数限 ===<br /> 和弦的质数限不小于各个组成音程质数限的最大者。<br /> <br /> === 和弦的整数限 ===<br /> 和弦&lt;math&gt;x_1:x_2:...:x_n&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;x_1, x_2, ..., x_n&lt;/math&gt;为整数且没有大于1的公因子) 的整数限不小于&lt;math&gt;\max(x_1, x_2, ..., x_n)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> == 超谐波限 ==<br /> 设a/b是纯律音程，其最小谐波限制y大于x，则称a/b为x超谐波限音程。<br /> <br /> === 和弦的超谐波限 ===<br /> 和弦的超谐波限不大于各个组成音程最大的超谐波限中最大者。<br /> <br /> == 例子 ==<br /> * 音程16/15的质数限≥5, 奇数限≥15, 整数限≥16,同时是超3质数限与超11奇数限音程.<br /> <br /> * 和弦4:5:6的质数限≥5, 整数限≥6,同时是超3质数限与超5整数限和弦.<br /> <br /> * 一个2/1内的7奇数限音程的全体是1/1, 8/7, 7/6, 6/5, 5/4, 4/3, 7/5, 10/7, 3/2, 8/5, 5/3, 12/7, 7/4, 2/1.<br /> <br /> == 具体质数谐波的限制 ==<br /> 设a/b是纯律音程，将a/b写成 &lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;的形式<br /> <br /> == 谐波限的组合 ==<br /> 质数限、奇数限、整数限、超质数限、超奇数限、超整数限作为约束条件可以组合，p质数限n奇数限m整数限q超质数限a超奇数限b超整数限是质数限不超过p、奇数限不超过n、整数限不超过m、超质数限不超过q、超奇数限不超过a、超整数限不超过b的音程全体。<br /> <br /> 例：5限15奇数限超3奇数限的音程全体是16/15, 15/8, 10/9, 9/5, 9/8, 16/9, 6/5, 5/3, 5/4, 8/5以及它们增加（或减少）任意个2/1得到的音程全体。<br /> <br /> == 参考 ==<br /> <br /> &lt;references/&gt;</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E8%B6%853%E9%99%90%E7%AE%80%E5%8D%95%E9%9F%B3%E7%A8%8B%E7%9A%84%E5%91%BD%E5%90%8D&diff=537 超3限简单音程的命名 2026-03-24T08:39:41Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>若纯律音程y可化为&lt;math&gt;\frac{2^{n}}{3^{m}} \times (2.3.p\text{子群的形式音差})^{x}&lt;/math&gt;的形式，其中n,m皆为整数，且x的值取其它非0整数时会使得整个式子的Tenney norm更大<br /> <br /> 那么此时y被称为p纯（&lt;math&gt;\frac{2^{n}}{3^{m}}\text{所对应的fjs名称}&lt;/math&gt;）。<br /> <br /> == 例子 ==<br /> 5/4为5纯大三度，6/5为5纯小三度，7/4为7纯小七度，7/6为7纯小三度，11/9为11纯小三度</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E8%B6%853%E9%99%90%E7%AE%80%E5%8D%95%E9%9F%B3%E7%A8%8B%E7%9A%84%E5%91%BD%E5%90%8D&diff=536 超3限简单音程的命名 2026-03-24T03:55:39Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>&lt;nowiki&gt;若纯律音程y可化为\frac{2^{n}}{3^{m}} \times (2.3.p子群的形式音程)^{x}的形式，其中n,m皆为整数，且x的值取其它非0整数时会使得整个式子的Tenney norm更大&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;那么此时y被称为【p纯[\frac{2^{n}}{3^{m}}所对应的fjs音程名称]】。&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> == 例子 ==<br /> 5/4为5纯大三度，6/5为5纯小三度，7/4为7纯小七度，7/6为7纯小三度，11/9为11纯小三度</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B%E8%AF%AF%E5%B7%AE&diff=477 平均律误差 2026-03-12T09:54:11Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>以下为各平均律在各[[谐波限|奇数限]]的误差（单位为音分），平均律对纯律音程的逼近方式为[[规则调律]]逼近(而非直接取整)。<br /> <br /> 2.3.7、2.3.9.11等子群的误差指的是，对于列举出来的数字互相之间形成的有理数误差中，最大的一组的误差是多少音分（如2.3.7包括3/2 7/2 7/3）。<br /> <br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |平均律<br /> |3奇数限<br /> |5奇数限<br /> |2.3.7<br /> |7奇数限<br /> |9奇数限<br /> |2.3.9.11<br /> |2.3.5.9.11<br /> |11奇数限<br /> |2.3.5.9.13<br /> |2.3.5.7.9.13<br /> |13奇数限<br /> |15奇数限<br /> |17奇数限<br /> |19奇数限<br /> |21奇数限<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 1<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 498.04<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 884.36<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 498.04<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 884.36<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1382.40<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1547.41<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1547.41<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1547.41<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1382.40<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1382.40<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1547.41<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1547.41<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1547.41<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1547.41<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1547.41<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 2<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 101.96<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 315.64<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 333.13<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 333.13<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 435.08<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 252.59<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 417.60<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 435.08<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 454.21<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 471.70<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 471.70<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 471.70<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 471.70<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 528.69<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 528.69<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 3<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 98.04<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 98.04<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 266.87<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 266.87<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 364.92<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 347.41<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 347.41<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 364.92<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 236.62<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 364.92<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 364.92<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 364.92<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 364.92<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 364.92<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 364.92<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 4<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 101.96<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 101.96<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 101.96<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 101.96<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 203.91<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 252.59<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 252.59<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 252.59<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 263.38<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 263.38<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 263.38<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 263.38<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 263.38<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 263.38<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 263.38<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 5<br /> | style=&quot;background-color: #FF7F40;&quot; | 18.04<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 93.69<br /> | style=&quot;background-color: #FF4740;&quot; | 26.87<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 102.51<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 102.51<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 107.41<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 165.00<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 165.00<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 119.47<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 128.30<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 190.79<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 190.79<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 224.43<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 224.43<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 224.43<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 6<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 98.04<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 98.04<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 98.04<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 98.04<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 196.09<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 196.09<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 196.09<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 196.09<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 236.62<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 236.62<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 236.62<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 236.62<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 236.62<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 293.60<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 293.60<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 7<br /> | style=&quot;background-color: #FF8A40;&quot; | 16.24<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 43.46<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 75.99<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 