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MOS音阶

2026-04-28T00:30:43Z

Null：/* 性质 */

MOS(moment of symmetry)音阶是一类周期性[[音阶]]。任取一个MOS音阶里间隔n步的两个音，n一定时，两音之间的[[音程]]只有最多两种大小。一个MOS音阶中相邻两音之间的音程中大的被称作L（Large），小的被称作s（small），对于每个MOS音阶，一个周期内的L与s的数量是确定的，因此可以用xLys⟨周期⟩来给MOS音阶分类（周期默认是[[八度]]，此时⟨周期⟩可以省略），同时，一种xLys也对应一个[[抽象音阶]]。

== 定义 ==

以下为MOS音阶的等价定义：

1. 任取音阶里间隔n步的两个音，n一定时，两音之间的[[音程]]只有最多两种大小。

2. 音阶由周期的整数倍和某一音程（称为'''生程'''）的0, 1, ..., m次叠加构成，且音阶里相邻两个音只有最多两种大小。

== 性质 ==

* MOS音阶的周期未必是八度，比如以√2为周期，5/4为生程可以生成1:√(625/512):5/4:√2:(25/16):√(25/8)的音阶。

* x, y一定时，所有xLys MOS音阶的音程顺序是确定的，比如2L3s，只能是LssLs或者它的[[轮换]]，否则无法构成MOS音阶。

* 不是所有相邻两音之间只有两种音程大小的音阶都是MOS音阶，因为间隔更多步时，不一定仍然只有两种大小音程。比如LLss，间隔两步时，就出现了L+L、L+s、s+s三种组合，不是MOS音阶。

== 例子 ==
12平均律中的[[自然大调音阶]]在一个八度内的相邻两音之间音程的序列为“2212221”（可写作LLsLLLs），只有[[全音]]（2\12）和[[自然半音]]（1\12）两种音程，并且它间隔n步的两个音之间的音程都只有大小两种，是一个MOS音阶，也是一个[[5L2s]]音阶。这个MOS的生程是2L+1s或者3L+1s. 12平均律中的七种中古调式都属于5L2s音阶，但它们的主音不同，是同一个音阶的不同[[调式]]。

当然，5L2s中，L和s不一定要是12平均律中的两步和一步，它们可以任意取，5L2s对应着一种抽象音阶，叫作[[自然音阶]]。周期一定时，L和s的取值只有一个自由度。所以，给定周期、xLys和一个决定量（如L的大小，s的大小，纯五度的大小），我们能就能得到一个确定的音阶。

一个很自然的想法是，使用L/s作为决定量，例如，八度+5L2s+2/1，就得到了12平均律中的“2212221”。L/s的值被称为MOS音阶的[[硬度]]，同一MOS下（可以这样来表述同一种xLys），硬度越小，听起来越平均、越软，硬度越大，听起来越独特、越硬。

== 链接 ==

https://scaleworkshop.plainsound.org/?version=3.1.0 new scale rank 2 temperament

未完待续...

MOS音阶

2026-04-28T00:29:54Z

Null：/* 定义 */

MOS(moment of symmetry)音阶是一类周期性[[音阶]]。任取一个MOS音阶里间隔n步的两个音，n一定时，两音之间的[[音程]]只有最多两种大小。一个MOS音阶中相邻两音之间的音程中大的被称作L（Large），小的被称作s（small），对于每个MOS音阶，一个周期内的L与s的数量是确定的，因此可以用xLys⟨周期⟩来给MOS音阶分类（周期默认是[[八度]]，此时⟨周期⟩可以省略），同时，一种xLys也对应一个[[抽象音阶]]。

== 定义 ==

以下为MOS音阶的等价定义：

1. 任取音阶里间隔n步的两个音，n一定时，两音之间的[[音程]]只有最多两种大小。

2. 音阶由周期的整数倍和某一音程（称为'''生程'''）的0, 1, ..., m次叠加构成，且音阶里相邻两个音只有最多两种大小。

== 性质 ==

* MOS音阶的周期未必是八度，比如以√2为周期，5/4为生程可以生成1:√(625/512):5/4:√2:(25/16):√(25/8)的音阶。

* 所有xLys MOS音阶的音程顺序是确定的，比如2L3s，只能是LssLs或者它的[[轮换]]，否则无法构成MOS音阶。

* 不是所有相邻两音之间只有两种音程大小的音阶都是MOS音阶，因为间隔更多步时，不一定仍然只有两种大小音程。比如LLss，间隔两步时，就出现了L+L、L+s、s+s三种组合，不是MOS音阶。

== 例子 ==
12平均律中的[[自然大调音阶]]在一个八度内的相邻两音之间音程的序列为“2212221”（可写作LLsLLLs），只有[[全音]]（2\12）和[[自然半音]]（1\12）两种音程，并且它间隔n步的两个音之间的音程都只有大小两种，是一个MOS音阶，也是一个[[5L2s]]音阶。这个MOS的生程是2L+1s或者3L+1s. 12平均律中的七种中古调式都属于5L2s音阶，但它们的主音不同，是同一个音阶的不同[[调式]]。

当然，5L2s中，L和s不一定要是12平均律中的两步和一步，它们可以任意取，5L2s对应着一种抽象音阶，叫作[[自然音阶]]。周期一定时，L和s的取值只有一个自由度。所以，给定周期、xLys和一个决定量（如L的大小，s的大小，纯五度的大小），我们能就能得到一个确定的音阶。

一个很自然的想法是，使用L/s作为决定量，例如，八度+5L2s+2/1，就得到了12平均律中的“2212221”。L/s的值被称为MOS音阶的[[硬度]]，同一MOS下（可以这样来表述同一种xLys），硬度越小，听起来越平均、越软，硬度越大，听起来越独特、越硬。

== 链接 ==

https://scaleworkshop.plainsound.org/?version=3.1.0 new scale rank 2 temperament

未完待续...

MOS音阶

2026-04-28T00:29:20Z

Null：

MOS(moment of symmetry)音阶是一类周期性[[音阶]]。任取一个MOS音阶里间隔n步的两个音，n一定时，两音之间的[[音程]]只有最多两种大小。一个MOS音阶中相邻两音之间的音程中大的被称作L（Large），小的被称作s（small），对于每个MOS音阶，一个周期内的L与s的数量是确定的，因此可以用xLys⟨周期⟩来给MOS音阶分类（周期默认是[[八度]]，此时⟨周期⟩可以省略），同时，一种xLys也对应一个[[抽象音阶]]。

== 定义 ==

以下为MOS音阶的等价定义：

1. 任取音阶里间隔n步的两个音，n一定时，两音之间的[[音程]]只有最多两种大小。

2. 音阶由周期的整数倍和某一音程（称为'''生程'''）的0, 1, ..., m次叠加构成。

== 性质 ==

* MOS音阶的周期未必是八度，比如以√2为周期，5/4为生程可以生成1:√(625/512):5/4:√2:(25/16):√(25/8)的音阶。

* 所有xLys MOS音阶的音程顺序是确定的，比如2L3s，只能是LssLs或者它的[[轮换]]，否则无法构成MOS音阶。

* 不是所有相邻两音之间只有两种音程大小的音阶都是MOS音阶，因为间隔更多步时，不一定仍然只有两种大小音程。比如LLss，间隔两步时，就出现了L+L、L+s、s+s三种组合，不是MOS音阶。

== 例子 ==
12平均律中的[[自然大调音阶]]在一个八度内的相邻两音之间音程的序列为“2212221”（可写作LLsLLLs），只有[[全音]]（2\12）和[[自然半音]]（1\12）两种音程，并且它间隔n步的两个音之间的音程都只有大小两种，是一个MOS音阶，也是一个[[5L2s]]音阶。这个MOS的生程是2L+1s或者3L+1s. 12平均律中的七种中古调式都属于5L2s音阶，但它们的主音不同，是同一个音阶的不同[[调式]]。

当然，5L2s中，L和s不一定要是12平均律中的两步和一步，它们可以任意取，5L2s对应着一种抽象音阶，叫作[[自然音阶]]。周期一定时，L和s的取值只有一个自由度。所以，给定周期、xLys和一个决定量（如L的大小，s的大小，纯五度的大小），我们能就能得到一个确定的音阶。

一个很自然的想法是，使用L/s作为决定量，例如，八度+5L2s+2/1，就得到了12平均律中的“2212221”。L/s的值被称为MOS音阶的[[硬度]]，同一MOS下（可以这样来表述同一种xLys），硬度越小，听起来越平均、越软，硬度越大，听起来越独特、越硬。

== 链接 ==

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53ed2

2026-04-18T10:33:51Z

Null：/* 常用音差 */

五十三平均律（'''53 equal divisions of the octave'''，简称 '''53EDO''' 或 '''53ED2'''；在[[规则调律体系]]中亦称作 '''53-tone equal temperament'''（'''53TET'''）或 '''53 equal temperament'''（'''53ET'''））是一种将八度音程均匀分为 53 个等份的调律系统，每一等份的音程约为 22.64 音分（cent），接近ie76.5或77/76。其中每一步对应的频率比为 <math>\sqrt[53]{2}</math>，即 2 的 53 次方根。该调律可以以极高的精度拟合3限纯律，通常也可以作为5限纯律的近似使用，在7限与2.3.5.7.13子群中也具有良好的性质，是实践中常用的3限，5限，7限，2.3.5.7.13子群调律。
== 理论 ==
五十三平均律在5限的核心是一步1\53（约ie76.5）同时接近12点差531441/524288（约ie73.8）和九间差81/80，所以53平均律调和32805/32768。另外，53平均律中的6/5是14步，而3/1是84步,6个6/5就是一个3/1，所以53平均律调和15625/15552。在7限，53平均律调和[[225/224]]，这意味着75/64（5/4调低16/15，或9/8调高25/24）被调成与7/6等音，所以7限音程可以较为方便的引入5限音乐中。在11限，53平均律的性质较差，因为53平均律的11/7不[[一致]]，且53平均律调和121/120但不调和243/242，两个11/9堆叠后生成40/27而不是3/2，导致53平均律在11限中的应用受限。在2.3.5.7.13子群中，53平均律的3步（约ie25.5）同时代表25/24，26/25，27/26，28/27，调和音差676/675，325/324，169/168等。

== 喵 ==

=== 纯律近似 ===

''主词条: [[平均律误差]]''

53ed2在2.3.5.7.13子群里很强（误差7.55¢，ie229.28），但是对素数11则不尽人意。一方面，53ed2对11/8的[[相对误差]]达到了-35.0%，对11/9的相对误差则是-34.4%；另一方面，代表11/9的音程(15\53)更接近于39/32，综合这两方面，能够代表含11音程的53ed2音程更能够代表对应的含13音程，因此53ed2对素数11的逼近是没有说服力的。

以下只讨论2.3.5.7.13子群里的53ed2.

=== 53ed2的一步 ===

53ed2的一步可以解释为[[64/63]], [[81/80]]和[[531441/524288]]，这表明这三种音程可以用同一符号表示，从而简化记谱。在13限里，53ed2的一步可以解释为65/64，这表明5/4再下降一步得到16/13；53ed2的一步还可以解释为91/90，这表明9/7上升一步是13/10；只用2.3.13子群的话，53ed2的一步是512/507，也就是两个接近<math>\sqrt{3/2}</math>的音程16/13和39/32的差。

=== 常用音差 ===
53ed2调和下列音差：
* [[32805/32768]]
* [[15625/15552]]
* [[225/224]]
* [[1728/1715]]
* [[625/624]]
* [[676/675]]
* [[729/728]]
前两者唯一地在[[5限纯律]]里确定53ed2，前三者唯一地在[[7限纯律]]里确定53ed2，最后三者说明53ed2的三步同时是25/24, 26/25, 27/26和28/27.