103.20<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 103.20<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 37.03<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 43.46<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 103.20<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 60.07<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 103.20<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 103.20<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 119.44<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 126.17<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 126.17<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 126.17<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 9<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 35.29<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 48.97<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 35.49<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 49.18<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 84.26<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 70.58<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 84.26<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 84.26<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 84.26<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 84.26<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 84.26<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 84.26<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 98.95<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 98.95<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 99.16<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 10<br /> | style=&quot;background-color: #FF7F40;&quot; | 18.04<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 44.36<br /> | style=&quot;background-color: #FF4740;&quot; | 26.87<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 44.36<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 62.40<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 48.68<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 75.00<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 75.00<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 62.40<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 62.40<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 75.00<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 75.00<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 75.00<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 106.20<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 106.20<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | [[12ed2|12]]<br /> | style=&quot;background-color: #6EEF40;&quot; | 1.96<br /> | style=&quot;background-color: #FF8E40;&quot; | 15.64<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 33.13<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 33.13<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 35.08<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 52.59<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 52.59<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 52.59<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 54.21<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 71.70<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 89.21<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 89.21<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 89.21<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 89.21<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 89.21<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 14<br /> | style=&quot;background-color: #FF8A40;&quot; | 16.24<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 58.50<br /> | style=&quot;background-color: #FF4C40;&quot; | 25.97<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 68.23<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 74.74<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 37.03<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 79.29<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 79.29<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 74.74<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 74.74<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 79.29<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 79.29<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 79.29<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 82.63<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 84.47<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 15<br /> | style=&quot;background-color: #FF7F40;&quot; | 18.04<br /> | style=&quot;background-color: #FF7F40;&quot; | 18.04<br /> | style=&quot;background-color: #FF4740;&quot; | 26.87<br /> | 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style=&quot;background-color: #E2C940;&quot; | 6.79<br /> | style=&quot;background-color: #E2C940;&quot; | 6.79<br /> | style=&quot;background-color: #EEC540;&quot; | 7.30<br /> | style=&quot;background-color: #EEC540;&quot; | 7.30<br /> | style=&quot;background-color: #EEC540;&quot; | 7.30<br /> | style=&quot;background-color: #F8C140;&quot; | 7.75<br /> | style=&quot;background-color: #F8C140;&quot; | 7.75<br /> | style=&quot;background-color: #F8C140;&quot; | 7.75<br /> | style=&quot;background-color: #FFBD40;&quot; | 8.28<br /> | style=&quot;background-color: #FFB340;&quot; | 9.79<br /> | style=&quot;background-color: #FF8B40;&quot; | 16.14<br /> | style=&quot;background-color: #FF8B40;&quot; | 16.14<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 62<br /> | style=&quot;background-color: #BBD640;&quot; | 5.18<br /> | style=&quot;background-color: #CED040;&quot; | 5.96<br /> | style=&quot;background-color: #BBD640;&quot; | 5.18<br /> | style=&quot;background-color: #CED040;&quot; | 5.96<br /> | style=&quot;background-color: #FFAB40;&quot; | 11.14<br /> | style=&quot;background-color: #FFB040;&quot; | 10.36<br /> | style=&quot;background-color: #FFAB40;&quot; | 11.14<br /> | style=&quot;background-color: #FFAB40;&quot; | 11.14<br /> | style=&quot;background-color: #FFAB40;&quot; | 11.14<br /> | style=&quot;background-color: #FFAB40;&quot; | 11.14<br /> | style=&quot;background-color: #FFAB40;&quot; | 11.14<br /> | style=&quot;background-color: #FFAB40;&quot; | 11.14<br /> | style=&quot;background-color: #FFAB40;&quot; | 11.14<br /> | style=&quot;background-color: #FFAB40;&quot; | 11.14<br /> | style=&quot;background-color: #FFAB40;&quot; | 11.14<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 65<br /> | style=&quot;background-color: #49FB40;&quot; | 0.42<br /> | style=&quot;background-color: #6AF040;&quot; | 1.80<br /> | style=&quot;background-color: #FFB940;&quot; | 8.83<br /> | style=&quot;background-color: #FFB140;&quot; | 10.20<br /> | style=&quot;background-color: #FFB140;&quot; | 10.20<br /> | style=&quot;background-color: #90E440;&quot; | 3.36<br /> | style=&quot;background-color: #90E440;&quot; | 3.36<br /> | style=&quot;background-color: #FFA940;&quot; | 11.35<br /> | style=&quot;background-color: #FFB540;&quot; | 9.54<br /> | style=&quot;background-color: #FF8240;&quot; | 17.53<br /> | style=&quot;background-color: #FF8240;&quot; | 17.53<br /> | style=&quot;background-color: #FF8240;&quot; | 17.53<br /> | style=&quot;background-color: #FF8240;&quot; | 17.53<br /> | style=&quot;background-color: #FF8240;&quot; | 17.53<br /> | style=&quot;background-color: #FF7F40;&quot; | 17.95<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 68<br /> | style=&quot;background-color: #9DE040;&quot; | 3.93<br /> | style=&quot;background-color: #9DE040;&quot; | 3.93<br /> | style=&quot;background-color: #9DE040;&quot; | 3.93<br /> | style=&quot;background-color: #9DE040;&quot; | 3.93<br /> | style=&quot;background-color: #FBC140;&quot; | 7.85<br /> | style=&quot;background-color: #FFA440;&quot; | 12.11<br /> | style=&quot;background-color: #FFA440;&quot; | 12.11<br /> | style=&quot;background-color: #FFA440;&quot; | 12.11<br /> | style=&quot;background-color: #FBC140;&quot; | 7.85<br /> | style=&quot;background-color: #FBC140;&quot; | 7.85<br /> | style=&quot;background-color: #FFA440;&quot; | 12.11<br /> | style=&quot;background-color: #FFA440;&quot; | 12.11<br /> | style=&quot;background-color: #FFA440;&quot; | 12.11<br /> | style=&quot;background-color: #FFA440;&quot; | 12.11<br /> | style=&quot;background-color: #FFA440;&quot; | 12.11<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 72<br /> | style=&quot;background-color: #6EEF40;&quot; | 1.96<br /> | style=&quot;background-color: #87E740;&quot; | 2.98<br /> | style=&quot;background-color: #73ED40;&quot; | 2.16<br /> | style=&quot;background-color: #87E740;&quot; | 2.98<br /> | style=&quot;background-color: #9DE040;&quot; | 3.91<br /> | style=&quot;background-color: #9DE040;&quot; | 3.91<br /> | style=&quot;background-color: #9DE040;&quot; | 3.91<br /> | style=&quot;background-color: #9DE040;&quot; | 3.91<br /> | style=&quot;background-color: #EBC640;&quot; | 7.19<br /> | style=&quot;background-color: #EBC640;&quot; | 7.19<br /> | style=&quot;background-color: #EBC640;&quot; | 7.19<br /> | style=&quot;background-color: #EBC640;&quot; | 7.19<br /> | style=&quot;background-color: #EBC640;&quot; | 7.19<br /> | style=&quot;background-color: #FFB440;&quot; | 9.68<br /> | style=&quot;background-color: #FFB440;&quot; | 9.68<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 77<br /> | style=&quot;background-color: #4FF940;&quot; | 0.66<br /> | style=&quot;background-color: #9EDF40;&quot; | 3.95<br /> | style=&quot;background-color: #7DEA40;&quot; | 2.59<br /> | style=&quot;background-color: #CCD040;&quot; | 5.89<br /> | style=&quot;background-color: #CCD040;&quot; | 5.89<br /> | style=&quot;background-color: #CBD040;&quot; | 5.86<br /> | style=&quot;background-color: #FFB740;&quot; | 9.16<br /> | style=&quot;background-color: #FFB740;&quot; | 9.16<br /> | style=&quot;background-color: #AEDA40;&quot; | 4.61<br /> | style=&quot;background-color: #CCD040;&quot; | 5.89<br /> | style=&quot;background-color: #FFB740;&quot; | 9.16<br /> | style=&quot;background-color: #FFB740;&quot; | 9.16<br /> | style=&quot;background-color: #FFB240;&quot; | 10.00<br /> | style=&quot;background-color: #FFB240;&quot; | 10.00<br /> | style=&quot;background-color: #FFB240;&quot; | 10.00<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 80<br /> | style=&quot;background-color: #88E740;&quot; | 3.04<br /> | style=&quot;background-color: #98E140;&quot; | 3.69<br /> | style=&quot;background-color: #D3CE40;&quot; | 6.17<br /> | style=&quot;background-color: #D3CE40;&quot; | 6.17<br /> | style=&quot;background-color: #D3CE40;&quot; | 6.17<br /> | style=&quot;background-color: #D1CF40;&quot; | 6.09<br /> | style=&quot;background-color: #D1CF40;&quot; | 6.09<br /> | style=&quot;background-color: #D3CE40;&quot; | 6.17<br /> | style=&quot;background-color: #DDCA40;&quot; | 6.62<br /> | style=&quot;background-color: #E0CA40;&quot; | 6.70<br /> | style=&quot;background-color: #E0CA40;&quot; | 6.70<br /> | style=&quot;background-color: #EDC540;&quot; | 7.26<br /> | style=&quot;background-color: #EDC540;&quot; | 7.26<br /> | style=&quot;background-color: #EDC540;&quot; | 7.26<br /> | style=&quot;background-color: #FFB340;&quot; | 9.75<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 87<br /> | style=&quot;background-color: #63F340;&quot; | 1.49<br /> | style=&quot;background-color: #66F240;&quot; | 1.60<br /> | style=&quot;background-color: #B2D940;&quot; | 4.80<br /> | style=&quot;background-color: #B2D940;&quot; | 4.80<br /> | style=&quot;background-color: #D6CD40;&quot; | 6.30<br /> | style=&quot;background-color: #87E740;&quot; | 2.99<br /> | style=&quot;background-color: #89E640;&quot; | 3.09<br /> | style=&quot;background-color: #D6CD40;&quot; | 6.30<br /> | style=&quot;background-color: #89E640;&quot; | 3.09<br /> | style=&quot;background-color: #D6CD40;&quot; | 6.30<br /> | style=&quot;background-color: #D6CD40;&quot; | 6.30<br /> | style=&quot;background-color: #D6CD40;&quot; | 6.30<br /> | style=&quot;background-color: #FFBA40;&quot; | 8.70<br /> | style=&quot;background-color: #FFB740;&quot; | 9.24<br /> | style=&quot;background-color: #FFB740;&quot; | 9.24<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 94<br /> | style=&quot;background-color: #44FD40;&quot; | 0.17<br /> | style=&quot;background-color: #93E340;&quot; | 3.51<br /> | style=&quot;background-color: #61F440;&quot; | 1.39<br /> | style=&quot;background-color: #B0D940;&quot; | 4.72<br /> | style=&quot;background-color: #B0D940;&quot; | 4.72<br /> | style=&quot;background-color: #81E940;&quot; | 2.73<br /> | style=&quot;background-color: #97E240;&quot; | 3.68<br /> | style=&quot;background-color: #B0D940;&quot; | 4.72<br /> | style=&quot;background-color: #BFD440;&quot; | 5.36<br /> | style=&quot;background-color: #BFD440;&quot; | 5.36<br /> | style=&quot;background-color: #BFD440;&quot; | 5.36<br /> | style=&quot;background-color: #BFD440;&quot; | 5.36<br /> | style=&quot;background-color: #BFD440;&quot; | 5.36<br /> | style=&quot;background-color: #CDD040;&quot; | 5.92<br /> | style=&quot;background-color: #CDD040;&quot; | 5.92<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 99<br /> | style=&quot;background-color: #59F640;&quot; | 1.08<br /> | style=&quot;background-color: #65F240;&quot; | 1.57<br /> | style=&quot;background-color: #59F640;&quot; | 1.08<br /> | style=&quot;background-color: #65F240;&quot; | 1.57<br /> | style=&quot;background-color: #73EE40;&quot; | 2.15<br /> | style=&quot;background-color: #FFBE40;&quot; | 8.01<br /> | style=&quot;background-color: #FFBE40;&quot; | 8.01<br /> | style=&quot;background-color: #FFBE40;&quot; | 8.01<br /> | style=&quot;background-color: #D6CD40;&quot; | 6.31<br /> | style=&quot;background-color: #D6CD40;&quot; | 6.31<br /> | style=&quot;background-color: #FFBE40;&quot; | 8.01<br /> | style=&quot;background-color: #FFBB40;&quot; | 8.50<br /> | style=&quot;background-color: #FFB240;&quot; | 10.00<br /> | style=&quot;background-color: #FFA940;&quot; | 11.38<br /> | style=&quot;background-color: #FFA940;&quot; | 11.38<br /> |}<br /> 以下是误差用[[Me/ie|ie]]值的表示，数值越大，误差越小：<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |平均律<br /> |3奇数限<br /> |5奇数限<br /> |2.3.7<br /> |7奇数限<br /> |9奇数限<br /> |2.3.9.11<br /> |2.3.5.9.11<br /> |11奇数限<br /> |2.3.5.9.13<br /> |2.3.5.7.9.13<br /> |13奇数限<br /> |15奇数限<br /> |17奇数限<br /> |19奇数限<br /> |21奇数限<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 1<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 3.48<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1.96<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 3.48<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1.96<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1.25<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1.12<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1.12<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1.12<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1.25<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1.25<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1.12<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1.12<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1.12<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1.12<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 1.12<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 2<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 16.98<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 5.48<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 5.20<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 5.20<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 3.98<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 6.85<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 4.15<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 3.98<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 3.81<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 3.67<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 3.67<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 3.67<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 3.67<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 3.27<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 3.27<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 3<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 17.66<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 17.66<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 6.49<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 6.49<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 4.74<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 4.98<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 4.98<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 4.74<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 7.32<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 4.74<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 4.74<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 4.74<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 4.74<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 4.74<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 4.74<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 4<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 16.98<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 16.98<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 16.98<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 16.98<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 8.49<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 