== 对各个质数的近似 ==
{| class="wikitable"
|+五十三平均律对各个质数的近似
|质数
|2
|3
|5
|7
|11
|13
|17
|19
|-
|相对误差(%)
|0
| -0.3
| -6.2
| +21.0
| -35.0
| -12.3
| +36.4
| -14.0
|-
|步数
|53
|84
|123
|149
|183
|196
|217
|225
|}

== 记谱 ==
理论上，53ed2的所有音程可以用[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称 |标准的五线谱记谱]]，因为3/2的步数(31)和53互素；实际上4:5:6和弦在这种记谱下是C-F♭-G或其[[平移]]，并不利于快速辨别和弦结构。

为了解决这个问题，可以使用[[矢状记谱法]]或者[[FJS记谱法]]。注意到53edo的81/80和64/63都是一步，可以用同一个符号表示81/80和64/63，它可以是上箭头(↑)，而下箭头(↓)表示80/81和63/64. 这样，4:5:6和弦就是C-E↓-G或其平移，6:7:9就是D-F↓-A或其平移。

为了表示[[具体质数谐波的限制|含13音程]]，可以借助音差325/324：这一音差表示[[FJS记谱法#形式音差|形式音差]]1053/1024是两个81/80，因此使用双上箭头（↟）表示，双下箭头（↡）表示1024/1053. 这样，8:12:13就是C-G-A♭↟或其平移。

考虑到53edo的[[自然半音]]的步数是4, [[变化半音]]的步数是5, 表示53edo的音程不需要引入更多的符号了。

53ed2

2026-04-18T10:33:43Z

Null：/* 常用音差 */

五十三平均律（'''53 equal divisions of the octave'''，简称 '''53EDO''' 或 '''53ED2'''；在[[规则调律体系]]中亦称作 '''53-tone equal temperament'''（'''53TET'''）或 '''53 equal temperament'''（'''53ET'''））是一种将八度音程均匀分为 53 个等份的调律系统，每一等份的音程约为 22.64 音分（cent），接近ie76.5或77/76。其中每一步对应的频率比为 <math>\sqrt[53]{2}</math>，即 2 的 53 次方根。该调律可以以极高的精度拟合3限纯律，通常也可以作为5限纯律的近似使用，在7限与2.3.5.7.13子群中也具有良好的性质，是实践中常用的3限，5限，7限，2.3.5.7.13子群调律。
== 理论 ==
五十三平均律在5限的核心是一步1\53（约ie76.5）同时接近12点差531441/524288（约ie73.8）和九间差81/80，所以53平均律调和32805/32768。另外，53平均律中的6/5是14步，而3/1是84步,6个6/5就是一个3/1，所以53平均律调和15625/15552。在7限，53平均律调和[[225/224]]，这意味着75/64（5/4调低16/15，或9/8调高25/24）被调成与7/6等音，所以7限音程可以较为方便的引入5限音乐中。在11限，53平均律的性质较差，因为53平均律的11/7不[[一致]]，且53平均律调和121/120但不调和243/242，两个11/9堆叠后生成40/27而不是3/2，导致53平均律在11限中的应用受限。在2.3.5.7.13子群中，53平均律的3步（约ie25.5）同时代表25/24，26/25，27/26，28/27，调和音差676/675，325/324，169/168等。

== 喵 ==

=== 纯律近似 ===

''主词条: [[平均律误差]]''

53ed2在2.3.5.7.13子群里很强（误差7.55¢，ie229.28），但是对素数11则不尽人意。一方面，53ed2对11/8的[[相对误差]]达到了-35.0%，对11/9的相对误差则是-34.4%；另一方面，代表11/9的音程(15\53)更接近于39/32，综合这两方面，能够代表含11音程的53ed2音程更能够代表对应的含13音程，因此53ed2对素数11的逼近是没有说服力的。

以下只讨论2.3.5.7.13子群里的53ed2.

=== 53ed2的一步 ===

53ed2的一步可以解释为[[64/63]], [[81/80]]和[[531441/524288]]，这表明这三种音程可以用同一符号表示，从而简化记谱。在13限里，53ed2的一步可以解释为65/64，这表明5/4再下降一步得到16/13；53ed2的一步还可以解释为91/90，这表明9/7上升一步是13/10；只用2.3.13子群的话，53ed2的一步是512/507，也就是两个接近<math>\sqrt{3/2}</math>的音程16/13和39/32的差。

=== 常用音差 ===
53ed2调和下列音差：

* [[32805/32768]]
* [[15625/15552]]
* [[225/224]]
* [[1728/1715]]
* [[625/624]]
* [[676/675]]
* [[729/728]]

前两者唯一地在[[5限纯律]]里确定53ed2，前三者唯一地在[[7限纯律]]里确定53ed2，最后三者说明53ed2的三步同时是25/24, 26/25, 27/26和28/27.

== 对各个质数的近似 ==
{| class="wikitable"
|+五十三平均律对各个质数的近似
|质数
|2
|3
|5
|7
|11
|13
|17
|19
|-
|相对误差(%)
|0
| -0.3
| -6.2
| +21.0
| -35.0
| -12.3
| +36.4
| -14.0
|-
|步数
|53
|84
|123
|149
|183
|196
|217
|225
|}

== 记谱 ==
理论上，53ed2的所有音程可以用[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称 |标准的五线谱记谱]]，因为3/2的步数(31)和53互素；实际上4:5:6和弦在这种记谱下是C-F♭-G或其[[平移]]，并不利于快速辨别和弦结构。

为了解决这个问题，可以使用[[矢状记谱法]]或者[[FJS记谱法]]。注意到53edo的81/80和64/63都是一步，可以用同一个符号表示81/80和64/63，它可以是上箭头(↑)，而下箭头(↓)表示80/81和63/64. 这样，4:5:6和弦就是C-E↓-G或其平移，6:7:9就是D-F↓-A或其平移。

为了表示[[具体质数谐波的限制|含13音程]]，可以借助音差325/324：这一音差表示[[FJS记谱法#形式音差|形式音差]]1053/1024是两个81/80，因此使用双上箭头（↟）表示，双下箭头（↡）表示1024/1053. 这样，8:12:13就是C-G-A♭↟或其平移。

考虑到53edo的[[自然半音]]的步数是4, [[变化半音]]的步数是5, 表示53edo的音程不需要引入更多的符号了。

相对误差

2026-04-18T10:32:44Z

Null：重定向页面至平均律#相对误差

#REDIRECT [[平均律#相对误差]]

53ed2

2026-04-18T10:31:30Z

Null：/* 喵 */

五十三平均律（'''53 equal divisions of the octave'''，简称 '''53EDO''' 或 '''53ED2'''；在[[规则调律体系]]中亦称作 '''53-tone equal temperament'''（'''53TET'''）或 '''53 equal temperament'''（'''53ET'''））是一种将八度音程均匀分为 53 个等份的调律系统，每一等份的音程约为 22.64 音分（cent），接近ie76.5或77/76。其中每一步对应的频率比为 <math>\sqrt[53]{2}</math>，即 2 的 53 次方根。该调律可以以极高的精度拟合3限纯律，通常也可以作为5限纯律的近似使用，在7限与2.3.5.7.13子群中也具有良好的性质，是实践中常用的3限，5限，7限，2.3.5.7.13子群调律。
== 理论 ==
五十三平均律在5限的核心是一步1\53（约ie76.5）同时接近12点差531441/524288（约ie73.8）和九间差81/80，所以53平均律调和32805/32768。另外，53平均律中的6/5是14步，而3/1是84步,6个6/5就是一个3/1，所以53平均律调和15625/15552。在7限，53平均律调和[[225/224]]，这意味着75/64（5/4调低16/15，或9/8调高25/24）被调成与7/6等音，所以7限音程可以较为方便的引入5限音乐中。在11限，53平均律的性质较差，因为53平均律的11/7不[[一致]]，且53平均律调和121/120但不调和243/242，两个11/9堆叠后生成40/27而不是3/2，导致53平均律在11限中的应用受限。在2.3.5.7.13子群中，53平均律的3步（约ie25.5）同时代表25/24，26/25，27/26，28/27，调和音差676/675，325/324，169/168等。

== 喵 ==

=== 纯律近似 ===

''主词条: [[平均律误差]]''

53ed2在2.3.5.7.13子群里很强（误差7.55¢，ie229.28），但是对素数11则不尽人意。一方面，53ed2对11/8的[[相对误差]]达到了-35.0%，对11/9的相对误差则是-34.4%；另一方面，代表11/9的音程(15\53)更接近于39/32，综合这两方面，能够代表含11音程的53ed2音程更能够代表对应的含13音程，因此53ed2对素数11的逼近是没有说服力的。

以下只讨论2.3.5.7.13子群里的53ed2.

=== 53ed2的一步 ===

53ed2的一步可以解释为[[64/63]], [[81/80]]和[[531441/524288]]，这表明这三种音程可以用同一符号表示，从而简化记谱。在13限里，53ed2的一步可以解释为65/64，这表明5/4再下降一步得到16/13；53ed2的一步还可以解释为91/90，这表明9/7上升一步是13/10；只用2.3.13子群的话，53ed2的一步是512/507，也就是两个接近<math>\sqrt{3/2}</math>的音程16/13和39/32的差。

=== 常用音差 ===
53ed2调和下列音差：

* [[225/224]]
* [[32805/32768]]
* [[1728/1715]]
* [[625/624]]
* [[676/675]]
* [[729/728]]

最后三者说明53ed2的三步同时是25/24, 26/25, 27/26和28/27.

== 对各个质数的近似 ==
{| class="wikitable"
|+五十三平均律对各个质数的近似
|质数
|2
|3
|5
|7
|11
|13
|17
|19
|-
|相对误差(%)
|0
| -0.3
| -6.2
| +21.0
| -35.0
| -12.3
| +36.4
| -14.0
|-
|步数
|53
|84
|123
|149
|183
|196
|217
|225
|}

== 记谱 ==
理论上，53ed2的所有音程可以用[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称 |标准的五线谱记谱]]，因为3/2的步数(31)和53互素；实际上4:5:6和弦在这种记谱下是C-F♭-G或其[[平移]]，并不利于快速辨别和弦结构。

为了解决这个问题，可以使用[[矢状记谱法]]或者[[FJS记谱法]]。注意到53edo的81/80和64/63都是一步，可以用同一个符号表示81/80和64/63，它可以是上箭头(↑)，而下箭头(↓)表示80/81和63/64. 这样，4:5:6和弦就是C-E↓-G或其平移，6:7:9就是D-F↓-A或其平移。

为了表示[[具体质数谐波的限制|含13音程]]，可以借助音差325/324：这一音差表示[[FJS记谱法#形式音差|形式音差]]1053/1024是两个81/80，因此使用双上箭头（↟）表示，双下箭头（↡）表示1024/1053. 这样，8:12:13就是C-G-A♭↟或其平移。

考虑到53edo的[[自然半音]]的步数是4, [[变化半音]]的步数是5, 表示53edo的音程不需要引入更多的符号了。

53ed2

2026-04-18T10:21:16Z

Null：/* 喵 */

五十三平均律（'''53 equal divisions of the octave'''，简称 '''53EDO''' 或 '''53ED2'''；在[[规则调律体系]]中亦称作 '''53-tone equal temperament'''（'''53TET'''）或 '''53 equal temperament'''（'''53ET'''））是一种将八度音程均匀分为 53 个等份的调律系统，每一等份的音程约为 22.64 音分（cent），接近ie76.5或77/76。其中每一步对应的频率比为 <math>\sqrt[53]{2}</math>，即 2 的 53 次方根。该调律可以以极高的精度拟合3限纯律，通常也可以作为5限纯律的近似使用，在7限与2.3.5.7.13子群中也具有良好的性质，是实践中常用的3限，5限，7限，2.3.5.7.13子群调律。
== 理论 ==
五十三平均律在5限的核心是一步1\53（约ie76.5）同时接近12点差531441/524288（约ie73.8）和九间差81/80，所以53平均律调和32805/32768。另外，53平均律中的6/5是14步，而3/1是84步,6个6/5就是一个3/1，所以53平均律调和15625/15552。在7限，53平均律调和[[225/224]]，这意味着75/64（5/4调低16/15，或9/8调高25/24）被调成与7/6等音，所以7限音程可以较为方便的引入5限音乐中。在11限，53平均律的性质较差，因为53平均律的11/7不[[一致]]，且53平均律调和121/120但不调和243/242，两个11/9堆叠后生成40/27而不是3/2，导致53平均律在11限中的应用受限。在2.3.5.7.13子群中，53平均律的3步（约ie25.5）同时代表25/24，26/25，27/26，28/27，调和音差676/675，325/324，169/168等。

== 喵 ==

=== 53ed2的一步 ===

53ed2的一步可以解释为[[64/63]], [[81/80]]和[[531441/524288]]，这表明这三种音程可以用同一符号表示，从而简化记谱。在13限里，53ed2的一步可以解释为65/64，这表明5/4再下降一步得到16/13；53ed2的一步还可以解释为91/90，这表明9/7上升一步是13/10；只用2.3.13子群的话，53ed2的一步是512/507，也就是两个接近<math>\sqrt{3/2}</math>的音程16/13和39/32的差。

=== 常用音差 ===
53ed2调和下列音差：

* [[225/224]]
* [[32805/32768]]
* [[1728/1715]]
* [[625/624]]
* [[676/675]]
* [[729/728]]

最后三者说明53ed2的三步同时是25/24, 26/25, 27/26和28/27.

=== 纯律近似 ===

''主词条: [[平均律误差]]''

== 对各个质数的近似 ==
{| class="wikitable"
|+五十三平均律对各个质数的近似
|质数
|2
|3
|5
|7
|11
|13
|17
|19
|-
|相对误差(%)
|0
| -0.3
| -6.2
| +21.0
| -35.0
| -12.3
| +36.4
| -14.0
|-
|步数
|53
|84
|123
|149
|183
|196
|217
|225
|}

== 记谱 ==
理论上，53ed2的所有音程可以用[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称 |标准的五线谱记谱]]，因为3/2的步数(31)和53互素；实际上4:5:6和弦在这种记谱下是C-F♭-G或其[[平移]]，并不利于快速辨别和弦结构。

为了解决这个问题，可以使用[[矢状记谱法]]或者[[FJS记谱法]]。注意到53edo的81/80和64/63都是一步，可以用同一个符号表示81/80和64/63，它可以是上箭头(↑)，而下箭头(↓)表示80/81和63/64. 这样，4:5:6和弦就是C-E↓-G或其平移，6:7:9就是D-F↓-A或其平移。

为了表示[[具体质数谐波的限制|含13音程]]，可以借助音差325/324：这一音差表示[[FJS记谱法#形式音差|形式音差]]1053/1024是两个81/80，因此使用双上箭头（↟）表示，双下箭头（↡）表示1024/1053. 这样，8:12:13就是C-G-A♭↟或其平移。

考虑到53edo的[[自然半音]]的步数是4, [[变化半音]]的步数是5, 表示53edo的音程不需要引入更多的符号了。

53ed2

2026-04-18T10:19:17Z

Null：/* 常用音差 */

五十三平均律（'''53 equal divisions of the octave'''，简称 '''53EDO''' 或 '''53ED2'''；在[[规则调律体系]]中亦称作 '''53-tone equal temperament'''（'''53TET'''）或 '''53 equal temperament'''（'''53ET'''））是一种将八度音程均匀分为 53 个等份的调律系统，每一等份的音程约为 22.64 音分（cent），接近ie76.5或77/76。其中每一步对应的频率比为 <math>\sqrt[53]{2}</math>，即 2 的 53 次方根。该调律可以以极高的精度拟合3限纯律，通常也可以作为5限纯律的近似使用，在7限与2.3.5.7.13子群中也具有良好的性质，是实践中常用的3限，5限，7限，2.3.5.7.13子群调律。
== 理论 ==
五十三平均律在5限的核心是一步1\53（约ie76.5）同时接近12点差531441/524288（约ie73.8）和九间差81/80，所以53平均律调和32805/32768。另外，53平均律中的6/5是14步，而3/1是84步,6个6/5就是一个3/1，所以53平均律调和15625/15552。在7限，53平均律调和[[225/224]]，这意味着75/64（5/4调低16/15，或9/8调高25/24）被调成与7/6等音，所以7限音程可以较为方便的引入5限音乐中。在11限，53平均律的性质较差，因为53平均律的11/7不[[一致]]，且53平均律调和121/120但不调和243/242，两个11/9堆叠后生成40/27而不是3/2，导致53平均律在11限中的应用受限。在2.3.5.7.13子群中，53平均律的3步（约ie25.5）同时代表25/24，26/25，27/26，28/27，调和音差676/675，325/324，169/168等。

== 喵 ==

=== 53ed2的一步 ===

53ed2的一步可以解释为[[64/63]], [[81/80]]和[[531441/524288]]，这表明这三种音程可以用同一符号表示，从而简化记谱。在13限里，53ed2的一步可以解释为65/64，这表明5/4再下降一步得到16/13；53ed2的一步还可以解释为91/90，这表明9/7上升一步是13/10；只用2.3.13子群的话，53ed2的一步是512/507，也就是两个接近<math>\sqrt{3/2}</math>的音程16/13和39/32的差。

=== 常用音差 ===
53edo调和下列音差：

* [[225/224]]
* [[32805/32768]]
* [[1728/1715]]
* [[625/624]]
* [[676/675]]
* [[729/728]]

最后三者说明53edo的三步同时是25/24, 26/25, 27/26和28/27.

== 对各个质数的近似 ==
{| class="wikitable"
|+五十三平均律对各个质数的近似
|质数
|2
|3
|5
|7
|11
|13
|17
|19
|-
|相对误差(%)
|0
| -0.3
| -6.2
| +21.0
| -35.0
| -12.3
| +36.4
| -14.0
|-
|步数
|53
|84
|123
|149
|183
|196
|217
|225
|}

== 记谱 ==
理论上，53ed2的所有音程可以用[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称 |标准的五线谱记谱]]，因为3/2的步数(31)和53互素；实际上4:5:6和弦在这种记谱下是C-F♭-G或其[[平移]]，并不利于快速辨别和弦结构。

为了解决这个问题，可以使用[[矢状记谱法]]或者[[FJS记谱法]]。注意到53edo的81/80和64/63都是一步，可以用同一个符号表示81/80和64/63，它可以是上箭头(↑)，而下箭头(↓)表示80/81和63/64. 这样，4:5:6和弦就是C-E↓-G或其平移，6:7:9就是D-F↓-A或其平移。

为了表示[[具体质数谐波的限制|含13音程]]，可以借助音差325/324：这一音差表示[[FJS记谱法#形式音差|形式音差]]1053/1024是两个81/80，因此使用双上箭头（↟）表示，双下箭头（↡）表示1024/1053. 这样，8:12:13就是C-G-A♭↟或其平移。

考虑到53edo的[[自然半音]]的步数是4, [[变化半音]]的步数是5, 表示53edo的音程不需要引入更多的符号了。

53ed2

2026-04-18T10:17:34Z

Null：/* 喵 */

五十三平均律（'''53 equal divisions of the octave'''，简称 '''53EDO''' 或 '''53ED2'''；在[[规则调律体系]]中亦称作 '''53-tone equal temperament'''（'''53TET'''）或 '''53 equal temperament'''（'''53ET'''））是一种将八度音程均匀分为 53 个等份的调律系统，每一等份的音程约为 22.64 音分（cent），接近ie76.5或77/76。其中每一步对应的频率比为 <math>\sqrt[53]{2}</math>，即 2 的 53 次方根。该调律可以以极高的精度拟合3限纯律，通常也可以作为5限纯律的近似使用，在7限与2.3.5.7.13子群中也具有良好的性质，是实践中常用的3限，5限，7限，2.3.5.7.13子群调律。
== 理论 ==
五十三平均律在5限的核心是一步1\53（约ie76.5）同时接近12点差531441/524288（约ie73.8）和九间差81/80，所以53平均律调和32805/32768。另外，53平均律中的6/5是14步，而3/1是84步,6个6/5就是一个3/1，所以53平均律调和15625/15552。在7限，53平均律调和[[225/224]]，这意味着75/64（5/4调低16/15，或9/8调高25/24）被调成与7/6等音，所以7限音程可以较为方便的引入5限音乐中。在11限，53平均律的性质较差，因为53平均律的11/7不[[一致]]，且53平均律调和121/120但不调和243/242，两个11/9堆叠后生成40/27而不是3/2，导致53平均律在11限中的应用受限。在2.3.5.7.13子群中，53平均律的3步（约ie25.5）同时代表25/24，26/25，27/26，28/27，调和音差676/675，325/324，169/168等。

== 喵 ==

=== 53ed2的一步 ===

53ed2的一步可以解释为[[64/63]], [[81/80]]和[[531441/524288]]，这表明这三种音程可以用同一符号表示，从而简化记谱。在13限里，53ed2的一步可以解释为65/64，这表明5/4再下降一步得到16/13；53ed2的一步还可以解释为91/90，这表明9/7上升一步是13/10；只用2.3.13子群的话，53ed2的一步是512/507，也就是两个接近<math>\sqrt{3/2}</math>的音程16/13和39/32的差。

=== 常用音差 ===
53edo调和下列音差：

* 123
* 234
* 345

- 123
- 23131
- 2312

The schisma (the difference between 5/4 and the Pythagorean diminished fourth)
The vulture comma (the difference between four 320/243 intervals and the tritave)
The amiton (the difference between a stack of five 10/9 intervals and 27/16)
The kleisma (the difference between a stack of three 25/24 intervals and 9/8)
The semicomma (the difference between a stack of three 75/64 intervals and 8/5)
225/224 (the difference between 15/14 and 16/15)
385/384 (the difference between 77/64 and 6/5)
121/120 (the difference between 12/11 and 11/10)
625/624 (the difference between 25/24 and 26/25)
676/675 (the difference between a stack of two 15/13 intervals and the perfect fourth)
JI approximation
53edo is most usefully seen as a 2.3.5.7.13 tuning, but the 2.3.5.13 restriction is more accurate and shared with a number of its multiples, such as 159edo. Because it is not a Meantone system, there are actually multiple potential diatonic scales to use for 5-limit harmony, one of which is the Zarlino diatonic scale (LMsLMLs), tuned in 53edo as 9-8-5-9-8-9-5, though this particular scale is arguably best used for Lydian or Locrian modes. There's also the Didymic diatonic scale, tuned in 53edo as 9-8-5-9-9-8-5, which is better suited for Ionian mode and Major tonality in general. However, 53edo also features a MOS diatonic of 9-9-4-9-9-9-4, which is basically the Pythagorean diatonic scale.