6.85<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 6.85<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 6.85<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 6.57<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 6.57<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 6.57<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 6.57<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 6.57<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 6.57<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 6.57<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 5<br /> | style=&quot;background-color: #FF7F40;&quot; | 95.94<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 18.48<br /> | style=&quot;background-color: #FF4740;&quot; | 64.43<br /> | style=&quot;background-color: 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17.66<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 8.83<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 8.83<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 8.83<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 8.83<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 7.32<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 7.32<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 7.32<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 7.32<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 7.32<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 5.90<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 5.90<br /> |-<br /> | style=&quot;background-color: #FFFFFF;&quot; | 7<br /> | style=&quot;background-color: #FF8A40;&quot; | 106.60<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 39.84<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 22.78<br /> | style=&quot;background-color: #FF4040;&quot; | 16.78<br /> | 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style=&quot;background-color: #73EE40;&quot; | 805.00<br /> | style=&quot;background-color: #FFBE40;&quot; | 216.03<br /> | style=&quot;background-color: #FFBE40;&quot; | 216.03<br /> | style=&quot;background-color: #FFBE40;&quot; | 216.03<br /> | style=&quot;background-color: #D6CD40;&quot; | 274.16<br /> | style=&quot;background-color: #D6CD40;&quot; | 274.16<br /> | style=&quot;background-color: #FFBE40;&quot; | 216.03<br /> | style=&quot;background-color: #FFBB40;&quot; | 203.58<br /> | style=&quot;background-color: #FFB240;&quot; | 173.14<br /> | style=&quot;background-color: #FFA940;&quot; | 152.12<br /> | style=&quot;background-color: #FFA940;&quot; | 152.12<br /> |}</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=12ed2&diff=476 12ed2 2026-03-12T09:53:09Z <p>Administrator：​/* 对高次谐音列的近似能力 */</p> <hr /> <div>十二平均律（'''12 equal divisions of the octave'''，简称 '''12EDO''' 或 '''12ED2'''；在[[规则调律体系]]中亦称作 '''12-tone equal temperament'''（'''12TET'''） 或 '''12 equal temperament'''（'''12ET'''））是一种将八度音程均匀分为 12 个等份的调律系统，每一等份的音程为 100 音分（cent）。其中每一步对应的频率比为 &lt;math&gt;\sqrt[12]{2}&lt;/math&gt;，即 2 的 12 次方根。该调律是当今全球最主流的音律体系。<br /> <br /> == 理论 ==<br /> 十二平均律的核心是八度等分。这一特性使其调和了多种在纯律或五度相生律中存在的微小音差，实现了音高体系的循环闭合：<br /> <br /> # 闭合五度圈：12个平均律五度（700¢ × 12 = 8400¢）恰好等于7个八度（8400¢），调和了毕达哥拉斯音差（[[531441/524288]]，约23.46¢）；<br /> # 闭合三度圈：3个平均律大三度（400¢ × 3 = 1200¢）等于1个八度，调和了增音差（[[128/125]]，约41.06¢）；4个平均律小三度（300¢ × 4 = 1200¢）也等于1个八度，调和了减音差（[[648/625]]，约62.57¢）；<br /> # 中庸全音律属性：四个平均律五度（700¢ × 4 = 2800¢）恰好等于大三度的双复音程（400¢ + 2400¢ = 2800¢）。<br /> <br /> ==== 与其他律制的比较及音程近似度 ====<br /> 十二平均律是对自然谐音列的有理数音程的对数近似。其音程与纯律的对比揭示了其“中庸”特性：<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> !音程<br /> !十二平均律 (音分)<br /> !纯律 (频率比)<br /> !音分差值<br /> |-<br /> |纯五度<br /> |700¢<br /> |3/2 (701.955¢)<br /> | -1.955¢<br /> |-<br /> |大三度<br /> |400¢<br /> |5/4 (386.314¢)<br /> | +13.686¢<br /> |-<br /> |小三度<br /> |300¢<br /> |6/5 (315.641¢)<br /> | -15.641¢<br /> |-<br /> |自然小七度<br /> |1000¢<br /> |7/4 (968.826¢)<br /> | +31.174¢<br /> |}<br /> <br /> ==== 对高次谐音列的近似能力 ====<br /> 十二平均律对不同[[谐波限]]的近似能力各异，这决定了它能支持何种复杂的和声：<br /> <br /> * [[三限]]：十二平均律对基于3次谐音的音程（如3/2）近似良好，是其成为标准的基础。<br /> * [[五限]]：十二平均律在5奇数限内具有[[一致性]]，但是不能区分[[16/15]]和[[25/24]]。<br /> * [[七限]]：十二平均律在7奇数限内具有一致性，但是没有区别一致性，因为它不能区分[[7/6]]和[[6/5]].<br /> * 高限：十二平均律几乎不能代表[[11/1]]或[[13/1]]，但对[[17/1]]和[[19/1]]的近似都在5¢以内，这为探索非传统和声（如1:2:17:19）提供了可能。<br /> <br /> ==== 历史与实践中的主导地位 ====<br /> 在十二平均律普及前，欧洲曾长期使用不等程律（如各种中庸全音律、良律），在不同调上音色各异。其主导地位的确立主要源于：<br /> <br /> # 乐器制造的便利：尤其适用于固定音高的键盘乐器，一套音准即可演奏所有调性。<br /> # 绝对的转调自由：允许音乐在24个大小调间无缝转调，满足了浪漫主义以降音乐对调性扩张的需求。<br /> # 等音变换的简化：由于调和了毕达哥拉斯音差，在五度相生律中存在约23.460音分差异的 ''C''♯ 与 ''D''♭ 在十二平均律中于物理音高上完全合一。这极大地简化了记谱、乐理与键盘乐器的演奏。<br /> <br /> ==== 现代音乐理论中的角色 ====<br /> 如今，十二平均律日益被视为一个独立的音高体系，而非对纯律的近似。其本身的结构催生了新的音乐语言：<br /> <br /> * 序列主义音乐：依赖于半音阶的绝对平等。<br /> * 爵士和声与现代作曲：大量使用基于平均律等分结构的和弦（如增和弦、全音阶、各种高叠和弦）。<br /> * 理论框架：作为“十二音体系”的物理基础，其内部对称性（如三度循环、减七和弦等分八度）成为现代和声分析的重要工具。<br /> <br /> 在实际演奏中，敏锐的演奏家（尤其是弦乐、声乐）常在旋律线条或重点和声中本能地微调音高，以接近纯律的和谐。然而，十二平均律提供的固定参照框架，使得这种“有意的偏差”成为可能，并确保了合奏的整体一致性。<br /> <br /> == 历史 ==<br /> 十二平均律的发展在中国与西方经历了彼此独立但最终汇流的漫长过程，其核心目标均为解决“旋宫转调”或“自由转调”这一音乐实践中的根本难题。<br /> <br /> === 中国对十二平均律的探索历程 ===<br /> 中国对十二平均律的探索，是一场持续近两千年的、旨在解决传统律制根本缺陷的科学攻坚。其核心动力源于音乐实践中“旋相为宫”（即自由转调）的理想与三分损益律数学局限性之间不可调和的矛盾。<br /> <br /> ==== 一、问题的起源：三分损益律与“旋宫”的矛盾 ====<br /> 中国传统的三分损益律是一种纯五度（频率比3:2）相生构成十二律的体系。然而，数学上存在一个根本性障碍：从一律出发，连续生律十二次（即相生十二个纯五度）后，所得的“清黄钟”音高，无法精确地回到出发律的高八度位置上，两者之间存在一个微小的音差，即“十二点差”（或称“毕达哥拉斯音差”，频率比531441:524288，约23.46音分）。这使得十二律无法完美地循环往复，从而严重阻碍了在各调（各“宫”）之间自由转换的“旋宫”实践。<br /> <br /> ==== 二、量变求解的尝试：增加律数的极限探索 ====<br /> 为弥合这一音差，早期律学家尝试在三分损益法框架内，通过无限增加律数来逼近八度循环。<br /> <br /> # 京房六十律（西汉，约公元前1世纪）： 京房将三分损益法连续推演至六十律。其重大发现在于，当生律至第54次，得到“色育”律时，该律与始发律“黄钟”的高度已极为接近，相差仅约3.6音分（此差值后世称为“京房音差”），人耳已难分辨。然而，为了追求理论上完美的、符合“周而复始”观念的循环，并凑合当时历法所重的“六十”这一周期数，京房并未止步于54律，而是继续生全了六十律。此举虽在数学上展现了无限逼近的可能性，但也宣告了此路在音乐实践上的不可行性。<br /> # 钱乐之三百六十律（南朝宋，公元5世纪）： 钱乐之沿着京房的思路推向极端，生律至三百六十律，使最后一律与黄钟的差距缩小到不足2音分。这标志着在三分损益体系内通过增加律数来“加密”音律的方法已臻于极限，但同时也彻底暴露了其本质缺陷：律数繁多，远超任何乐器的演奏与人的听觉分辨能力，完全脱离音乐实践。<br /> <br /> ==== 三、质变改革的先声：在十二律框架内进行调整 ====<br /> 部分律学家意识到无限生律之路不通，转而尝试在十二律的框架内部调整各律高度，以求返宫。<br /> <br /> # 何承天“新律”（南朝宋，公元5世纪）： 何承天是此路径的开创者。他敏锐地将无法返宫的差数（即最大音差）平均分配（“等差”）到十二律中的每一律，从而在弦长上创造了一个等差数列。虽然其结果在物理上并非真正的等比数列（即非真正的平均律），但其“平均”的思想和在十二律内部调整以解决根本矛盾的路线，是一次革命性的转向。<br /> # 刘焯与王朴的探索：<br /> #* 刘焯（隋）的尝试是一次方向正确但方法错误的重要案例。他同样试图在十二律内平均分配音差，但其方案是直接作用于律管的物理长度。具体而言，他设定了起始律管长，并将此长度与高八度律管长之间的差值进行十二等分，然后从起始管长中逐次减去一个等分量，从而得到一系列长度呈等差递减的十二根律管，史称“十二等差管律”。然而，这一方案在物理学上是根本错误的。它忽略了管乐器发音时，气柱的有效振动长度并不等于管体的几何长度，而需进行“管口校正”。因此，管长的等差变化，并不能导致音高（频率）的等比变化，其产生的音阶严重失准，故而影响甚微，仅作为律学思想史上的一个插曲。<br /> #* 王朴（五代）则是一位重要的实践家。他通过在三分损益律的基础上，有选择地微调其中某些律（如清角、变宫）的高度，制作了音准精良的律准。他的工作表明，通过实践调试可以逼近旋宫的目标，为后世提供了宝贵经验。<br /> <br /> 另一个方向是利用[[3限纯律]]的更大的子集代替一个[[八度]]内的12音子集。这一方向从属于[[3限纯律/历史]]而非12平均律。<br /> <br /> ==== 四、终极的突破：朱载堉与“新法密率” ====<br /> 当认识到在旧体系内修补已无出路后，明代杰出的律学家、数学家朱载堉（1536-1611年）实现了根本性的范式革命。他完全跳出了三分损益的思维窠臼，直接转向等比数列。<br /> <br /> 他设定的目标是：找到一个数，使其自乘12次后等于2。即求解 &lt;math&gt;\sqrt[12]{2}&lt;/math&gt;。万历十二年（1584年），朱载堉在其巨著《律吕精义》中公布了这一革命性的“新法密率”。他运用算盘完成了史上首次对 &lt;math&gt;\sqrt[12]{2}&lt;/math&gt;​ 的精确计算，结果精确到小数点后24位。以此为核心，他构建了一套完全均等的十二律体系，从数学原理上彻底根除了“最大音差”，实现了真正的、完美的旋宫转调。朱载堉的成就，标志着中国对平均律的探索从千年跋涉的“逼近”阶段，终于抵达了理论“实现”的终点，在世界上率先完成了十二平均律的完整数理体系构建。<br /> <br /> === 西方对十二平均律的探索历程 ===<br /> 西方对十二平均律的接受是一个由音乐实践需求驱动、理论与实践逐步结合的渐进过程，最终因适应了键盘乐器的特性与和声体系的发展而成为绝对主流。<br /> <br /> ==== 文艺复兴时期的理论探索 ====<br /> 16世纪，随着复调音乐的复杂化和键盘乐器的普及，作曲家对自由转调的需求日益迫切，而当时的纯律或中庸全音律在远关系调上会产生极不协和的“狼音”。为解决此问题，学者们开始进行数学计算。约1605年，荷兰数学家西蒙·斯特芬在一份未完成的手稿中尝试计算平均律半音的比率，其结果已非常接近 &lt;math&gt;\sqrt[12]{2}&lt;/math&gt;​，但精度不足。1636年，法国修士马林·梅森在其著作《和谐的宇宙》中，首次从声学角度明确定义了十二平均律，并明确指出其数学基础是八度的十二次方根。<br /> <br /> ==== 调律法的改进与实践推广 ====<br /> 理论探索的同时，适用于键盘乐器的近似平均律调律法被提出。1691年，德国管风琴师安德烈亚斯·韦克迈斯特提出的调律法，有效缓解了“狼音”问题，使所有调性都可用于演奏，为十二平均律的实践铺平了道路。这一进程的标志性事件是约翰·塞巴斯蒂安·巴赫分别于1722年和1744年创作的两卷《良律键盘曲集》(Well-tempered Clavier)。这部作品系统地在所有24个大小调上进行创作，以卓越的音乐实践证明了（近似的）平均律在自由转调上的巨大优势，极大地推动了该律制在音乐界的接受与普及。<br /> <br /> ==== 成为现代标准 ====<br /> 18世纪后，钢琴的崛起与工业化生产，以及浪漫主义音乐对远关系转调和复杂和声的追求，使得十二平均律因其数学上的唯一性与操作的标准化，最终完全取代了其他律制，成为西方古典音乐及后续全球流行音乐无可争议的标准律制。<br /> <br /> ==== 历史路径对比 ====<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> !对比维度<br /> !中国路径<br /> !西方路径<br /> |-<br /> |核心驱动力<br /> |追求“旋宫转调”的礼乐理想与数理完备性。<br /> |解决多声部音乐中自由转调与和声协调的实际需求。<br /> |-<br /> |关键突破形式<br /> |一次性完成精确数学计算与物理定律器的理论体系。<br /> |历经理论计算、调律法改进，最终由经典音乐作品推广的渐进过程。<br /> |-<br /> |主要实践载体<br /> |律管、律准（主要用于定律与验证）。<br /> |键盘乐器（尤其是钢琴），以及与乐器制造业的紧密结合。<br /> |-<br /> |社会接受基础<br /> |限于宫廷雅乐体系与学术领域。<br /> |与市民音乐生活、乐器商品化和作曲家创作深度融合。<br /> |-<br /> |最终历史影响<br /> |一项具有里程碑意义的古代科学成就。<br /> |塑造了全球现代音乐体系的声学基础与技术标准。<br /> |}<br /> <br /> == 记谱 ==<br /> 使用常规记谱：<br /> [[文件:十二平均律，常规记谱，以C为根音.png|替代=十二平均律，常规记谱，以C为根音|居中|缩略图|900x900像素|十二平均律，常规记谱，以C为根音，包括等音异名]]<br /> <br /> <br /> 矢状记谱：<br /> [[文件:十二平均律，矢状记谱，以C为根音.png|替代=十二平均律，矢状记谱，以C为根音|居中|缩略图|900x900像素|十二平均律，矢状记谱，以C为根音]]<br /> <br /> == 音程 ==<br /> 111<br /> <br /> == 音阶 ==<br /> 111<br /> <br /> == 规则调律性质 ==<br /> <br /> === 延拓 ===<br /> <br /> === 解调 ===<br /> [[五度相生律]]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&diff=475 首页 2026-03-12T09:48:15Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>== 欢迎来到律学维基！ ==<br /> 律学维基是一个开放的、协作的音乐律学知识库与调谐系统指南。我们致力于系统化地梳理与呈现人类音乐中丰富多彩的音高组织智慧。<br /> <br /> 我们的涵盖范围包括：<br /> <br /> * 理论体系：从[[纯律]]、[[五度相生律]]到[[12ed2|十二平均律]]及现代微分音理论。<br /> * 历史实践：深入挖掘西方古乐调律，如[[2.3.5/(81/80)|中庸全音律（meantone）]]、瓦洛蒂调律等。<br /> * 全球传统：印度拉格、波斯-阿拉伯玛卡姆、中国琴律、印尼甘美兰调律等。<br /> * 实际应用：提供律制对比音频、乐器调音指南，并探讨其在当代创作、演奏与数字音乐中的实践。<br /> <br /> 无论您是学者、音乐家、制琴师，还是纯粹好奇的爱好者，律学维基都邀请您一同探索、聆听并参与构建这个关于音高宇宙的公共知识宝藏。<br /> <br /> == 初学者页面 ==<br /> 你是否曾好奇，为什么有些音符组合起来悦耳和谐，有些却略显紧张？为什么不同的乐器调音方式会塑造出截然不同的音乐色彩？答案，就藏在音律学之中。<br /> <br /> 音律学是音乐背后的“数学与密码”，它研究我们如何定义、划分和组织音高。它不像乐理那样直接教你写旋律，而是为你揭示声音之所以成为音乐的根本法则——从物理振动到听觉感知，从古希腊到全球各地，人类如何用智慧“雕刻”出千变万化的音高体系。<br /> <br /> 这个初学者页面是你探索旅程的第一张地图。我们将从最核心的概念出发，循序渐进地搭建理解框架：<br /> <br /> ==== 一、声音与音高基础 ====<br /> <br /> # [[乐音]] (Musical Tone)<br /> # 音高 (Pitch)<br /> # 音符 (Note) 与音符命名系统<br /> # 标准音高 (A4 = 440 Hz)<br /> <br /> ==== 二、频率与音程 ====<br /> <br /> # 频率比与音程 (Interval)<br /> # 上行音程、下行音程与完全一度<br /> # 音程的[[转位]]关系<br /> <br /> ==== 三、八度等价与音高组织 ====<br /> <br /> # 八度等价 (Octave Equivalence) ''注：此处特指“八度平均划分”体系下的等价关系''<br /> # 等价类 (Equivalence Class) 概念<br /> # 音符类 (Note Class)<br /> <br /> ==== 四、泛音与沉音 ====<br /> <br /> # [[泛音列]] (Harmonic Series)<br /> # [[沉音列]] (Undertone series)<br /> <br /> ==== 五、音分系统 ====<br /> <br /> # [[音分]] (Cent) 的定义以及推导<br /> # 音程单位转换与对数关系<br /> <br /> ==== 六、音阶与律制入门 ====<br /> <br /> # [[音阶]]的一般理论<br /> # [[MOS]]音阶<br /> # [[矢状记谱法]]（[[矢状记谱法|sagittal notation]]）<br /> # 律制系统概述<br /> #* [[五度相生律]]<br /> #* [[5限纯律]]<br /> #* [[平均律]]<br /> # 音差概念<br /> #* 毕达哥拉斯音差（[[531441/524288]]）<br /> #* 合音差（[[81/80]]）<br /> #* [[间差]]<br /> #* [[点差]]<br /> <br /> ==== 七、常见错误观点 ====<br /> <br /> # [[常见错误观点]]<br /> <br /> == 音程 ==<br /> [[5/4]]<br /> <br /> [[7/6]]<br /> <br /> [[8/7]]<br /> <br /> [[81/80]]<br /> <br /> [[225/224]]<br /> <br /> [[4375/4374]]<br /> <br /> == 律制 ==<br /> [[3限纯律]]<br /> <br /> [[12ed2]]<br /> <br /> [[31ed2]]<br /> <br /> [[53ed2]]<br /> <br /> [[2.3.5/(81/80)]]<br /> <br /> [[2.3.5.7/(81/80,225/224)]]<br /> <br /> [[2.3.7/(1029/1024)]]<br /> <br /> [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]<br /> <br /> == 术语 ==<br /> [[me/ie]]<br /> <br /> [[和弦]]<br /> <br /> [[负和声]]<br /> <br /> [[对称和弦]]<br /> <br /> [[谐波限]]<br /> <br /> [[平移]]<br /> <br /> [[和声熵]]<br /> <br /> == 和弦 ==<br /> [[5限和弦]]<br /> <br /> [[7限和弦]]<br /> <br /> == 音阶 ==<br /> <br /> [[音阶]]<br /> <br /> [[中立音]]<br /> <br /> == 记谱法 ==<br /> [[半整数升降]]<br /> <br /> == 精度 ==<br /> [[平均律误差]]<br /> <br /> [[Zeta调律]]<br /> <br /> == 乐器 ==<br /> <br /> [https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%8F%B7/1474939 自然号]<br /> <br /> == 音乐 ==<br /> <br /> [https://www.bilibili.com/video/BV1bgsdznEKR/ 在林中]<br /> <br /> [https://musescore.com/user/10794916/scores/6240657 Nokia Arabic Ringtone]<br /> <br /> [[csrss.exe]]<br /> <br /> == 入门 ==<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Configuration_settings MediaWiki配置设置列表]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ/zh-hans MediaWiki常见问题]<br /> * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/mediawiki-announce.lists.wikimedia.org/ MediaWiki发布邮件列表]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Localisation#Translation_resources 本地化MediaWiki到您的语言]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Combating_spam 了解如何在您的wiki上打击破坏]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E8%B0%90%E6%B3%A2%E9%99%90&diff=474 谐波限 2026-03-12T09:47:02Z <p>Administrator：​创建页面，内容为“谐波限是一类度量纯律音程或纯律和弦复杂度的方法。谐波限小于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度受限的，也就是它们较为简单。 以下假设纯律音程a/b中的a, b是整数且没有大于1的公因子。 == 谐波限的类型 == === 质数限 === 设a/b是纯律音程，将a/b写成 &lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;的形式，其中&lt;math&gt;{p_1} \cdots {p_k}&lt;/math&gt;为互不相…”</p> <hr /> <div>谐波限是一类度量纯律音程或纯律和弦复杂度的方法。谐波限小于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度受限的，也就是它们较为简单。<br /> <br /> 以下假设纯律音程a/b中的a, b是整数且没有大于1的公因子。<br /> <br /> == 谐波限的类型 ==<br /> === 质数限 ===<br /> 设a/b是纯律音程，将a/b写成 &lt;math&gt;{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}&lt;/math&gt;的形式，其中&lt;math&gt;{p_1} \cdots {p_k}&lt;/math&gt;为互不相同的质数， &lt;math&gt;{n_1}\cdots {n_k}&lt;/math&gt;为非零整数，则a/b的质数限为&lt;math&gt;{p_1} \cdots {p_k}&lt;/math&gt;的最大者。<br /> <br /> 设p为质数，所有质数限不超过p的纯律音程的全体构成一个[[子群]]，称为p限子群。<br /> <br /> 注：不要将m限音程写成m-限音程。短横线仅应用于连接两个专有名词。&lt;ref&gt; [https://zhuanlan.zhihu.com/p/1213957321 微分音音乐理论术语表]&lt;/ref&gt;<br /> <br /> === 奇数限 ===<br /> 设a/b是纯律音程，将a/b写成 &lt;math&gt;{2}^{n}{q_1}/{q_2}&lt;/math&gt;的形式，其中n是整数，&lt;math&gt;{q_1}&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;{q_2}&lt;/math&gt;是奇数，则a/b的奇数限为&lt;math&gt;max({q_1}, {q_2})&lt;/math&gt;.<br /> <br /> 设p为奇数，所有大小在[1/1, 2/1]之内的奇数限不超过p的纯律音程的全体称为'''p奇数限'''(p-odd-limit tonality diamond)。<br /> <br /> === 整数限 ===<br /> 纯律音程a/b的整数限为max(a, b).<br /> <br /> === 和弦的质数限 ===<br /> 和弦的质数限是各个组成音程质数限的最大者。<br /> <br /> == 例子 ==<br /> * 音程16/15的质数限是5, 奇数限是15, 整数限是16. <br /> <br /> * 和弦1:3/2:5/4的质数限是5.<br /> <br /> * 一个八度内的7奇数限音程的全体是1/1, 8/7, 7/6, 6/5, 5/4, 4/3, 7/5, 10/7, 3/2, 8/5, 5/3, 12/7, 7/4, 2/1.<br /> <br /> == 谐波限的组合 ==<br /> 质数限、奇数限、整数限作为约束条件可以组合，p质数限n奇数限m整数限是质数限不超过p、奇数限不超过n、整数限不超过m的音程全体。<br /> <br /> 例：5限15奇数限的音程全体是1/1, 16/15, 15/8, 10/9, 9/5, 9/8, 16/9, 6/5, 5/3, 5/4, 8/5, 4/3, 3/2以及它们增加（或减少）任意个2/1得到的音程全体。<br /> <br /> == 参考 ==<br /> <br /> &lt;references/&gt;</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E8%B6%853%E9%99%90%E7%AE%80%E5%8D%95%E9%9F%B3%E7%A8%8B%E7%9A%84%E5%91%BD%E5%90%8D&diff=473 超3限简单音程的命名 2026-03-12T09:07:47Z <p>Administrator：​创建空白页面</p> <hr /> <div></div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=BC12%E9%9F%B3%E9%98%B6&diff=462 BC12音阶 2026-03-11T13:04:40Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>BC12音阶是一个12声音阶，包含的12个音为C=1/1 C#=21/20 D=9/8 D#=7/6 E=5/4 F=4/3 F#=7/5 G=3/2 G#=14/9 A=5/3 A#=7/4 B=15/8。<br /> <br /> BC音阶要求调和225/224，也就意味着F#同时是45/32，C#同时是135/128，G#同时是25/16，D#同时是75/16，A#同时是225/128。<br /> <br /> BC12音阶的命名原因是其音集正好是B大调5限纯律音阶和C大调5限纯律音阶的并集，这里的5限纯律音阶指1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8。<br /> <br /> BC12音阶中存在三个狼五度，分别是D-A窄五度40/27，C#-G#窄五度40/27，A#-F宽五度32/21。<br /> <br /> BC12音阶的具体调音应将225/224的误差分摊到3/2,5/4,7/4上，如53平均律是一个可行的调音。<br /> <br /> 如果使用31平均律等调和81/80的调音，则可以额外消除其中的两个40/27狼五度，实现更高的写作自由度，但是听感纯度会有显著下降。<br /> <br /> 在使用BC12音阶写作时，通常高音旋律主要使用E大调或B大调的音，而低音伴奏使用C大调的音。这样可以保证和声对位中形成的频率比中，低音声部不含7因子，避免不稳定感。</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=BC12%E9%9F%B3%E9%98%B6&diff=461 BC12音阶 2026-03-11T13:02:25Z <p>Administrator：​创建页面，内容为“== BC12音阶 == BC12音阶是一个12声音阶，包含的12个音为C=1/1 C#=21/20 D=9/8 D#=7/6 E=5/4 F=4/3 F#=7/5 G=3/2 G#=14/9 A=5/3 A#=7/4 B=15/8。 BC音阶要求调和225/224，也就意味着F#同时是45/32，C#同时是135/128，G#同时是25/16，D#同时是75/16，A#同时是225/128。 BC12音阶的命名原因是其音集正好是B大调5限纯律音阶和C大调5限纯律音阶的并集，这里的5限纯律音阶指1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8…”</p> <hr /> <div>== BC12音阶 ==<br /> BC12音阶是一个12声音阶，包含的12个音为C=1/1 C#=21/20 D=9/8 D#=7/6 E=5/4 F=4/3 F#=7/5 G=3/2 G#=14/9 A=5/3 A#=7/4 B=15/8。<br /> <br /> BC音阶要求调和225/224，也就意味着F#同时是45/32，C#同时是135/128，G#同时是25/16，D#同时是75/16，A#同时是225/128。<br /> <br /> BC12音阶的命名原因是其音集正好是B大调5限纯律音阶和C大调5限纯律音阶的并集，这里的5限纯律音阶指1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8。<br /> <br /> BC12音阶中存在三个狼五度，分别是D-A窄五度40/27，C#-G#窄五度40/27，A#-F宽五度32/21。<br /> <br /> BC12音阶的具体调音应将225/224的误差分摊到3/2,5/4,7/4上，如53平均律是一个可行的调音。<br /> <br /> 如果使用31平均律等调和81/80的调音，则可以额外消除其中的两个40/27狼五度，实现更高的写作自由度，但是听感纯度会有显著下降。<br /> <br /> 在使用BC12音阶写作时，通常高音旋律主要使用E大调或B大调的音，而低音伴奏使用C大调的音。这样可以保证和声对位中形成的频率比中，低音声部不含7因子，避免不稳定感。</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E5%B8%B8%E8%A7%81%E9%94%99%E8%AF%AF%E8%A7%82%E7%82%B9&diff=460 常见错误观点 2026-03-10T12:44:58Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>== 观点1: 律学即反12平均律 ==<br /> <br /> 律学是“非12平均律”而非“反12平均律”。非12平均律当然指不是[[12ed2|12平均律]]的任何律制；更严格地说，非12平均律指任何不能[[调制]]到12平均律的律制。律学是“非12平均律”的含义是律学的范围不局限于12平均律。而反12平均律指一种认为12平均律是不好的观点。这就类似于语言学是“非中文的”而不是“反中文的”：语言学是“非中文的”指语言学的范围含有中文以外的语言，而“反中文的语言学”类似于“中文不符合universal grammar，因此中文没有语法”。<br /> <br /> 实际上，至少有两种指标可以论证12平均律是“好”的：一个是拟合纯律音程的[[平均律误差|绝对误差]]，另一个是[[Zeta调律]]指标。<br /> <br /> “反12平均律”才是观点不明确的：反12平均律不仅要反字面意义上的12平均律，还要反[[调音]]上偏离12平均律但本质上是12平均律的音乐，而“本质上是12平均律”是一种口袋罪，只要胆子足够大，任何有音高的音乐都可以是本质上12平均律的。<br /> <br /> == 观点2: 偏离12平均律的音是歪的 ==<br /> <br /> 初学者有可能难以接受[[8/7]], [[12/11]], [[28/27]], [[33/32]]等非12平均律音程，认为它们听上去是歪的。这种感觉具有一定的合理性：在适当的音乐语境下，8/7是可以用12平均律全音替代的，12/11可以用12平均律全音或半音替代，28/27和33/32都可以用12平均律半音替代。听者想接受一个12平均律全音或半音，但是得到的音程既不是全音也不是半音，所以听者会觉得这些音程是歪的。<br /> <br /> 但是，不加思考地把以上结论推广到“偏离12平均律的音是歪的”是错误的。[[泛音列]]的各个音可以组成一个整体，它们听上去不是歪的。<br /> <br /> [[文件:T 1.mp3]]<br /> <br /> 反之，泛音列在12平均律上的取整听上去才是相对歪的。