== 对各个质数的近似 ==
{| class="wikitable"
|+五十三平均律对各个质数的近似
|质数
|2
|3
|5
|7
|11
|13
|17
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|-
|相对误差(%)
|0
| -0.3
| -6.2
| +21.0
| -35.0
| -12.3
| +36.4
| -14.0
|-
|步数
|53
|84
|123
|149
|183
|196
|217
|225
|}

== 记谱 ==
理论上，53ed2的所有音程可以用[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称 |标准的五线谱记谱]]，因为3/2的步数(31)和53互素；实际上4:5:6和弦在这种记谱下是C-F♭-G或其[[平移]]，并不利于快速辨别和弦结构。

为了解决这个问题，可以使用[[矢状记谱法]]或者[[FJS记谱法]]。注意到53edo的81/80和64/63都是一步，可以用同一个符号表示81/80和64/63，它可以是上箭头(↑)，而下箭头(↓)表示80/81和63/64. 这样，4:5:6和弦就是C-E↓-G或其平移，6:7:9就是D-F↓-A或其平移。

为了表示[[具体质数谐波的限制|含13音程]]，可以借助音差325/324：这一音差表示[[FJS记谱法#形式音差|形式音差]]1053/1024是两个81/80，因此使用双上箭头（↟）表示，双下箭头（↡）表示1024/1053. 这样，8:12:13就是C-G-A♭↟或其平移。

考虑到53edo的[[自然半音]]的步数是4, [[变化半音]]的步数是5, 表示53edo的音程不需要引入更多的符号了。

53ed2

2026-04-18T10:17:05Z

Null：

五十三平均律（'''53 equal divisions of the octave'''，简称 '''53EDO''' 或 '''53ED2'''；在[[规则调律体系]]中亦称作 '''53-tone equal temperament'''（'''53TET'''）或 '''53 equal temperament'''（'''53ET'''））是一种将八度音程均匀分为 53 个等份的调律系统，每一等份的音程约为 22.64 音分（cent），接近ie76.5或77/76。其中每一步对应的频率比为 <math>\sqrt[53]{2}</math>，即 2 的 53 次方根。该调律可以以极高的精度拟合3限纯律，通常也可以作为5限纯律的近似使用，在7限与2.3.5.7.13子群中也具有良好的性质，是实践中常用的3限，5限，7限，2.3.5.7.13子群调律。
== 理论 ==
五十三平均律在5限的核心是一步1\53（约ie76.5）同时接近12点差531441/524288（约ie73.8）和九间差81/80，所以53平均律调和32805/32768。另外，53平均律中的6/5是14步，而3/1是84步,6个6/5就是一个3/1，所以53平均律调和15625/15552。在7限，53平均律调和[[225/224]]，这意味着75/64（5/4调低16/15，或9/8调高25/24）被调成与7/6等音，所以7限音程可以较为方便的引入5限音乐中。在11限，53平均律的性质较差，因为53平均律的11/7不[[一致]]，且53平均律调和121/120但不调和243/242，两个11/9堆叠后生成40/27而不是3/2，导致53平均律在11限中的应用受限。在2.3.5.7.13子群中，53平均律的3步（约ie25.5）同时代表25/24，26/25，27/26，28/27，调和音差676/675，325/324，169/168等。

== 喵 ==

=== 53ed2的一步 ===

53ed2的一步可以解释为[[64/63]]、[[81/80]]和[[531441/524288]]，这表明这三种音程可以用同一符号表示，从而简化记谱。在13限里，53ed2的一步可以解释为65/64，这表明5/4再下降一步得到16/13；53ed2的一步还可以解释为91/90，这表明9/7上升一步是13/10；只用2.3.13子群的话，53ed2的一步是512/507，也就是两个接近<math>\sqrt{3/2}</math>的音程16/13和39/32的差。

=== 常用音差 ===
53edo调和下列音差：

* 123
* 234
* 345

- 123
- 23131
- 2312

The schisma (the difference between 5/4 and the Pythagorean diminished fourth)
The vulture comma (the difference between four 320/243 intervals and the tritave)
The amiton (the difference between a stack of five 10/9 intervals and 27/16)
The kleisma (the difference between a stack of three 25/24 intervals and 9/8)
The semicomma (the difference between a stack of three 75/64 intervals and 8/5)
225/224 (the difference between 15/14 and 16/15)
385/384 (the difference between 77/64 and 6/5)
121/120 (the difference between 12/11 and 11/10)
625/624 (the difference between 25/24 and 26/25)
676/675 (the difference between a stack of two 15/13 intervals and the perfect fourth)
JI approximation
53edo is most usefully seen as a 2.3.5.7.13 tuning, but the 2.3.5.13 restriction is more accurate and shared with a number of its multiples, such as 159edo. Because it is not a Meantone system, there are actually multiple potential diatonic scales to use for 5-limit harmony, one of which is the Zarlino diatonic scale (LMsLMLs), tuned in 53edo as 9-8-5-9-8-9-5, though this particular scale is arguably best used for Lydian or Locrian modes. There's also the Didymic diatonic scale, tuned in 53edo as 9-8-5-9-9-8-5, which is better suited for Ionian mode and Major tonality in general. However, 53edo also features a MOS diatonic of 9-9-4-9-9-9-4, which is basically the Pythagorean diatonic scale.

== 对各个质数的近似 ==
{| class="wikitable"
|+五十三平均律对各个质数的近似
|质数
|2
|3
|5
|7
|11
|13
|17
|19
|-
|相对误差(%)
|0
| -0.3
| -6.2
| +21.0
| -35.0
| -12.3
| +36.4
| -14.0
|-
|步数
|53
|84
|123
|149
|183
|196
|217
|225
|}

== 记谱 ==
理论上，53ed2的所有音程可以用[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称 |标准的五线谱记谱]]，因为3/2的步数(31)和53互素；实际上4:5:6和弦在这种记谱下是C-F♭-G或其[[平移]]，并不利于快速辨别和弦结构。

为了解决这个问题，可以使用[[矢状记谱法]]或者[[FJS记谱法]]。注意到53edo的81/80和64/63都是一步，可以用同一个符号表示81/80和64/63，它可以是上箭头(↑)，而下箭头(↓)表示80/81和63/64. 这样，4:5:6和弦就是C-E↓-G或其平移，6:7:9就是D-F↓-A或其平移。

为了表示[[具体质数谐波的限制|含13音程]]，可以借助音差325/324：这一音差表示[[FJS记谱法#形式音差|形式音差]]1053/1024是两个81/80，因此使用双上箭头（↟）表示，双下箭头（↡）表示1024/1053. 这样，8:12:13就是C-G-A♭↟或其平移。

考虑到53edo的[[自然半音]]的步数是4, [[变化半音]]的步数是5, 表示53edo的音程不需要引入更多的符号了。

53ed2

2026-04-18T10:08:20Z

Null：/* 记谱 */

53ed2

2026-04-18T10:01:28Z

Null：/* 记谱 */

53ed2

2026-04-18T09:58:43Z

Null：/* 记谱 */

53ed2

2026-04-18T09:58:29Z

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53ed2

2026-04-18T09:58:20Z

Null：

1029/1024

2026-04-18T09:44:46Z

Null：

{| style="float:right; border:1px solid black; background-color: #f0f0f0; border-collapse: collapse;"
!colspan="2" | 音程信息
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;名称 &ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 3ed3/2差&ensp;
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;有理比例&ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 1029/1024&ensp;
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;质因列&ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | [-10 1 0 3>&ensp;
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;质因式&ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | a10BD4d&ensp;
|-
! &ensp;&ensp;&ensp;质数子群&ensp;&ensp;&ensp;
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 2.3.7&ensp;
|}

''主词条: [[2.3.7/(1029/1024)]]''

1029/1024是3个8/7与3/2的差，也是[[64/63]]与[[49/48]]的差。5, 26, 31, 36, 41, 46等平均律调和1029/1024. 如果将1029/1024视为音程而非音差，则1029/1024接近于<math>2^{1/5}/(8/7)</math>，而8/7升高一个1029/1024是147/128，这意味着147/128比8/7更适合五等分2/1.

[[Category:7限音程]]
[[Category:音差]]

1029/1024

2026-04-18T09:44:00Z

Null：创建页面，内容为“{| style="float:right; border:1px solid black; background-color: #f0f0f0; border-collapse: collapse;" !colspan="2" | 音程信息 |- ! &ensp;&ensp;&ensp;名称 &ensp;&ensp;&ensp; | style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 3ed3/2差&ensp; |- ! &ensp;&ensp;&ensp;有理比例&ensp;&ensp;&ensp; | style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 1029/1024&ensp; |- ! &ensp;&ensp;&ensp;质因列&ensp;&ensp;&ensp; | style="background-color: #FFFFF…”

{| style="float:right; border:1px solid black; background-color: #f0f0f0; border-collapse: collapse;"
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! &ensp;&ensp;&ensp;名称 &ensp;&ensp;&ensp;
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! &ensp;&ensp;&ensp;质数子群&ensp;&ensp;&ensp;
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''主词条: [[2.3.7/(1029/1024)]]''

1029/1024是3个8/7与3/2的差，也是[[64/63]]与[[49/48]]的差。5, 26, 31, 36, 41, 46等平均律调和1029/1024. 如果将1029/1024视为音程而非音差，则1029/1024接近于<math>2^{1/5}/(8/7)</math>，而8/7降低一个1029/1024是147/128，这意味着147/128比8/7更适合五等分2/1.

[[Category:7限音程]]
[[Category:音差]]

泛音列

2026-04-18T09:36:08Z

Null：/* 作为和弦的泛音列 */

泛音列是由一个基音开始，其后各音频率与基音频率呈整数比的一系列音高。其频率比依次为：基音（1/1）、第二分音（2/1）、第三分音（3/1）、第四分音（4/1）、第五分音（5/1）……以此类推，直至无穷。

当基音（如C）被奏响时，这些按顺序出现的、音高由低至高的分音共同构成了该基音的泛音列。在音乐声学中，基音本身称为第一分音，频率为基音两倍（高八度）的音称为第二分音，频率为基音三倍（高八度加纯五度）的音称为第三分音，依此类推。

[[文件:16.png|居中|缩略图|960x960像素|以C为根音的泛音列，从根音到第16分音，矢状记谱法记谱]]
因此，在严格的技术术语中：

* 分音序列：包含基音（第一分音）。
* 泛音序列：特指第二分音及之后的所有分音。也就是说，第二分音是第一泛音，第三分音是第二泛音，两者序号相差1。

== 作为和弦的泛音列 ==
泛音列的前n个音高构成的和弦称为'''自然和弦'''(chord of nature)。若自然和弦里各个音的音色是[[泛音性音色]]，则自然和弦的频谱包含的频率是整个泛音列的基频和其正整数倍，因此这一和弦的声响效果可视为一个单音。

拉威尔在《波莱罗》里把一条旋律的每个音变成频率比为2:3:4:5的平行和弦，其听感类似于单音，原因正是因为2:3:4:5接近于自然和弦。
[[文件:Bolero.png|居中|缩略图|960x960像素|观察最上面两行的调号]]

== 泛音列的音程特性 ==
泛音列中相邻分音之间的频率比均为邻差，其形式为 (n+1)/n（例如 2/1、3/2、4/3、5/4……）。

泛音列具有封闭性：一个音的第n分音的第m分音是这个音的第(mn)分音。因此，用泛音性音色演奏自然和弦得到的结果类似于单音，因为自然和弦的每个音的泛音都是自然和弦的根音的泛音；用非泛音性音色演奏自然和弦的结果未必类似于单音。

从泛音列的相邻分音中，可以进一步构造出一类具有重要理论意义的微小音程，称为[[间差]]。n间差的频率比为n²/(n-1)(n+1). 若n间差被调和，则第n分音到第(n+1)分音的距离与第(n-1)分音到第n分音的距离相等。

== 作品 ==
; Ben Johnston
* [https://www.bilibili.com/video/BV1oP4y1H7dX ''微调钢琴组曲'']

; 大編隊藤島

大編隊藤島的很多创作都包含泛音列元素，这里只取一首。
* [https://music.163.com/#/song?id=2067283528 ''倍音ピアノの曲1-3「昔の人の夢」'']

== 另见 ==

* [[沉音列]]

谐波限

2026-04-18T09:33:24Z

Null：/* 谐波限的类型 */

谐波限是一类约束纯律音程或纯律和弦谐波的方法。最小谐波限小于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度受限的，也就是它们较为简单。最大超谐波限大于一定值的纯律音程或纯律和弦的全体是复杂度超限的，也就是它们较为复杂。

以下假设纯律音程a/b中的a, b是整数且没有大于1的公因子。

== 谐波限的类型 ==
=== 质数限 ===
设a/b是纯律音程，将a/b写成 <math>{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}</math>的形式，其中<math>{p_1} \cdots {p_k}</math>为互不相同的质数， <math>{n_1}\cdots {n_k}</math>为非零整数，则a/b的质数限不小于<math>{p_1} \cdots {p_k}</math>的最大者。不加形容词的p限默认为p质数限。

设p为质数，所有质数限不超过p的纯律音程的全体构成一个[[子群]]，称为p限子群。

注：不要将m限音程写成m-限音程。短横线仅应用于连接两个专有名词。<ref> [https://zhuanlan.zhihu.com/p/1213957321 微分音音乐理论术语表]</ref>

=== 奇数限 ===
设a/b是纯律音程，将a/b写成 <math>{2}^{n}{q_1}/{q_2}</math>的形式，其中n是整数，<math>{q_1}</math>和<math>{q_2}</math>是奇数，则a/b的奇数限不小于<math>max({q_1}, {q_2})</math>.

设p为奇数，所有大小在[1/1, 2/1]之内的奇数限不超过p的纯律音程的全体称为'''p奇数限'''(p-odd-limit tonality diamond)。

=== 整数限 ===
纯律音程a/b的整数限不小于max(a, b).

=== 和弦的质数限 ===
和弦的质数限不小于各个组成音程质数限的最大者。

=== 和弦的整数限 ===
和弦<math>x_1:x_2:...:x_n</math> (<math>x_1, x_2, ..., x_n</math>为整数且没有大于1的公因子) 的整数限不小于<math>\max(x_1, x_2, ..., x_n)</math>.

== 超谐波限 ==
设a/b是纯律音程，其最小谐波限制y大于x，则称a/b为x超谐波限音程。

=== 和弦的超谐波限 ===
和弦的超谐波限不大于各个组成音程最大的超谐波限中最大者。

== 例子 ==
* 音程16/15的质数限≥5, 奇数限≥15, 整数限≥16,同时是超3质数限与超11奇数限音程.

* 和弦4:5:6的质数限≥5, 整数限≥6,同时是超3质数限与超5整数限和弦.

* 一个2/1内的7奇数限音程的全体是1/1, 8/7, 7/6, 6/5, 5/4, 4/3, 7/5, 10/7, 3/2, 8/5, 5/3, 12/7, 7/4, 2/1.

== 具体质数谐波的限制 ==
[[具体质数谐波的限制]]

== 谐波限的组合 ==
质数限、奇数限、整数限、超质数限、超奇数限、超整数限作为约束条件可以组合，p质数限n奇数限m整数限q超质数限a超奇数限b超整数限是质数限不超过p、奇数限不超过n、整数限不超过m、超质数限不超过q、超奇数限不超过a、超整数限不超过b的音程全体。

例：5限15奇数限超3奇数限的音程全体是16/15, 15/8, 10/9, 9/5, 9/8, 16/9, 6/5, 5/3, 5/4, 8/5以及它们增加（或减少）任意个2/1得到的音程全体。

== 参考 ==

<references/>

5/4

2026-04-15T08:12:57Z

Null：/* 平均律逼近 */

{| style="float:right; border:1px solid black; background-color: #f0f0f0; border-collapse: collapse;"
!colspan="2" | 音程信息
|-
!    名称    
|     style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 5/4
|-
!     有理比例    
|     style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 5/4
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!    质因列    
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!     质因式    
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!    质数子群    
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 2.5
|}

在[[5限纯律]]中，'''5/4''' 是第5泛音与第4泛音之间的频率比，其大小约为386.3¢.

它比[[12ed2]]的4步低约13.7¢；如果用[[3限纯律]]的[[81/64]]逼近，误差则是[[81/80]]≈21.5¢；如果用3限纯律的8192/6561逼近，误差则是[[32805/32768]]≈1.95¢.

[[文件:5 4.mp3]]

== 平均律逼近 ==

本表格只包含[[平均律#相对误差|相对误差]]的绝对值≤10%且平均律步数与5/4步数没有大于1的公因子的情况。
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!平均律步数
!5/4的步数
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|-
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| +4.52%
|}

== 另见 ==

* [[5限纯律]]

[[Category:纯律音程]]
[[Category:泛音]]
[[Category:5限纯律]]

5/4

2026-04-15T08:12:49Z

Null：/* 平均律逼近 */

{| style="float:right; border:1px solid black; background-color: #f0f0f0; border-collapse: collapse;"
!colspan="2" | 音程信息
|-
!    名称    
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!     有理比例    
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!     质因式    
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!    质数子群    
| style="background-color: #FFFFFF; font-weight: bold;" | 2.5
|}

在[[5限纯律]]中，'''5/4''' 是第5泛音与第4泛音之间的频率比，其大小约为386.3¢.

它比[[12ed2]]的4步低约13.7¢；如果用[[3限纯律]]的[[81/64]]逼近，误差则是[[81/80]]≈21.5¢；如果用3限纯律的8192/6561逼近，误差则是[[32805/32768]]≈1.95¢.

[[文件:5 4.mp3]]

== 平均律逼近 ==

本表格只包含[[平均律#相对误差 | 相对误差]]的绝对值≤10%且平均律步数与5/4步数没有大于1的公因子的情况。
{| class="wikitable"
|+
!平均律步数
!5/4的步数
!绝对误差(ie)
!相对误差
|-
|3
|1
| +126.4941
| +3.42%
|-
|22
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|-
|258
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|264
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| +1.1%
|-
|267
|86
| +8522.3662
| +4.52%
|}

== 另见 ==

* [[5限纯律]]

[[Category:纯律音程]]
[[Category:泛音]]
[[Category:5限纯律]]

平均律

2026-04-15T08:12:09Z

Null：

'''平均律'''是相邻音符距离相等的律制。这一距离通常表示为某一音程的n分之一，如3ed3/2表示这一距离是3/2的三分之一。'''n平均律'''指<math>n</math>ed2, 也就是一步为<math> 2^{1/n}</math>的平均律。

平均律可以视为一串音符，也可以视为[[规则调律]]的像集；当规则调律的秩为1时，规则调律的像集构成平均律。对于等分2/1的律制，前者称为<math>n</math>ed2，后者称为<math>n</math>tet (n-tone equal temperament).

== 公式 ==
<math>n</math>ed<math>p</math>的<math>k</math>步为 <math> s = 1200 \log_2 (p) \cdot k/n</math>[[音分]]，其频率比为<math> p^{k/n}</math>。

== 规则调律逼近与直接逼近 ==

''主词条: [[一致]]''
* 音程a/b在n平均律的'''规则调律逼近'''是n平均律的映射行乘以a/b的质因列的值；
* 音程a/b在n平均律的'''直接逼近'''是距离a/b最近的音程的步数。

如果这两者结果相同，那么称n平均律对a/b一致。

== 相对误差 ==

'''相对误差'''是衡量平均律逼近特定音程的指标。音程a/b在n平均律的直接逼近步数是离<math>n\log_2(a/b)</math>最近的整数，因此相对误差<math>[n\log_2(a/b)]-n\log_2(a/b)</math>可以表征音程a/b在n平均律的逼近情况，其中方括号[x]表示离x最近的整数。相对误差为正说明n平均律的a/b比a/b本身宽；相对误差为负说明n平均律的a/b比a/b本身窄。

* 相对误差的范围在[-1/2,1/2]之间，若取相对误差的绝对值，则其范围是[0,1/2].
* 若n平均律和(kn)平均律对一个音程的逼近相同，则后者的相对误差是前者的k倍。例如，12edo和72edo对3/2的逼近都是<math>2^{7/12}</math>，两者的相对误差为-1.96%和-11.7%，后者是前者的6倍。
* 若n平均律在p限的的映射行是q平均律的映射行和r平均律的映射行之和，则n平均律对于某一不大于p的质数的相对误差是q平均律和r平均律对于同一质数的相对误差之和。

== 本网站上的ed2 ==
* [[12ed2]]
* [[53ed2]]

== 另见 ==
* [[规则调律理论]]
* [[Zeta调律]]
* [[伸缩]]

[[Category:术语]]
[[Category:调律]]

3限纯律

2026-04-11T08:18:08Z

Null：/* 复音程 */

'''3限纯律''' 由分子和分母为质数2和3的任意次乘积的[[纯律]][[音程]]组成，如[[3/2]], [[16/9]]. 3限纯律音程的一般形式为<math>2^a3^b</math>, 其中a, b为整数。

== 历史 ==
先秦时期的《管子·地员篇》记载了三分损益律：取一段弦“三分损一”（均分弦为三段，舍一留二）便得到 3/2f（f为弦的原频率），三分益一（弦均分三段后再加一段）便得到 3/4f. 这种生律方式得到的是3限纯律的子集：<math>\{2^a3^b\}</math>, 其中a为整数，b为'''非负'''整数。

公元前6世纪的古希腊哲学家、科学家毕达哥拉斯提出2/1, 3/2, 4/3为协和音程，将3/2作为生律要素，产生的律制即为3限纯律。

== 延拓 ==
3限纯律[[延拓]]成更大[[子群]]的调律时，其[[周期]]仍然为2/1, 其[[生程]]仍然为3/2, 因此延拓的结果可以不严谨地称为“五度相生律”。以下是3限纯律的延拓：

* [[2.3.5/(81/80)]]

* [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]

== 3限纯律音程的七声音阶名称 ==

=== 纯、大、小音程 ===

这张表可以根据2/1周期，3/2生程的5L2s [[MOS音阶]]推出。

{| class="wikitable"
|+
!音程
!名称
|-
|1/1
|纯一度
|-
|256/243
|小二度
|-
|9/8
|大二度
|-
|32/27
|小三度
|-
|81/64
|大三度
|-
|4/3
|纯四度
|-
|3/2
|纯五度
|-
|128/81
|小六度
|-
|27/16
|大六度
|-
|16/9
|小七度
|-
|243/128
|大七度
|-
|2/1
|纯八度
|}