<br /> <br /> [[文件:T 2231.mp3]]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:T_2231.mp3&diff=459 文件:T 2231.mp3 2026-03-10T12:44:50Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>231</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:T_1.mp3&diff=458 文件:T 1.mp3 2026-03-10T12:44:03Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>231</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=225/224%E5%86%99%E4%BD%9C&diff=457 225/224写作 2026-03-10T12:17:10Z <p>Administrator：​/* 谱例 */</p> <hr /> <div>225/224在写作中的主要作用是，通过16/15导音与5/4大三度，在5限纯律音乐中引入7限音。<br /> <br /> == 大调音阶 ==<br /> <br /> 常见的5限纯律音阶为1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1，将其标记为CDEFGABC。其中的三级音E=5/4若添加一个下方16/15的临时导音，就是75/64。这里75/64和低八度的七级音B=15/16之间的音程是5/4。类似的，其中的六级音A=5/3若添加一个下方16/15的临时导音，就是25/16。这里的25/16与E=5/4之间的音程是5/4。<br /> <br /> 在调和225/224后，75/64可以作为7/6使用，这意味着F-C-75/64成为了一个音响效果很不错的4:6:7和弦。将F和C各降低一个八度后，可以得到效果更佳的2:3:7和弦。类似的，25/16可以作为14/9使用。这意味着F-C-14/9成为了一个有一定紧张感，但是还是有一定和谐度的6:9:14和弦。<br /> <br /> === 谱例 ===<br /> [[文件:谱例1.png|540px]]<br /> <br /> [[文件:3 1.mp3]]<br /> <br /> 上面谱例的B距离主音G为5/4，A♯在B的下方16/15，所以G-A♯=75/64. 将上面的谱例化简成和弦：<br /> <br /> [[文件:谱例2.png|336px]]<br /> <br /> [[文件:3 2.mp3]]<br /> <br /> 如果用B♭替代这里的A♯，则第二个和弦会变成C属九和弦，它（和它前面的G大调和弦）暗示的调性是F大调而非G大调，与调号矛盾。这体现了回避B♭的必要性；而在调和225/224的场合下，A♯既与C构成和谐的7/2，又产生了16/15的半音进行A♯-B，还回避了B♭，一举三得。<br /> <br /> == 和声小调音阶 ==<br /> <br /> 常见的和声小调(A B C D E F G♯ A)为1 9/8 6/5 4/3 3/2 8/5 15/8 2/1，其六级音F与七级音G♯的差为75/64，而调和225/224后75/64可以作为7/6使用。</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:3_1.mp3&diff=456 文件:3 1.mp3 2026-03-10T12:16:59Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>2321</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:3_2.mp3&diff=455 文件:3 2.mp3 2026-03-10T12:15:51Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>2321</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E4%B8%80%E8%87%B4&diff=454 一致 2026-03-10T12:08:26Z <p>Administrator：​/* 例子 */</p> <hr /> <div>给定[[平均律|n平均律]]和纯律音程a/b, 有两种逼近a/b的方式：<br /> * 用n平均律的映射行乘以a/b的质因列，得数为m，选取m\n为a/b的逼近；<br /> * 直接选择距离a/b最近的音程。<br /> <br /> 如果这两者结果相同，那么称n平均律对a/b'''一致'''。<br /> <br /> == 例子 ==<br /> 27平均律的3/1是43步，11/1是93步，因此按照第一种算法得到的11/9是7\27, 而11/9≈7.82\27，第二种算法得到的是8\27, 因此27平均律对11/9是不一致的。<br /> <br /> 27平均律无法准确逼近8:9:11和弦：<br /> <br /> * (0,5,12)\27能正确逼近包含根音的两个音程，但是第二音与冠音构成音程7\27，代表6/5(5限小三度)而非11/9(中三度)；<br /> <br /> [[文件:0 5 12.mp3]]<br /> <br /> * (0,5,13)\27能正确逼近包含第二音的两个音程，但是根音与冠音构成音程13\27，代表7/5(窄三全音)而非11/8(半增四度)；<br /> <br /> [[文件:0 5 13.mp3]]<br /> <br /> * (0,4,12)\27能正确逼近包含冠音的两个音程，但是根音与第二音构成音程4\27，代表10/9而非9/8.<br /> <br /> [[文件:0 4 12.mp3]]<br /> <br /> 它们都是听觉上不可信的。以下是正确的8:9:11:<br /> <br /> [[文件:Ture.mp3]]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E4%B8%80%E8%87%B4&diff=453 一致 2026-03-10T12:08:13Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>给定[[平均律|n平均律]]和纯律音程a/b, 有两种逼近a/b的方式：<br /> * 用n平均律的映射行乘以a/b的质因列，得数为m，选取m\n为a/b的逼近；<br /> * 直接选择距离a/b最近的音程。<br /> <br /> 如果这两者结果相同，那么称n平均律对a/b'''一致'''。<br /> <br /> == 例子 ==<br /> 27平均律的3/1是43步，11/1是93步，因此按照第一种算法得到的11/9是7\27, 而11/9≈7.82\27，第二种算法得到的是8\27, 因此27平均律对11/9是不一致的。<br /> <br /> 27平均律无法准确逼近8:9:11和弦：<br /> <br /> * (0,5,12)\27能正确逼近包含根音的两个音程，但是第二音与冠音构成音程7\27，代表6/5(5限小三度)而非11/9(中三度)；<br /> <br /> [[文件:0 5 12.mp3]]<br /> <br /> * (0,5,13)\27能正确逼近包含第二音的两个音程，但是根音与冠音构成音程13\27，代表7/5(窄三全音)而非11/8(半增四度)；<br /> <br /> [[文件:0 5 13.mp3]]<br /> <br /> * (0,4,12)\27能正确逼近包含冠音的两个音程，但是根音与第二音构成音程4\27，代表10/9而非9/8.<br /> <br /> [[文件:0 4 12.mp3]]<br /> <br /> 它们都是听觉上不可信的。以下是正确的8:9:11:<br /> [[文件:Ture.mp3]]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E4%B8%80%E8%87%B4&diff=452 一致 2026-03-10T12:07:42Z <p>Administrator：​/* 例子 */</p> <hr /> <div>给定[[平均律|n平均律]]和纯律音程a/b, 有两种逼近a/b的方式：<br /> * 用n平均律的映射行乘以a/b的质因列，得数为m，选取m\n为a/b的逼近；<br /> * 直接选择距离a/b最近的音程。<br /> <br /> 如果这两者结果相同，那么称n平均律对a/b'''一致'''。<br /> <br /> == 例子 ==<br /> 27平均律的3/1是43步，11/1是93步，因此按照第一种算法得到的11/9是7\27, 而11/9≈7.82\27，第二种算法得到的是8\27, 因此27平均律对11/9是不一致的。<br /> <br /> 27平均律无法准确逼近8:9:11和弦：<br /> <br /> * (0,5,12)\27能正确逼近包含根音的两个音程，但是第二音与冠音构成音程7\27，代表6/5(5限小三度)而非11/9(中三度)；<br /> <br /> [[文件:0 5 12.mp3|缩略图]]<br /> <br /> * (0,5,13)\27能正确逼近包含第二音的两个音程，但是根音与冠音构成音程13\27，代表7/5(窄三全音)而非11/8(半增四度)；<br /> <br /> [[文件:0 5 13.mp3|缩略图]]<br /> <br /> * (0,4,12)\27能正确逼近包含冠音的两个音程，但是根音与第二音构成音程4\27，代表10/9而非9/8.<br /> <br /> [[文件:0 4 12.mp3|缩略图]]<br /> <br /> 它们都是听觉上不可信的。以下是正确的8:9:11:<br /> [[文件:Ture.mp3|缩略图]]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:Ture.mp3&diff=451 文件:Ture.mp3 2026-03-10T12:07:32Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>231</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:0_4_12.mp3&diff=450 文件:0 4 12.mp3 2026-03-10T12:06:06Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>232312</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:0_5_13.mp3&diff=449 文件:0 5 13.mp3 2026-03-10T12:05:31Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>23123</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:0_5_12.mp3&diff=448 文件:0 5 12.mp3 2026-03-10T12:05:00Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>11</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=12ed2&diff=296 12ed2 2026-02-01T20:07:23Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>十二平均律（'''12 equal divisions of the octave'''，简称 '''12EDO''' 或 '''12ED2'''；在[[规则调律体系]]中亦称作 '''12-tone equal temperament'''（'''12TET'''） 或 '''12 equal temperament'''（'''12ET'''））是一种将八度音程均匀分为 12 个等份的调律系统，每一等份的音程为 100 音分（cent）。其中每一步对应的频率比为 &lt;math&gt;\sqrt[12]{2}&lt;/math&gt;，即 2 的 12 次方根。该调律是当今全球最主流的音律体系。<br /> <br /> == 理论 ==<br /> 十二平均律的核心是八度等分。这一特性使其调和了多种在纯律或五度相生律中存在的微小音差，实现了音高体系的循环闭合：<br /> <br /> # 闭合五度圈：12个平均律五度（700¢ × 12 = 8400¢）恰好等于7个八度（8400¢），调和了毕达哥拉斯音差（[[531441/524288]]，约23.46¢）；<br /> # 闭合三度圈：3个平均律大三度（400¢ × 3 = 1200¢）等于1个八度，调和了增音差（[[128/125]]，约41.06¢）；4个平均律小三度（300¢ × 4 = 1200¢）也等于1个八度，调和了减音差（[[648/625]]，约62.57¢）；<br /> # 中庸全音律属性：四个平均律五度（700¢ × 4 = 2800¢）恰好等于大三度的双复音程（400¢ + 2400¢ = 2800¢）。<br /> <br /> ==== 与其他律制的比较及音程近似度 ====<br /> 十二平均律是对自然谐音列的有理数音程的对数近似。其音程与纯律的对比揭示了其“中庸”特性：<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> !音程<br /> !十二平均律 (音分)<br /> !纯律 (频率比)<br /> !音分差值<br /> |-<br /> |纯五度<br /> |700¢<br /> |3/2 (701.955¢)<br /> | -1.955¢<br /> |-<br /> |大三度<br /> |400¢<br /> |5/4 (386.314¢)<br /> | +13.686¢<br /> |-<br /> |小三度<br /> |300¢<br /> |6/5 (315.641¢)<br /> | -15.641¢<br /> |-<br /> |自然小七度<br /> |1000¢<br /> |7/4 (968.826¢)<br /> | +31.174¢<br /> |}<br /> <br /> ==== 对高次谐音列的近似能力 ====<br /> 十二平均律对不同[[和声限]]的近似能力各异，这决定了它能支持何种复杂的和声：<br /> <br /> * [[三限]]：十二平均律对基于3次谐音的音程（如3/2）近似良好，是其成为标准的基础。<br /> * [[五限]]：十二平均律在5奇数限内具有[[一致性]]，但是不能区分[[16/15]]和[[25/24]]。<br /> * [[七限]]：十二平均律在7奇数限内具有一致性，但是没有区别一致性，因为它不能区分[[7/6]]和[[6/5]].<br /> * 高限：十二平均律几乎不能代表[[11/1]]或[[13/1]]，但对[[17/1]]和[[19/1]]的近似都在5¢以内，这为探索非传统和声（如1:2:17:19）提供了可能。<br /> <br /> ==== 历史与实践中的主导地位 ====<br /> 在十二平均律普及前，欧洲曾长期使用不等程律（如各种中庸全音律、良律），在不同调上音色各异。其主导地位的确立主要源于：<br /> <br /> # 乐器制造的便利：尤其适用于固定音高的键盘乐器，一套音准即可演奏所有调性。<br /> # 绝对的转调自由：允许音乐在24个大小调间无缝转调，满足了浪漫主义以降音乐对调性扩张的需求。<br /> # 等音变换的简化：由于调和了毕达哥拉斯音差，在五度相生律中存在约23.460音分差异的 ''C''♯ 与 ''D''♭ 在十二平均律中于物理音高上完全合一。这极大地简化了记谱、乐理与键盘乐器的演奏。<br /> <br /> ==== 现代音乐理论中的角色 ====<br /> 如今，十二平均律日益被视为一个独立的音高体系，而非对纯律的近似。其本身的结构催生了新的音乐语言：<br /> <br /> * 序列主义音乐：依赖于半音阶的绝对平等。<br /> * 爵士和声与现代作曲：大量使用基于平均律等分结构的和弦（如增和弦、全音阶、各种高叠和弦）。<br /> * 理论框架：作为“十二音体系”的物理基础，其内部对称性（如三度循环、减七和弦等分八度）成为现代和声分析的重要工具。<br /> <br /> 在实际演奏中，敏锐的演奏家（尤其是弦乐、声乐）常在旋律线条或重点和声中本能地微调音高，以接近纯律的和谐。然而，十二平均律提供的固定参照框架，使得这种“有意的偏差”成为可能，并确保了合奏的整体一致性。<br /> <br /> == 历史 ==<br /> 十二平均律的发展在中国与西方经历了彼此独立但最终汇流的漫长过程，其核心目标均为解决“旋宫转调”或“自由转调”这一音乐实践中的根本难题。<br /> <br /> === 中国对十二平均律的探索历程 ===<br /> 中国对十二平均律的探索，是一场持续近两千年的、旨在解决传统律制根本缺陷的科学攻坚。其核心动力源于音乐实践中“旋相为宫”（即自由转调）的理想与三分损益律数学局限性之间不可调和的矛盾。<br /> <br /> ==== 一、问题的起源：三分损益律与“旋宫”的矛盾 ====<br /> 中国传统的三分损益律是一种纯五度（频率比3:2）相生构成十二律的体系。然而，数学上存在一个根本性障碍：从一律出发，连续生律十二次（即相生十二个纯五度）后，所得的“清黄钟”音高，无法精确地回到出发律的高八度位置上，两者之间存在一个微小的音差，即“十二点差”（或称“毕达哥拉斯音差”，频率比531441:524288，约23.46音分）。这使得十二律无法完美地循环往复，从而严重阻碍了在各调（各“宫”）之间自由转换的“旋宫”实践。<br /> <br /> ==== 二、量变求解的尝试：增加律数的极限探索 ====<br /> 为弥合这一音差，早期律学家尝试在三分损益法框架内，通过无限增加律数来逼近八度循环。<br /> <br /> # 京房六十律（西汉，约公元前1世纪）： 京房将三分损益法连续推演至六十律。其重大发现在于，当生律至第54次，得到“色育”律时，该律与始发律“黄钟”的高度已极为接近，相差仅约3.6音分（此差值后世称为“京房音差”），人耳已难分辨。然而，为了追求理论上完美的、符合“周而复始”观念的循环，并凑合当时历法所重的“六十”这一周期数，京房并未止步于54律，而是继续生全了六十律。此举虽在数学上展现了无限逼近的可能性，但也宣告了此路在音乐实践上的不可行性。<br /> # 钱乐之三百六十律（南朝宋，公元5世纪）： 钱乐之沿着京房的思路推向极端，生律至三百六十律，使最后一律与黄钟的差距缩小到不足2音分。这标志着在三分损益体系内通过增加律数来“加密”音律的方法已臻于极限，但同时也彻底暴露了其本质缺陷：律数繁多，远超任何乐器的演奏与人的听觉分辨能力，完全脱离音乐实践。<br /> <br /> ==== 三、质变改革的先声：在十二律框架内进行调整 ====<br /> 部分律学家意识到无限生律之路不通，转而尝试在十二律的框架内部调整各律高度，以求返宫。<br /> <br /> # 何承天“新律”（南朝宋，公元5世纪）： 何承天是此路径的开创者。他敏锐地将无法返宫的差数（即最大音差）平均分配（“等差”）到十二律中的每一律，从而在弦长上创造了一个等差数列。虽然其结果在物理上并非真正的等比数列（即非真正的平均律），但其“平均”的思想和在十二律内部调整以解决根本矛盾的路线，是一次革命性的转向。<br /> # 刘焯与王朴的探索：<br /> #* 刘焯（隋）的尝试是一次方向正确但方法错误的重要案例。他同样试图在十二律内平均分配音差，但其方案是直接作用于律管的物理长度。具体而言，他设定了起始律管长，并将此长度与高八度律管长之间的差值进行十二等分，然后从起始管长中逐次减去一个等分量，从而得到一系列长度呈等差递减的十二根律管，史称“十二等差管律”。然而，这一方案在物理学上是根本错误的。它忽略了管乐器发音时，气柱的有效振动长度并不等于管体的几何长度，而需进行“管口校正”。因此，管长的等差变化，并不能导致音高（频率）的等比变化，其产生的音阶严重失准，故而影响甚微，仅作为律学思想史上的一个插曲。<br /> #* 王朴（五代）则是一位重要的实践家。他通过在三分损益律的基础上，有选择地微调其中某些律（如清角、变宫）的高度，制作了音准精良的律准。