=== 增、减音程 ===

* 若x是大音程或纯音程，x*(2187/2048)称为增(x的名称)；x*(2187/2048)²称为倍增(x的名称)，x*(2187/2048)³称为3倍增(x的名称)，以此类推。
* 若x是小音程或纯音程，x/(2187/2048)称为减(x的名称)；x/(2187/2048)²称为倍减(x的名称)，x/(2187/2048)³称为3倍减(x的名称)，以此类推。

'''例'''：减二度 = 256/243 / (2187/2048) = 524288/531441，是反向的12[[点差]]。

=== 复音程 ===
音程x乘以2，得到的音程叫复(x的名称)；以上任一音程乘以4则是双复(x的名称)，乘以8则是三复(x的名称)，以此类推。

'''例'''：3/1是复五度，9/1是三复大二度。

=== 反向音程 ===
音程1/x的名称是反向(x的名称)。

'''例'''：12点差是反向减二度。

== 调制 ==
3限纯律的任何[[调制]]都会产生平均律，如[[12ed2]]. 反之，任何3的[[步数]]与2的步数互质的平均律都是3限纯律的调制。

[[Category:律制]]

3限纯律

2026-04-11T08:18:02Z

Null：/* 反向音程 */

'''3限纯律''' 由分子和分母为质数2和3的任意次乘积的[[纯律]][[音程]]组成，如[[3/2]], [[16/9]]. 3限纯律音程的一般形式为<math>2^a3^b</math>, 其中a, b为整数。

== 历史 ==
先秦时期的《管子·地员篇》记载了三分损益律：取一段弦“三分损一”（均分弦为三段，舍一留二）便得到 3/2f（f为弦的原频率），三分益一（弦均分三段后再加一段）便得到 3/4f. 这种生律方式得到的是3限纯律的子集：<math>\{2^a3^b\}</math>, 其中a为整数，b为'''非负'''整数。

公元前6世纪的古希腊哲学家、科学家毕达哥拉斯提出2/1, 3/2, 4/3为协和音程，将3/2作为生律要素，产生的律制即为3限纯律。

== 延拓 ==
3限纯律[[延拓]]成更大[[子群]]的调律时，其[[周期]]仍然为2/1, 其[[生程]]仍然为3/2, 因此延拓的结果可以不严谨地称为“五度相生律”。以下是3限纯律的延拓：

* [[2.3.5/(81/80)]]

* [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]

== 3限纯律音程的七声音阶名称 ==

=== 纯、大、小音程 ===

这张表可以根据2/1周期，3/2生程的5L2s [[MOS音阶]]推出。

{| class="wikitable"
|+
!音程
!名称
|-
|1/1
|纯一度
|-
|256/243
|小二度
|-
|9/8
|大二度
|-
|32/27
|小三度
|-
|81/64
|大三度
|-
|4/3
|纯四度
|-
|3/2
|纯五度
|-
|128/81
|小六度
|-
|27/16
|大六度
|-
|16/9
|小七度
|-
|243/128
|大七度
|-
|2/1
|纯八度
|}

=== 增、减音程 ===

* 若x是大音程或纯音程，x*(2187/2048)称为增(x的名称)；x*(2187/2048)²称为倍增(x的名称)，x*(2187/2048)³称为3倍增(x的名称)，以此类推。
* 若x是小音程或纯音程，x/(2187/2048)称为减(x的名称)；x/(2187/2048)²称为倍减(x的名称)，x/(2187/2048)³称为3倍减(x的名称)，以此类推。

'''例'''：减二度 = 256/243 / (2187/2048) = 524288/531441，是反向的12[[点差]]。

=== 复音程 ===
音程x乘以2，得到的音程叫复(x名称)；以上任一音程乘以4则是双复(x的名称)，乘以8则是三复(x的名称)，以此类推。

'''例'''：3/1是复五度，9/1是三复大二度。

=== 反向音程 ===
音程1/x的名称是反向(x的名称)。

'''例'''：12点差是反向减二度。

== 调制 ==
3限纯律的任何[[调制]]都会产生平均律，如[[12ed2]]. 反之，任何3的[[步数]]与2的步数互质的平均律都是3限纯律的调制。

[[Category:律制]]

3限纯律

2026-04-11T08:17:58Z

Null：/* 3限纯律音程的七声音阶名称 */

'''3限纯律''' 由分子和分母为质数2和3的任意次乘积的[[纯律]][[音程]]组成，如[[3/2]], [[16/9]]. 3限纯律音程的一般形式为<math>2^a3^b</math>, 其中a, b为整数。

== 历史 ==
先秦时期的《管子·地员篇》记载了三分损益律：取一段弦“三分损一”（均分弦为三段，舍一留二）便得到 3/2f（f为弦的原频率），三分益一（弦均分三段后再加一段）便得到 3/4f. 这种生律方式得到的是3限纯律的子集：<math>\{2^a3^b\}</math>, 其中a为整数，b为'''非负'''整数。

公元前6世纪的古希腊哲学家、科学家毕达哥拉斯提出2/1, 3/2, 4/3为协和音程，将3/2作为生律要素，产生的律制即为3限纯律。

== 延拓 ==
3限纯律[[延拓]]成更大[[子群]]的调律时，其[[周期]]仍然为2/1, 其[[生程]]仍然为3/2, 因此延拓的结果可以不严谨地称为“五度相生律”。以下是3限纯律的延拓：

* [[2.3.5/(81/80)]]

* [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]

== 3限纯律音程的七声音阶名称 ==

=== 纯、大、小音程 ===

这张表可以根据2/1周期，3/2生程的5L2s [[MOS音阶]]推出。

{| class="wikitable"
|+
!音程
!名称
|-
|1/1
|纯一度
|-
|256/243
|小二度
|-
|9/8
|大二度
|-
|32/27
|小三度
|-
|81/64
|大三度
|-
|4/3
|纯四度
|-
|3/2
|纯五度
|-
|128/81
|小六度
|-
|27/16
|大六度
|-
|16/9
|小七度
|-
|243/128
|大七度
|-
|2/1
|纯八度
|}

=== 增、减音程 ===

* 若x是大音程或纯音程，x*(2187/2048)称为增(x的名称)；x*(2187/2048)²称为倍增(x的名称)，x*(2187/2048)³称为3倍增(x的名称)，以此类推。
* 若x是小音程或纯音程，x/(2187/2048)称为减(x的名称)；x/(2187/2048)²称为倍减(x的名称)，x/(2187/2048)³称为3倍减(x的名称)，以此类推。

'''例'''：减二度 = 256/243 / (2187/2048) = 524288/531441，是反向的12[[点差]]。

=== 复音程 ===
音程x乘以2，得到的音程叫复(x名称)；以上任一音程乘以4则是双复(x的名称)，乘以8则是三复(x的名称)，以此类推。

'''例'''：3/1是复五度，9/1是三复大二度。

=== 反向音程 ===
音程1/x的名称是反向(x名称)。

'''例'''：12点差是反向减二度。

== 调制 ==
3限纯律的任何[[调制]]都会产生平均律，如[[12ed2]]. 反之，任何3的[[步数]]与2的步数互质的平均律都是3限纯律的调制。

[[Category:律制]]

3限纯律

2026-04-11T08:15:34Z

Null：/* 尚未解决的情况 */

'''3限纯律''' 由分子和分母为质数2和3的任意次乘积的[[纯律]][[音程]]组成，如[[3/2]], [[16/9]]. 3限纯律音程的一般形式为<math>2^a3^b</math>, 其中a, b为整数。

== 历史 ==
先秦时期的《管子·地员篇》记载了三分损益律：取一段弦“三分损一”（均分弦为三段，舍一留二）便得到 3/2f（f为弦的原频率），三分益一（弦均分三段后再加一段）便得到 3/4f. 这种生律方式得到的是3限纯律的子集：<math>\{2^a3^b\}</math>, 其中a为整数，b为'''非负'''整数。

公元前6世纪的古希腊哲学家、科学家毕达哥拉斯提出2/1, 3/2, 4/3为协和音程，将3/2作为生律要素，产生的律制即为3限纯律。

== 延拓 ==
3限纯律[[延拓]]成更大[[子群]]的调律时，其[[周期]]仍然为2/1, 其[[生程]]仍然为3/2, 因此延拓的结果可以不严谨地称为“五度相生律”。以下是3限纯律的延拓：

* [[2.3.5/(81/80)]]

* [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]

== 3限纯律音程的七声音阶名称 ==

=== 纯、大、小音程 ===

这张表可以根据2/1周期，3/2生程的5L2s [[MOS音阶]]推出。

{| class="wikitable"
|+
!音程
!名称
|-
|1/1
|纯一度
|-
|256/243
|小二度
|-
|9/8
|大二度
|-
|32/27
|小三度
|-
|81/64
|大三度
|-
|4/3
|纯四度
|-
|3/2
|纯五度
|-
|128/81
|小六度
|-
|27/16
|大六度
|-
|16/9
|小七度
|-
|243/128
|大七度
|-
|2/1
|纯八度
|}

=== 增、减音程 ===

* 若x是大音程或纯音程，x*(2187/2048)称为增(x的名称)；x*(2187/2048)²称为倍增(x的名称)，x*(2187/2048)³称为3倍增(x的名称)，以此类推。
* 若x是小音程或纯音程，x/(2187/2048)称为减(x的名称)；x/(2187/2048)²称为倍减(x的名称)，x/(2187/2048)³称为3倍减(x的名称)，以此类推。

'''例'''：减二度 = 256/243 / (2187/2048) = 524288/531441，是反向的12[[点差]]。

=== 复音程 ===
音程x乘以2，得到的音程叫复(x名称)；以上任一音程乘以4则是双复(x的名称)，乘以8则是三复(x的名称)，以此类推。

'''例'''：3/1是复五度，9/1是三复大二度。

=== 尚未解决的情况 ===
上面的命名法不能涵盖所有的3限音程，如12倍增一度减去一个八度的音程无法命名。

音程计算器 [https://www.yacavone.net/xen-calc/] 能够正确计算[https://www.yacavone.net/xen-calc/?q=%5B-132+84%3E 12倍增一度]

== 调制 ==
3限纯律的任何[[调制]]都会产生平均律，如[[12ed2]]. 反之，任何3的[[步数]]与2的步数互质的平均律都是3限纯律的调制。

[[Category:律制]]

FJS记谱法

2026-04-11T08:13:38Z

Null：/* 另见 */

'''FJS记谱法''' （Functional Just System）是一种用于[[纯律]]的记谱法，它将纯律音程<math>q</math>分成<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>，其中<math>d</math>是[[3限纯律]]音程，<math>r_5, r_7, r_{11}\cdots</math>等分别是5, 7, 11...质数的形式音差（下文有介绍），<math>b_5, b_7, \cdots b_p</math>为整数，p为q的[[谐波限]]。3限纯律音程<math>d</math>可以用[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称|标准的写法]]写在五线谱上，而标记形式音差则需要用特殊记号，比如上标5 (<math>\phantom{1}^5</math>)代表80/81，或者上标5代表81/80，等等。形式音差的特殊记号没有统一的写法，作曲家可以根据书写乐谱的需要自己定义形式音差的特殊记号。

== 形式音差 ==
给定质数p，形式音差是一个形如<math>p2^m3^n</math>的音程。考虑所有可能的m,n的全体：<math>\{(m,n) : 63/65 < p2^m3^n < 65/63 \}</math> (这里65/63来自misotanni的原始文献<ref> [https://misotanni.github.io/fjs/en/rules.html 原始文献]</ref>)，假设元素(m,n)使得n的绝对值最小，那么<math>p2^m3^n</math>就是所求的形式音差。若<math>(m_+,n)</math>和<math>(m_-,-n)</math> (n>0)都满足以上要求，那么取<math>p2^{m_+}3^n</math>作为形式音差。

'''例'''：考虑p=5的形式音差。n=0, 1, -1, 2, -2, 3, -3时，<math>p2^m3^n</math>都不在区间(63/65, 65/63)内，而n=-4时，80/81在区间(63/65, 65/63)内，因此5限形式音差是80/81.