他的工作表明，通过实践调试可以逼近旋宫的目标，为后世提供了宝贵经验。<br /> <br /> 另一个方向是利用[[3限纯律]]的更大的子集代替一个[[八度]]内的12音子集。这一方向从属于[[3限纯律/历史]]而非12平均律。<br /> <br /> ==== 四、终极的突破：朱载堉与“新法密率” ====<br /> 当认识到在旧体系内修补已无出路后，明代杰出的律学家、数学家朱载堉（1536-1611年）实现了根本性的范式革命。他完全跳出了三分损益的思维窠臼，直接转向等比数列。<br /> <br /> 他设定的目标是：找到一个数，使其自乘12次后等于2。即求解 &lt;math&gt;\sqrt[12]{2}&lt;/math&gt;。万历十二年（1584年），朱载堉在其巨著《律吕精义》中公布了这一革命性的“新法密率”。他运用算盘完成了史上首次对 &lt;math&gt;\sqrt[12]{2}&lt;/math&gt;​ 的精确计算，结果精确到小数点后24位。以此为核心，他构建了一套完全均等的十二律体系，从数学原理上彻底根除了“最大音差”，实现了真正的、完美的旋宫转调。朱载堉的成就，标志着中国对平均律的探索从千年跋涉的“逼近”阶段，终于抵达了理论“实现”的终点，在世界上率先完成了十二平均律的完整数理体系构建。<br /> <br /> === 西方对十二平均律的探索历程 ===<br /> 西方对十二平均律的接受是一个由音乐实践需求驱动、理论与实践逐步结合的渐进过程，最终因适应了键盘乐器的特性与和声体系的发展而成为绝对主流。<br /> <br /> ==== 文艺复兴时期的理论探索 ====<br /> 16世纪，随着复调音乐的复杂化和键盘乐器的普及，作曲家对自由转调的需求日益迫切，而当时的纯律或中庸全音律在远关系调上会产生极不协和的“狼音”。为解决此问题，学者们开始进行数学计算。约1605年，荷兰数学家西蒙·斯特芬在一份未完成的手稿中尝试计算平均律半音的比率，其结果已非常接近 &lt;math&gt;\sqrt[12]{2}&lt;/math&gt;​，但精度不足。1636年，法国修士马林·梅森在其著作《和谐的宇宙》中，首次从声学角度明确定义了十二平均律，并明确指出其数学基础是八度的十二次方根。<br /> <br /> ==== 调律法的改进与实践推广 ====<br /> 理论探索的同时，适用于键盘乐器的近似平均律调律法被提出。1691年，德国管风琴师安德烈亚斯·韦克迈斯特提出的调律法，有效缓解了“狼音”问题，使所有调性都可用于演奏，为十二平均律的实践铺平了道路。这一进程的标志性事件是约翰·塞巴斯蒂安·巴赫分别于1722年和1744年创作的两卷《良律键盘曲集》(Well-tempered Clavier)。这部作品系统地在所有24个大小调上进行创作，以卓越的音乐实践证明了（近似的）平均律在自由转调上的巨大优势，极大地推动了该律制在音乐界的接受与普及。<br /> <br /> ==== 成为现代标准 ====<br /> 18世纪后，钢琴的崛起与工业化生产，以及浪漫主义音乐对远关系转调和复杂和声的追求，使得十二平均律因其数学上的唯一性与操作的标准化，最终完全取代了其他律制，成为西方古典音乐及后续全球流行音乐无可争议的标准律制。<br /> <br /> ==== 历史路径对比 ====<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> !对比维度<br /> !中国路径<br /> !西方路径<br /> |-<br /> |核心驱动力<br /> |追求“旋宫转调”的礼乐理想与数理完备性。<br /> |解决多声部音乐中自由转调与和声协调的实际需求。<br /> |-<br /> |关键突破形式<br /> |一次性完成精确数学计算与物理定律器的理论体系。<br /> |历经理论计算、调律法改进，最终由经典音乐作品推广的渐进过程。<br /> |-<br /> |主要实践载体<br /> |律管、律准（主要用于定律与验证）。<br /> |键盘乐器（尤其是钢琴），以及与乐器制造业的紧密结合。<br /> |-<br /> |社会接受基础<br /> |限于宫廷雅乐体系与学术领域。<br /> |与市民音乐生活、乐器商品化和作曲家创作深度融合。<br /> |-<br /> |最终历史影响<br /> |一项具有里程碑意义的古代科学成就。<br /> |塑造了全球现代音乐体系的声学基础与技术标准。<br /> |}<br /> <br /> == 记谱 ==<br /> 使用常规记谱：<br /> [[文件:十二平均律，常规记谱，以C为根音.png|替代=十二平均律，常规记谱，以C为根音|居中|缩略图|900x900像素|十二平均律，常规记谱，以C为根音，包括等音异名]]<br /> <br /> <br /> 矢状记谱：<br /> [[文件:十二平均律，矢状记谱，以C为根音.png|替代=十二平均律，矢状记谱，以C为根音|居中|缩略图|900x900像素|十二平均律，矢状记谱，以C为根音]]<br /> <br /> == 音程 ==<br /> 111<br /> <br /> == 音阶 ==<br /> 111<br /> <br /> == 规则调律性质 ==<br /> <br /> === 延拓 ===<br /> <br /> === 解调 ===<br /> [[五度相生律]]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:%E5%8D%81%E4%BA%8C%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B%EF%BC%8C%E7%9F%A2%E7%8A%B6%E8%AE%B0%E8%B0%B1%EF%BC%8C%E4%BB%A5C%E4%B8%BA%E6%A0%B9%E9%9F%B3.png&diff=295 文件:十二平均律，矢状记谱，以C为根音.png 2026-02-01T20:06:37Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>十二平均律，矢状记谱，以C为根音</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:%E5%8D%81%E4%BA%8C%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B%EF%BC%8C%E5%B8%B8%E8%A7%84%E8%AE%B0%E8%B0%B1%EF%BC%8C%E4%BB%A5C%E4%B8%BA%E6%A0%B9%E9%9F%B3.png&diff=294 文件:十二平均律，常规记谱，以C为根音.png 2026-02-01T19:59:17Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>十二平均律，常规记谱，以C为根音</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E6%B3%9B%E9%9F%B3%E5%88%97&diff=293 泛音列 2026-02-01T19:45:09Z <p>Administrator：​创建页面，内容为“泛音列是由一个基音开始，其后各音频率与基音频率呈整数比的一系列音高。其频率比依次为：基音（1/1）、第二分音（2/1）、第三分音（3/1）、第四分音（4/1）、第五分音（5/1）……以此类推，直至无穷。 当基音（如C）被奏响时，这些按顺序出现的、音高由低至高的分音共同构成了该基音的泛音列。在音乐声学中，基音本身称为第一分音，频率为…”</p> <hr /> <div>泛音列是由一个基音开始，其后各音频率与基音频率呈整数比的一系列音高。其频率比依次为：基音（1/1）、第二分音（2/1）、第三分音（3/1）、第四分音（4/1）、第五分音（5/1）……以此类推，直至无穷。<br /> <br /> 当基音（如C）被奏响时，这些按顺序出现的、音高由低至高的分音共同构成了该基音的泛音列。在音乐声学中，基音本身称为第一分音，频率为基音两倍（高八度）的音称为第二分音，频率为基音三倍（高八度加纯五度）的音称为第三分音，依此类推。<br /> <br /> [[文件:以C为根音的泛音列.jpg|居中|缩略图|960x960像素|以C为根音的泛音列，从根音到第32分音，矢状记谱法记谱]]<br /> 因此，在严格的技术术语中：<br /> <br /> * 分音序列：包含基音（第一分音）。<br /> * 泛音序列：特指第二分音及之后的所有分音。也就是说，第二分音是第一泛音，第三分音是第二泛音，两者序号相差1。<br /> <br /> == 作为和弦的泛音列 ==<br /> 若截取泛音列（通常包含基音）的前若干音高，将其视为一个纵向结合的和弦，该和弦常被称为自然和弦。在德语音乐理论中，此概念称为“Klang”。<br /> <br /> q-限自然和弦指从1到某个奇数q的整数比序列 1::q。它可以被视为基础的q-限“奥托纳利”和弦，并可通过八度移位得到其不同形态。<br /> ----<br /> <br /> == 泛音列的音程特性 ==<br /> 泛音列中相邻分音之间的频率比均为超比列，其形式为 (n+1)/n（例如 2/1、3/2、4/3、5/4……）。<br /> <br /> 从泛音列相邻分音间中，可以进一步构造出一类具有重要理论意义的微小音程，称为点差。<br /> <br /> 定义：一个正整数 n 所对应的n点差为 &lt;math&gt;\frac{n^2 -1}{n^2}&lt;/math&gt;​。<br /> <br /> 进一步的数学关系与例子：<br /> <br /> 值得注意的是，定义中的分母 &lt;math&gt;n^2-1&lt;/math&gt; 可分解为 (''n''+1)×(''n''−1)。这使得点差可以清晰地表达为泛音列中两个邻近简单整数比音程之间的差异（音差），从而在谐音网络中扮演关键的“桥梁”角色。<br /> <br /> 例如9点差（[[81/80]]），8点差（[[64/63]]）。<br /> ----<br /> <br /> == 基于泛音列的音乐实践 ==<br /> 音乐创作中运用泛音列原理的方式多样，例如：<br /> <br /> # 依据单一基音的泛音定调：使用某个基音产生的若干个低序分音来构建音高系统。<br /> # 采用八度循环的泛音片段作为音阶：例如截取第8至第16分音、第12至第24分音、第20至第40分音等，构成具有独特音程结构的泛音音阶。<br /> # 泛音与下泛音的延伸衍生：不仅使用基音的泛音，还使用这些泛音自身的泛音，或结合其倒影——下泛音列（频率比为1/1, 1/2, 1/3, 1/4…），来生成复杂的音阶体系。如美国作曲家哈里·帕奇由此发展出的43音纯律系统。这类深入的系统化实践通常被归入纯律的范畴。</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&diff=292 首页 2026-02-01T19:30:59Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>== 欢迎来到律学维基！ ==<br /> 律学维基是一个开放的、协作的音乐律学知识库与调谐系统指南。我们致力于系统化地梳理与呈现人类音乐中丰富多彩的音高组织智慧。<br /> <br /> 我们的涵盖范围包括：<br /> <br /> * 理论体系：从纯律、五度相生律到十二平均律及现代微分音理论。<br /> * 历史实践：深入挖掘西方古乐调律，如中庸全音律（meantone）、瓦洛蒂调律等。<br /> * 全球传统：平等收录印度拉格、波斯-阿拉伯玛卡姆、中国琴律、印尼甘美兰等非西方体系的调谐哲学。<br /> * 实际应用：提供律制对比音频、乐器调音指南，并探讨其在当代创作、演奏与数字音乐中的实践。<br /> <br /> 无论您是学者、音乐家、制琴师，还是纯粹好奇的爱好者，律学维基都邀请您一同探索、聆听并参与构建这个关于音高宇宙的公共知识宝藏。<br /> <br /> == 初学者页面 ==<br /> 你是否曾好奇，为什么有些音符组合起来悦耳和谐，有些却略显紧张？为什么不同的乐器调音方式会塑造出截然不同的音乐色彩？答案，就藏在音律学之中。<br /> <br /> 音律学是音乐背后的“数学与密码”，它研究我们如何定义、划分和组织音高。它不像乐理那样直接教你写旋律，而是为你揭示声音之所以成为音乐的根本法则——从物理振动到听觉感知，从古希腊到全球各地，人类如何用智慧“雕刻”出千变万化的音高体系。<br /> <br /> 这个初学者页面是你探索旅程的第一张地图。我们将从最核心的概念出发，循序渐进地搭建理解框架：<br /> <br /> ==== 一、声音与音高基础 ====<br /> <br /> # [[乐音]] (Musical Tone)<br /> # 音高 (Pitch)<br /> # 音符 (Note) 与音符命名系统<br /> # 标准音高 (A4 = 440 Hz)<br /> <br /> ==== 二、频率与音程 ====<br /> <br /> # 频率比与音程 (Interval)<br /> # 上行音程、下行音程与完全一度<br /> # 音程的[[转位]]关系<br /> <br /> ==== 三、八度等价与音高组织 ====<br /> <br /> # 八度等价 (Octave Equivalence) ''注：此处特指“八度平均划分”体系下的等价关系''<br /> # 等价类 (Equivalence Class) 概念<br /> # 音符类 (Note Class)<br /> <br /> ==== 四、泛音与沉音 ====<br /> <br /> # [[泛音列]] (Harmonic Series)<br /> # 沉音列 (Undertone series)<br /> <br /> ==== 五、音分系统 ====<br /> <br /> # [[音分]] (Cent) 的定义以及推导<br /> # 音程单位转换与对数关系<br /> <br /> ==== 六、音阶与律制入门 ====<br /> <br /> # 音阶的数学定义<br /> # [[MOS]]音阶<br /> # [[矢状记谱法]]（[[矢状记谱法|sagittal notation]]）<br /> # 律制系统概述<br /> #* [[五度相生律]]<br /> #* [[5限纯律]]<br /> #* [[平均律]]<br /> # 音差概念<br /> #* 毕达哥拉斯音差（[[531441/524288]]）<br /> #* 合音差（[[81/80]]）<br /> #* [[间差]]<br /> #* [[点差]]<br /> <br /> == 音程 ==<br /> [[5/4]]<br /> <br /> [[7/6]]<br /> <br /> [[8/7]]<br /> <br /> [[81/80]]<br /> <br /> [[225/224]]<br /> <br /> [[4375/4374]]<br /> <br /> == 律制 ==<br /> [[3限纯律]]<br /> <br /> [[12ed2]]<br /> <br /> [[31ed2]]<br /> <br /> [[53ed2]]<br /> <br /> [[2.3.5/(81/80)]]<br /> <br /> [[2.3.5.7/(81/80,225/224)]]<br /> <br /> [[2.3.7/(1029/1024)]]<br /> <br /> [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]<br /> <br /> == 术语 ==<br /> [[me/ie]]<br /> <br /> [[和弦]]<br /> <br /> [[负和声]]<br /> <br /> [[对称和弦]]<br /> <br /> [[和声限]]<br /> <br /> [[平移]]<br /> <br /> == 和弦 ==<br /> [[5限和弦]]<br /> <br /> [[7限和弦]]<br /> <br /> == 音阶 ==<br /> <br /> [[音阶]]<br /> <br /> [[中立音]]<br /> <br /> == 记谱法 ==<br /> [[半整数升降]]<br /> <br /> == 精度 ==<br /> [[平均律误差]]<br /> <br /> == 乐器 ==<br /> <br /> [https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%8F%B7/1474939 自然号]<br /> <br /> == 音乐 ==<br /> <br /> [https://www.bilibili.com/video/BV1bgsdznEKR/ 在林中]<br /> <br /> [https://musescore.com/user/10794916/scores/6240657 Nokia Arabic Ringtone]<br /> <br /> == 入门 ==<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Configuration_settings MediaWiki配置设置列表]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ/zh-hans MediaWiki常见问题]<br /> * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/mediawiki-announce.lists.wikimedia.org/ MediaWiki发布邮件列表]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Localisation#Translation_resources 本地化MediaWiki到您的语言]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Combating_spam 了解如何在您的wiki上打击破坏]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E6%96%87%E4%BB%B6:%E4%BB%A5C%E4%B8%BA%E6%A0%B9%E9%9F%B3%E7%9A%84%E6%B3%9B%E9%9F%B3%E5%88%97.jpg&diff=291 文件:以C为根音的泛音列.jpg 2026-02-01T19:26:04Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>以C为根音的泛音列，从根音到32泛音，矢状记谱法记谱</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=531441/524288&diff=289 531441/524288 2026-02-01T14:34:00Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>== 十二点差（毕达哥拉斯音差） ==<br /> '''十二点差（毕达哥拉斯音差）'''，是音乐理论中的一个微小音程，其频率比为'''&lt;math&gt;\frac{531441}{524288}&lt;/math&gt;'''，这个音程大约相当于23.46音分。<br /> <br /> 该音差揭示了毕达哥拉斯调音（一种基于纯五度3:2循环生成的律制）的内在数学矛盾。具体表现为：连续堆叠12个纯五度（3/2）所得的音高，与向上移位7个八度所得的预期音高并不相等，前者略高于后者。这个差值即为毕达哥拉斯音差，可用数学公式表达为：<br /> &lt;math&gt;\frac{(\frac{3}{2})^{12}}{2^{7}}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\frac{3^{12}}{2^{19}}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\frac{531441}{524288}&lt;/math&gt; ≈ 23.46 音分<br /> <br /> == 历史与定义 ==<br /> 十二点差的概念源于古希腊毕达哥拉斯学派对弦长比例与协和音程关系的研究。