假设一首纯律音乐是p[[谐波限|限]]的，用FJS表示这首音乐，只需要计算不超过p的质数的形式音差。这是因为不超过p的质数的形式音差和音程2/1, 3/1可以生成整个p限。

以下是常用形式音差：
{| class="wikitable"
|+
!质数
!形式音差
|-
|5
|80/81
|-
|7
|63/64
|-
|11
|33/32
|-
|13
|1053/1024
|-
|17
|4131/4096
|-
|19
|513/512
|}

== 纯律音程的表示 ==

给定纯律音程<math>q=2^{a_2}3^{a_3}5^{a_5}\cdots p^{a_p}</math>，假设<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>是<math>q</math>的FJS表示法，那么<math>a_5=b_5, a_7=b_7, \cdots a_p=b_p</math>. 用这种方式可以计算形式音差的数量和幂次，剩余的部分<math>d</math>就是3限音程（<math>d</math>未必等于<math>2^{a_2}3^{a_3}</math>）。

如果q可以写成<math>q=2^{a_2}3^{a_3}p^{a_p}</math>的形式，q[[超3限简单音程的命名|在一定条件下]]可以称为“p纯音程”。

== 作品 ==
; 丰川卅三
* [https://www.bilibili.com/video/BV1SHepedE3h ''致敬简约音乐元老'']

; M1k1_H2tsun2
* [https://www.bilibili.com/video/BV1Jgvve2EXj ''泛音列 (从基础音至第30泛音), 但是是Electric Piano'']
* [https://www.bilibili.com/video/BV1M5411v7aq ''Helmholtz-Ellis 和 Ben Johnston 以及 FJS 这三种不同纯律记谱之间的对比'']

== 另见 ==
* [[矢状记谱法]]

* [https://misotanni.github.io/fjs/en/index.html FJS介绍]

* [https://www.yacavone.net/xen-calc/ FJS计算器]

== 参考 ==

<references/>
[[Category:记谱法]]

FJS记谱法

2026-04-11T08:13:32Z

Null：/* 另见 */

'''FJS记谱法''' （Functional Just System）是一种用于[[纯律]]的记谱法，它将纯律音程<math>q</math>分成<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>，其中<math>d</math>是[[3限纯律]]音程，<math>r_5, r_7, r_{11}\cdots</math>等分别是5, 7, 11...质数的形式音差（下文有介绍），<math>b_5, b_7, \cdots b_p</math>为整数，p为q的[[谐波限]]。3限纯律音程<math>d</math>可以用[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称|标准的写法]]写在五线谱上，而标记形式音差则需要用特殊记号，比如上标5 (<math>\phantom{1}^5</math>)代表80/81，或者上标5代表81/80，等等。形式音差的特殊记号没有统一的写法，作曲家可以根据书写乐谱的需要自己定义形式音差的特殊记号。

== 形式音差 ==
给定质数p，形式音差是一个形如<math>p2^m3^n</math>的音程。考虑所有可能的m,n的全体：<math>\{(m,n) : 63/65 < p2^m3^n < 65/63 \}</math> (这里65/63来自misotanni的原始文献<ref> [https://misotanni.github.io/fjs/en/rules.html 原始文献]</ref>)，假设元素(m,n)使得n的绝对值最小，那么<math>p2^m3^n</math>就是所求的形式音差。若<math>(m_+,n)</math>和<math>(m_-,-n)</math> (n>0)都满足以上要求，那么取<math>p2^{m_+}3^n</math>作为形式音差。

'''例'''：考虑p=5的形式音差。n=0, 1, -1, 2, -2, 3, -3时，<math>p2^m3^n</math>都不在区间(63/65, 65/63)内，而n=-4时，80/81在区间(63/65, 65/63)内，因此5限形式音差是80/81.

假设一首纯律音乐是p[[谐波限|限]]的，用FJS表示这首音乐，只需要计算不超过p的质数的形式音差。这是因为不超过p的质数的形式音差和音程2/1, 3/1可以生成整个p限。

以下是常用形式音差：
{| class="wikitable"
|+
!质数
!形式音差
|-
|5
|80/81
|-
|7
|63/64
|-
|11
|33/32
|-
|13
|1053/1024
|-
|17
|4131/4096
|-
|19
|513/512
|}

== 纯律音程的表示 ==

给定纯律音程<math>q=2^{a_2}3^{a_3}5^{a_5}\cdots p^{a_p}</math>，假设<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>是<math>q</math>的FJS表示法，那么<math>a_5=b_5, a_7=b_7, \cdots a_p=b_p</math>. 用这种方式可以计算形式音差的数量和幂次，剩余的部分<math>d</math>就是3限音程（<math>d</math>未必等于<math>2^{a_2}3^{a_3}</math>）。

如果q可以写成<math>q=2^{a_2}3^{a_3}p^{a_p}</math>的形式，q[[超3限简单音程的命名|在一定条件下]]可以称为“p纯音程”。

== 作品 ==
; 丰川卅三
* [https://www.bilibili.com/video/BV1SHepedE3h ''致敬简约音乐元老'']

; M1k1_H2tsun2
* [https://www.bilibili.com/video/BV1Jgvve2EXj ''泛音列 (从基础音至第30泛音), 但是是Electric Piano'']
* [https://www.bilibili.com/video/BV1M5411v7aq ''Helmholtz-Ellis 和 Ben Johnston 以及 FJS 这三种不同纯律记谱之间的对比'']

== 另见 ==
* [[矢状记谱法]]

* [[https://misotanni.github.io/fjs/en/index.html FJS介绍]]

* [[https://www.yacavone.net/xen-calc/ FJS计算器]]

== 参考 ==

<references/>
[[Category:记谱法]]

FJS记谱法

2026-04-11T08:13:27Z

Null：/* 另见 */

'''FJS记谱法''' （Functional Just System）是一种用于[[纯律]]的记谱法，它将纯律音程<math>q</math>分成<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>，其中<math>d</math>是[[3限纯律]]音程，<math>r_5, r_7, r_{11}\cdots</math>等分别是5, 7, 11...质数的形式音差（下文有介绍），<math>b_5, b_7, \cdots b_p</math>为整数，p为q的[[谐波限]]。3限纯律音程<math>d</math>可以用[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称|标准的写法]]写在五线谱上，而标记形式音差则需要用特殊记号，比如上标5 (<math>\phantom{1}^5</math>)代表80/81，或者上标5代表81/80，等等。形式音差的特殊记号没有统一的写法，作曲家可以根据书写乐谱的需要自己定义形式音差的特殊记号。

== 形式音差 ==
给定质数p，形式音差是一个形如<math>p2^m3^n</math>的音程。考虑所有可能的m,n的全体：<math>\{(m,n) : 63/65 < p2^m3^n < 65/63 \}</math> (这里65/63来自misotanni的原始文献<ref> [https://misotanni.github.io/fjs/en/rules.html 原始文献]</ref>)，假设元素(m,n)使得n的绝对值最小，那么<math>p2^m3^n</math>就是所求的形式音差。若<math>(m_+,n)</math>和<math>(m_-,-n)</math> (n>0)都满足以上要求，那么取<math>p2^{m_+}3^n</math>作为形式音差。

'''例'''：考虑p=5的形式音差。n=0, 1, -1, 2, -2, 3, -3时，<math>p2^m3^n</math>都不在区间(63/65, 65/63)内，而n=-4时，80/81在区间(63/65, 65/63)内，因此5限形式音差是80/81.

假设一首纯律音乐是p[[谐波限|限]]的，用FJS表示这首音乐，只需要计算不超过p的质数的形式音差。这是因为不超过p的质数的形式音差和音程2/1, 3/1可以生成整个p限。

以下是常用形式音差：
{| class="wikitable"
|+
!质数
!形式音差
|-
|5
|80/81
|-
|7
|63/64
|-
|11
|33/32
|-
|13
|1053/1024
|-
|17
|4131/4096
|-
|19
|513/512
|}

== 纯律音程的表示 ==

给定纯律音程<math>q=2^{a_2}3^{a_3}5^{a_5}\cdots p^{a_p}</math>，假设<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>是<math>q</math>的FJS表示法，那么<math>a_5=b_5, a_7=b_7, \cdots a_p=b_p</math>. 用这种方式可以计算形式音差的数量和幂次，剩余的部分<math>d</math>就是3限音程（<math>d</math>未必等于<math>2^{a_2}3^{a_3}</math>）。

如果q可以写成<math>q=2^{a_2}3^{a_3}p^{a_p}</math>的形式，q[[超3限简单音程的命名|在一定条件下]]可以称为“p纯音程”。

== 作品 ==
; 丰川卅三
* [https://www.bilibili.com/video/BV1SHepedE3h ''致敬简约音乐元老'']

; M1k1_H2tsun2
* [https://www.bilibili.com/video/BV1Jgvve2EXj ''泛音列 (从基础音至第30泛音), 但是是Electric Piano'']
* [https://www.bilibili.com/video/BV1M5411v7aq ''Helmholtz-Ellis 和 Ben Johnston 以及 FJS 这三种不同纯律记谱之间的对比'']

== 另见 ==
* [[矢状记谱法]]

* [[https://misotanni.github.io/fjs/en/index.html | FJS介绍]]

* [[https://www.yacavone.net/xen-calc/ | FJS计算器]]

== 参考 ==

<references/>
[[Category:记谱法]]

3限纯律

2026-04-11T08:10:20Z

Null：/* 增、减音程 */

'''3限纯律''' 由分子和分母为质数2和3的任意次乘积的[[纯律]][[音程]]组成，如[[3/2]], [[16/9]]. 3限纯律音程的一般形式为<math>2^a3^b</math>, 其中a, b为整数。

== 历史 ==
先秦时期的《管子·地员篇》记载了三分损益律：取一段弦“三分损一”（均分弦为三段，舍一留二）便得到 3/2f（f为弦的原频率），三分益一（弦均分三段后再加一段）便得到 3/4f. 这种生律方式得到的是3限纯律的子集：<math>\{2^a3^b\}</math>, 其中a为整数，b为'''非负'''整数。

公元前6世纪的古希腊哲学家、科学家毕达哥拉斯提出2/1, 3/2, 4/3为协和音程，将3/2作为生律要素，产生的律制即为3限纯律。

== 延拓 ==
3限纯律[[延拓]]成更大[[子群]]的调律时，其[[周期]]仍然为2/1, 其[[生程]]仍然为3/2, 因此延拓的结果可以不严谨地称为“五度相生律”。以下是3限纯律的延拓：

* [[2.3.5/(81/80)]]

* [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]