他们发现，仅使用比率&lt;math&gt;\frac{2}{1}&lt;/math&gt;（八度）和&lt;math&gt;\frac{3}{2}&lt;/math&gt;（五度）这些简单整数比无法构造出一个完美闭合的音高循环系统。十二个五度无法回归到七个八度这一现象，是西方律学史上最早认识到的音差之一。<br /> <br /> 数学性质与推导：十二点差的产生，本质上是因数3和2的指数无法在八度框架内完全协调的结果。<br /> <br /> 其他表达式：它也可以表示为毕达哥拉斯增四度（&lt;math&gt;\frac{729}{512}&lt;/math&gt;）与毕达哥拉斯减五度（&lt;math&gt;\frac{1024}{729}&lt;/math&gt;）的比率之差，或表示为增一度&lt;math&gt;\frac{2187}{2048}&lt;/math&gt;（apotome semitone，阿波托美半音，chromatic semitone变化半音）与&lt;math&gt;\frac{256}{243}&lt;/math&gt;（limma，林马半音，diatonic semitone自然半音）的比率之差。<br /> <br /> 在音乐理论中的意义<br /> 十二点差是理解西方律学发展的关键。它直接推动了多种中庸全音律的发展，音乐家们通过不同程度地调和这个音差，将误差分配到各个五度中，以在纯律和转调可行性之间取得折中。最终，十二平均律通过将每个五度精确调整为700音分（即 2^(7/12)），完全消除了十二点差，实现了五度圈的完美闭合，但代价是所有五度（除八度外）都变得不完全“纯正”。<br /> <br /> == 在调律系统中的作用 ==<br /> 被“消除”的音差：在十二n平均律及许多其他律制（如19ed3，7ed3/2）中，十二点差被调和，意味着该音差所代表的音程被等同于同音异名的等音（如C♯与D♭被视为同一音高）。<br /> <br /> 在其他调律中的体现：在五度宽于700音分的律制中（如41平均律、53平均律），十二点差会映射为一个正步数。而在五度窄于700音分的律制中（如19平均律、31平均律），它则映射为负步数，从而在这些律制中实际存在一个正值的减二度。</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&diff=288 首页 2026-02-01T14:29:50Z <p>Administrator：​/* 四、泛音与沉音 */</p> <hr /> <div>== 欢迎来到律学维基！ ==<br /> 律学维基是一个开放的、协作的音乐律学知识库与调谐系统指南。我们致力于系统化地梳理与呈现人类音乐中丰富多彩的音高组织智慧。<br /> <br /> 我们的涵盖范围包括：<br /> <br /> * 理论体系：从纯律、五度相生律到十二平均律及现代微分音理论。<br /> * 历史实践：深入挖掘西方古乐调律，如中庸全音律（meantone）、瓦洛蒂调律等。<br /> * 全球传统：平等收录印度拉格、波斯-阿拉伯玛卡姆、中国琴律、印尼甘美兰等非西方体系的调谐哲学。<br /> * 实际应用：提供律制对比音频、乐器调音指南，并探讨其在当代创作、演奏与数字音乐中的实践。<br /> <br /> 无论您是学者、音乐家、制琴师，还是纯粹好奇的爱好者，律学维基都邀请您一同探索、聆听并参与构建这个关于音高宇宙的公共知识宝藏。<br /> <br /> == 初学者页面 ==<br /> 你是否曾好奇，为什么有些音符组合起来悦耳和谐，有些却略显紧张？为什么不同的乐器调音方式会塑造出截然不同的音乐色彩？答案，就藏在音律学之中。<br /> <br /> 音律学是音乐背后的“数学与密码”，它研究我们如何定义、划分和组织音高。它不像乐理那样直接教你写旋律，而是为你揭示声音之所以成为音乐的根本法则——从物理振动到听觉感知，从古希腊到全球各地，人类如何用智慧“雕刻”出千变万化的音高体系。<br /> <br /> 这个初学者页面是你探索旅程的第一张地图。我们将从最核心的概念出发，循序渐进地搭建理解框架：<br /> <br /> ==== 一、声音与音高基础 ====<br /> <br /> # [[乐音]] (Musical Tone)<br /> # 音高 (Pitch)<br /> # 音符 (Note) 与音符命名系统<br /> # 标准音高 (A4 = 440 Hz)<br /> <br /> ==== 二、频率与音程 ====<br /> <br /> # 频率比与音程 (Interval)<br /> # 上行音程、下行音程与完全一度<br /> # 音程的[[转位]]关系<br /> <br /> ==== 三、八度等价与音高组织 ====<br /> <br /> # 八度等价 (Octave Equivalence) ''注：此处特指“八度平均划分”体系下的等价关系''<br /> # 等价类 (Equivalence Class) 概念<br /> # 音符类 (Note Class)<br /> <br /> ==== 四、泛音与沉音 ====<br /> <br /> # [[泛音列]] (Harmonic Series)<br /> # 沉音列 (Undertone series)<br /> <br /> ==== 五、音分系统 ====<br /> <br /> # [[音分]] (Cent) 的定义以及推导<br /> # 音程单位转换与对数关系<br /> <br /> ==== 六、音阶与律制入门 ====<br /> <br /> # 音阶的数学定义<br /> # [[MOS]]音阶<br /> # [[矢状记谱法]]（[[矢状记谱法|sagittal notation]]）<br /> # 律制系统概述<br /> #* [[五度相生律]]<br /> #* [[5限纯律]]<br /> #* [[平均律]]<br /> # 音差概念<br /> #* 毕达哥拉斯音差（531441/524288）<br /> #* 合音差（[[81/80]]）<br /> <br /> == 音程 ==<br /> [[5/4]]<br /> <br /> [[7/6]]<br /> <br /> [[8/7]]<br /> <br /> [[81/80]]<br /> <br /> [[225/224]]<br /> <br /> [[4375/4374]]<br /> <br /> == 律制 ==<br /> [[3限纯律]]<br /> <br /> [[12ed2]]<br /> <br /> [[31ed2]]<br /> <br /> [[53ed2]]<br /> <br /> [[2.3.5/(81/80)]]<br /> <br /> [[2.3.5.7/(81/80,225/224)]]<br /> <br /> [[2.3.7/(1029/1024)]]<br /> <br /> [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]<br /> <br /> == 术语 ==<br /> [[me/ie]]<br /> <br /> [[和弦]]<br /> <br /> [[负和声]]<br /> <br /> [[对称和弦]]<br /> <br /> [[和声限]]<br /> <br /> [[平移]]<br /> <br /> == 和弦 ==<br /> [[5限和弦]]<br /> <br /> [[7限和弦]]<br /> <br /> == 音阶 ==<br /> <br /> [[音阶]]<br /> <br /> [[中立音]]<br /> <br /> == 记谱法 ==<br /> [[半整数升降]]<br /> <br /> == 精度 ==<br /> [[平均律误差]]<br /> <br /> == 乐器 ==<br /> <br /> [https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%8F%B7/1474939 自然号]<br /> <br /> == 音乐 ==<br /> <br /> [https://www.bilibili.com/video/BV1bgsdznEKR/ 在林中]<br /> <br /> [https://musescore.com/user/10794916/scores/6240657 Nokia Arabic Ringtone]<br /> <br /> == 入门 ==<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Configuration_settings MediaWiki配置设置列表]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ/zh-hans MediaWiki常见问题]<br /> * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/mediawiki-announce.lists.wikimedia.org/ MediaWiki发布邮件列表]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Localisation#Translation_resources 本地化MediaWiki到您的语言]<br /> * [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Combating_spam 了解如何在您的wiki上打击破坏]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=531441/524288&diff=287 531441/524288 2026-02-01T14:28:17Z <p>Administrator：​创建页面，内容为“== 毕达哥拉斯音差 == &#039;&#039;&#039;毕达哥拉斯音差&#039;&#039;&#039;，是音乐理论中的一个微小音程，其频率比为&#039;&#039;&#039;&lt;math&gt;\frac{531441}{524288}&lt;/math&gt;&#039;&#039;&#039;，这个音程大约相当于23.46音分。 该音差揭示了毕达哥拉斯调音（一种基于纯五度3:2循环生成的律制）的内在数学矛盾。具体表现为：连续堆叠12个纯五度（3/2）所得的音高，与向上移位7个八度所得的预期音高并不相等，前者略高于后…”</p> <hr /> <div>== 毕达哥拉斯音差 ==<br /> '''毕达哥拉斯音差'''，是音乐理论中的一个微小音程，其频率比为'''&lt;math&gt;\frac{531441}{524288}&lt;/math&gt;'''，这个音程大约相当于23.46音分。<br /> <br /> 该音差揭示了毕达哥拉斯调音（一种基于纯五度3:2循环生成的律制）的内在数学矛盾。具体表现为：连续堆叠12个纯五度（3/2）所得的音高，与向上移位7个八度所得的预期音高并不相等，前者略高于后者。这个差值即为毕达哥拉斯音差，可用数学公式表达为：<br /> &lt;math&gt;\frac{(\frac{3}{2})^{12}}{2^{7}}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\frac{3^{12}}{2^{19}}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\frac{531441}{524288}&lt;/math&gt; ≈ 23.46 音分<br /> <br /> == 历史与定义 ==<br /> 毕达哥拉斯音差的概念源于古希腊毕达哥拉斯学派对弦长比例与协和音程关系的研究。他们发现，仅使用比率&lt;math&gt;\frac{2}{1}&lt;/math&gt;（八度）和&lt;math&gt;\frac{3}{2}&lt;/math&gt;（五度）这些简单整数比无法构造出一个完美闭合的音高循环系统。十二个五度无法回归到七个八度这一现象，是西方律学史上最早认识到的音差之一。<br /> <br /> 数学性质与推导：毕达哥拉斯音差的产生，本质上是因数3和2的指数无法在八度框架内完全协调的结果。<br /> <br /> 其他表达式：它也可以表示为毕达哥拉斯增四度（&lt;math&gt;\frac{729}{512}&lt;/math&gt;）与毕达哥拉斯减五度（&lt;math&gt;\frac{1024}{729}&lt;/math&gt;）的比率之差，或表示为增一度&lt;math&gt;\frac{2187}{2048}&lt;/math&gt;（apotome semitone，阿波托美半音，chromatic semitone变化半音）与&lt;math&gt;\frac{256}{243}&lt;/math&gt;（limma，林马半音，diatonic semitone自然半音）的比率之差。<br /> <br /> 在音乐理论中的意义<br /> 毕达哥拉斯音差是理解西方律学发展的关键。它直接推动了多种中庸全音律的发展，音乐家们通过不同程度地调和这个音差，将误差分配到各个五度中，以在纯律和转调可行性之间取得折中。最终，十二平均律通过将每个五度精确调整为700音分（即 2^(7/12)），完全消除了毕达哥拉斯音差，实现了五度圈的完美闭合，但代价是所有五度（除八度外）都变得不完全“纯正”。<br /> <br /> == 在调律系统中的作用 ==<br /> 被“消除”的音差：在十二n平均律及许多其他律制（如19ed3，7ed3/2）中，毕达哥拉斯音差被调和，意味着该音差所代表的音程被等同于同音异名的等音（如C♯与D♭被视为同一音高）。<br /> <br /> 在其他调律中的体现：在五度宽于700音分的律制中（如41平均律、53平均律），毕达哥拉斯音差会映射为一个正步数。而在五度窄于700音分的律制中（如19平均律、31平均律），它则映射为负步数，从而在这些律制中实际存在一个正值的减二度。</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E4%B8%80%E8%87%B4&diff=281 一致 2026-01-29T02:13:35Z <p>Administrator：​/* 例子 */</p> <hr /> <div>给定[[平均律|n平均律]]和两个音程A, B, 有两种逼近A/B的方式：<br /> * 计算A的逼近a\n, B的逼近b\n, 然后用(a-b)\n表示A/B;<br /> * 计算A/B的逼近c\n.<br /> <br /> 这里的“逼近”指最接近给定音程的平均律音程。<br /> <br /> 如果这两者结果相同（也就是a-b=c），那么称n平均律对A, B'''一致'''；如果n平均律对一个集合里的任意两个音程一致，那么称n平均律对这个集合一致；如果n平均律对{1/1, 3/1, ..., k/1}一致，那么称n平均律在[[和声限|k奇数限]]一致；上述的k的最大值称为n平均律的'''一致限'''。<br /> <br /> 如果n平均律对A, B是不一致的，那么形如1:A:B的n平均律和弦是有歧义的，因为用n平均律最优逼近表示1:A和1:B时，A:B并不是最优逼近，它不直接代表A:B.<br /> <br /> == 例子 ==<br /> 27平均律对11/8的逼近是12\27，对9/8的逼近是5\27，对11/9的逼近是8\27，因此27平均律对11/8和9/8不一致，因此27平均律的一致限不超过9.<br /> <br /> 27平均律的8:9:11和弦有以下三种逼近：<br /> <br /> * (0,5,12)\27, 正确逼近包含根音的两个音程，但是第二音与冠音构成音程7\27，代表6/5(5限小三度)而非11/9(中三度)；<br /> * (0,5,13)\27, 正确逼近包含第二音的两个音程，但是根音与冠音构成音程13\27，代表7/5(窄三全音)而非11/8(半增四度)；<br /> * (0,4,12)\27, 正确逼近包含冠音的两个音程，但是根音与第二音构成音程4\27，代表10/9而非9/8.<br /> <br /> <br /> 它们都是听觉上不可信的。<br /> <br /> [[音频文件]]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E4%B8%80%E8%87%B4&diff=280 一致 2026-01-29T02:10:40Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>给定[[平均律|n平均律]]和两个音程A, B, 有两种逼近A/B的方式：<br /> * 计算A的逼近a\n, B的逼近b\n, 然后用(a-b)\n表示A/B;<br /> * 计算A/B的逼近c\n.<br /> <br /> 这里的“逼近”指最接近给定音程的平均律音程。<br /> <br /> 如果这两者结果相同（也就是a-b=c），那么称n平均律对A, B'''一致'''；如果n平均律对一个集合里的任意两个音程一致，那么称n平均律对这个集合一致；如果n平均律对{1/1, 3/1, ..., k/1}一致，那么称n平均律在[[和声限|k奇数限]]一致；上述的k的最大值称为n平均律的'''一致限'''。<br /> <br /> 如果n平均律对A, B是不一致的，那么形如1:A:B的n平均律和弦是有歧义的，因为用n平均律最优逼近表示1:A和1:B时，A:B并不是最优逼近，它不直接代表A:B.<br /> <br /> == 例子 ==<br /> 27平均律对11/8的逼近是12\26，对9/8的逼近是5\26，对11/9的逼近是8\26，因此27平均律对11/8和9/8不一致，因此27平均律的一致限不超过9.<br /> <br /> 27平均律的8:9:11和弦可以写成(0,5,12)\26, 其第二音与冠音构成音程7\26，代表6\5(5限小三度)而非11/9(中三度). 这一和弦是听觉上不可信的。<br /> <br /> [[音频文件]]</div> Administrator https://tun.wiki/index.php?title=%E4%B8%80%E8%87%B4&diff=279 一致 2026-01-29T02:05:54Z <p>Administrator：​</p> <hr /> <div>给定[[平均律|n平均律]]和两个音程A, B, 有两种逼近A/B的方式：<br /> * 计算A的逼近a\n, B的逼近b\n, 然后用(a-b)\n表示A/B;<br /> * 计算A/B的逼近c\n.<br /> <br /> 这里的“逼近”指最接近给定音程的平均律音程。<br /> <br /> 如果这两者结果相同（也就是a-b=c），那么称n平均律对A, B'''一致'''；如果n平均律对一个集合里的任意两个音程一致，那么称n平均律对这个集合一致；如果n平均律对{1/1, 3/1, ..., k/1}一致，那么称n平均律在[[和声限|k奇数限]]一致；上述的k的最大值称为n平均律的'''一致限'''。<br /> <br /> 如果n平均律对A, B是不一致的，那么形如1:A:B的n平均律和弦是有歧义的，因为用n平均律最优逼近表示1:A和1:B时，A:B并不是最优逼近，它不直接代表A:B.<br /> <br /> == 例子 ==<br /> 27平均律对11/8的逼近是12\26，对9/8的逼近是5\26，对11/9的逼近是8\26，因此27平均律对11/8和9/8不一致，因此27平均律的一致限不超过9.<br /> <br /> 27平均律的8:9:11和弦可以写成(0,5,12)\26, 其第二音与冠音构成音程7\26，代表6\5(5限小三度)而非11/9(中三度).</div> Administrator