== 3限纯律音程的七声音阶名称 ==

=== 纯、大、小音程 ===

这张表可以根据2/1周期，3/2生程的5L2s [[MOS音阶]]推出。

{| class="wikitable"
|+
!音程
!名称
|-
|1/1
|纯一度
|-
|256/243
|小二度
|-
|9/8
|大二度
|-
|32/27
|小三度
|-
|81/64
|大三度
|-
|4/3
|纯四度
|-
|3/2
|纯五度
|-
|128/81
|小六度
|-
|27/16
|大六度
|-
|16/9
|小七度
|-
|243/128
|大七度
|-
|2/1
|纯八度
|}

=== 增、减音程 ===

* 若x是大音程或纯音程，x*(2187/2048)称为增(x的名称)；x*(2187/2048)²称为倍增(x的名称)，x*(2187/2048)³称为3倍增(x的名称)，以此类推。
* 若x是小音程或纯音程，x/(2187/2048)称为减(x的名称)；x/(2187/2048)²称为倍减(x的名称)，x/(2187/2048)³称为3倍减(x的名称)，以此类推。

'''例'''：减二度 = 256/243 / (2187/2048) = 524288/531441，是反向的12[[点差]]。

=== 复音程 ===
音程x乘以2，得到的音程叫复(x名称)；以上任一音程乘以4则是双复(x的名称)，乘以8则是三复(x的名称)，以此类推。

'''例'''：3/1是复五度，9/1是三复大二度。

=== 尚未解决的情况 ===
上面的命名法不能涵盖所有的3限音程，如12倍增一度减去一个八度的音程无法命名。这是因为音程x除以2并没有名称。

== 调制 ==
3限纯律的任何[[调制]]都会产生平均律，如[[12ed2]]. 反之，任何3的[[步数]]与2的步数互质的平均律都是3限纯律的调制。

[[Category:律制]]

3限纯律

2026-04-11T08:10:08Z

Null：/* 增、减音程 */

'''3限纯律''' 由分子和分母为质数2和3的任意次乘积的[[纯律]][[音程]]组成，如[[3/2]], [[16/9]]. 3限纯律音程的一般形式为<math>2^a3^b</math>, 其中a, b为整数。

== 历史 ==
先秦时期的《管子·地员篇》记载了三分损益律：取一段弦“三分损一”（均分弦为三段，舍一留二）便得到 3/2f（f为弦的原频率），三分益一（弦均分三段后再加一段）便得到 3/4f. 这种生律方式得到的是3限纯律的子集：<math>\{2^a3^b\}</math>, 其中a为整数，b为'''非负'''整数。

公元前6世纪的古希腊哲学家、科学家毕达哥拉斯提出2/1, 3/2, 4/3为协和音程，将3/2作为生律要素，产生的律制即为3限纯律。

== 延拓 ==
3限纯律[[延拓]]成更大[[子群]]的调律时，其[[周期]]仍然为2/1, 其[[生程]]仍然为3/2, 因此延拓的结果可以不严谨地称为“五度相生律”。以下是3限纯律的延拓：

* [[2.3.5/(81/80)]]

* [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]

== 3限纯律音程的七声音阶名称 ==

=== 纯、大、小音程 ===

这张表可以根据2/1周期，3/2生程的5L2s [[MOS音阶]]推出。

{| class="wikitable"
|+
!音程
!名称
|-
|1/1
|纯一度
|-
|256/243
|小二度
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|小三度
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|大三度
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|纯四度
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|纯五度
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|大六度
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|16/9
|小七度
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|大七度
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|纯八度
|}

=== 增、减音程 ===

* 若x是大音程或纯音程，x*(2187/2048)称为增(x的名称)；x*(2187/2048)²称为倍增(x的名称)，x*(2187/2048)³称为3倍增(x的名称)，以此类推。
* 若x是小音程或减音程，x/(2187/2048)称为减(x的名称)；x/(2187/2048)²称为倍减(x的名称)，x/(2187/2048)³称为3倍减(x的名称)，以此类推。

'''例'''：减二度 = 256/243 / (2187/2048) = 524288/531441，是反向的12[[点差]]。

=== 复音程 ===
音程x乘以2，得到的音程叫复(x名称)；以上任一音程乘以4则是双复(x的名称)，乘以8则是三复(x的名称)，以此类推。

'''例'''：3/1是复五度，9/1是三复大二度。

=== 尚未解决的情况 ===
上面的命名法不能涵盖所有的3限音程，如12倍增一度减去一个八度的音程无法命名。这是因为音程x除以2并没有名称。

== 调制 ==
3限纯律的任何[[调制]]都会产生平均律，如[[12ed2]]. 反之，任何3的[[步数]]与2的步数互质的平均律都是3限纯律的调制。

[[Category:律制]]

3限纯律

2026-04-11T08:09:48Z

Null：/* 3限纯律音程的七声音阶名称 */

'''3限纯律''' 由分子和分母为质数2和3的任意次乘积的[[纯律]][[音程]]组成，如[[3/2]], [[16/9]]. 3限纯律音程的一般形式为<math>2^a3^b</math>, 其中a, b为整数。

== 历史 ==
先秦时期的《管子·地员篇》记载了三分损益律：取一段弦“三分损一”（均分弦为三段，舍一留二）便得到 3/2f（f为弦的原频率），三分益一（弦均分三段后再加一段）便得到 3/4f. 这种生律方式得到的是3限纯律的子集：<math>\{2^a3^b\}</math>, 其中a为整数，b为'''非负'''整数。

公元前6世纪的古希腊哲学家、科学家毕达哥拉斯提出2/1, 3/2, 4/3为协和音程，将3/2作为生律要素，产生的律制即为3限纯律。

== 延拓 ==
3限纯律[[延拓]]成更大[[子群]]的调律时，其[[周期]]仍然为2/1, 其[[生程]]仍然为3/2, 因此延拓的结果可以不严谨地称为“五度相生律”。以下是3限纯律的延拓：

* [[2.3.5/(81/80)]]

* [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]

== 3限纯律音程的七声音阶名称 ==

=== 纯、大、小音程 ===

这张表可以根据2/1周期，3/2生程的5L2s [[MOS音阶]]推出。

{| class="wikitable"
|+
!音程
!名称
|-
|1/1
|纯一度
|-
|256/243
|小二度
|-
|9/8
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|小三度
|-
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|大三度
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|纯四度
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|纯五度
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|小六度
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|大六度
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|16/9
|小七度
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|大七度
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|2/1
|纯八度
|}

=== 增、减音程 ===

* 若x是大音程或纯音程，x*(2187/2048)称为增(x的名称)；x*(2187/2048)²称为倍增(x的名称)，x*(2187/2048)³称为倍倍增(x的名称)，以此类推。
* 若x是小音程或减音程，x/(2187/2048)称为减(x的名称)；x/(2187/2048)²称为倍减(x的名称)，x/(2187/2048)³称为倍倍减(x的名称)，以此类推。

'''例'''：减二度 = 256/243 / (2187/2048) = 524288/531441，是反向的12[[点差]]。

=== 复音程 ===
音程x乘以2，得到的音程叫复(x名称)；以上任一音程乘以4则是双复(x的名称)，乘以8则是三复(x的名称)，以此类推。

'''例'''：3/1是复五度，9/1是三复大二度。

=== 尚未解决的情况 ===
上面的命名法不能涵盖所有的3限音程，如12倍增一度减去一个八度的音程无法命名。这是因为音程x除以2并没有名称。

== 调制 ==
3限纯律的任何[[调制]]都会产生平均律，如[[12ed2]]. 反之，任何3的[[步数]]与2的步数互质的平均律都是3限纯律的调制。

[[Category:律制]]

超3限简单音程的命名

2026-04-11T08:07:22Z

Null：

若纯律音程y可化为<math>\frac{2^{n}}{3^{m}} \times (2.3.p</math>子群的[[FJS记谱法#形式音差|形式音差]]<math>)^{x}</math>的形式，其中n,m皆为整数，x为非0整数，且x的值取其它非0整数时会使得整个式子的[[Tenney norm]]更大，那么此时y被称为p纯（<math>\frac{2^{n}}{3^{m}}</math>所对应的[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称|名称]]）。

== 例子 ==
81/80为5纯纯一度，5/4为5纯大三度，6/5为5纯小三度，7/4为7纯小七度，7/6为7纯小三度，11/9为11纯小三度。

= 未完成 =
添加含多个超3限谐波子群的拓展

FJS记谱法

2026-04-11T08:07:03Z

Null：

3限纯律

2026-04-11T08:06:19Z

Null：/* 纯、大、小音程 */

'''3限纯律''' 由分子和分母为质数2和3的任意次乘积的[[纯律]][[音程]]组成，如[[3/2]], [[16/9]]. 3限纯律音程的一般形式为<math>2^a3^b</math>, 其中a, b为整数。

== 历史 ==
先秦时期的《管子·地员篇》记载了三分损益律：取一段弦“三分损一”（均分弦为三段，舍一留二）便得到 3/2f（f为弦的原频率），三分益一（弦均分三段后再加一段）便得到 3/4f. 这种生律方式得到的是3限纯律的子集：<math>\{2^a3^b\}</math>, 其中a为整数，b为'''非负'''整数。

公元前6世纪的古希腊哲学家、科学家毕达哥拉斯提出2/1, 3/2, 4/3为协和音程，将3/2作为生律要素，产生的律制即为3限纯律。

== 延拓 ==
3限纯律[[延拓]]成更大[[子群]]的调律时，其[[周期]]仍然为2/1, 其[[生程]]仍然为3/2, 因此延拓的结果可以不严谨地称为“五度相生律”。以下是3限纯律的延拓：

* [[2.3.5/(81/80)]]

* [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]

== 3限纯律音程的七声音阶名称 ==

=== 纯、大、小音程 ===

这张表可以根据2/1周期，3/2生程的5L2s [[MOS音阶]]推出。

{| class="wikitable"
|+
!音程
!名称
|-
|1/1
|纯一度
|-
|256/243
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|-
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|-
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|小三度
|-
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|大三度
|-
|4/3
|纯四度
|-
|3/2
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|-
|128/81
|小六度
|-
|27/16
|大六度
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|16/9
|小七度
|-
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|纯八度
|}

=== 增、减音程 ===

* 若x是大音程或纯音程，x*(2187/2048)称为增(x的名称)；x*(2187/2048)²称为倍增(x的名称)，x*(2187/2048)³称为倍倍增(x的名称)，以此类推。
* 若x是小音程或减音程，x/(2187/2048)称为减(x的名称)；x/(2187/2048)²称为倍减(x的名称)，x/(2187/2048)³称为倍倍减(x的名称)，以此类推。

'''例'''：减二度 = 256/243 / (2187/2048) = 524288/531441，是反向的12[[点差]]。

=== 复音程 ===
音程x乘以2，得到的音程叫复(x名称)；以上任一音程乘以4则是双复(x的名称)，乘以8则是三复(x的名称)，以此类推。

'''例'''：3/1是复五度，9/1是三复大二度。

== 调制 ==
3限纯律的任何[[调制]]都会产生平均律，如[[12ed2]]. 反之，任何3的[[步数]]与2的步数互质的平均律都是3限纯律的调制。

[[Category:律制]]

3限纯律

2026-04-11T08:06:12Z

Null：

'''3限纯律''' 由分子和分母为质数2和3的任意次乘积的[[纯律]][[音程]]组成，如[[3/2]], [[16/9]]. 3限纯律音程的一般形式为<math>2^a3^b</math>, 其中a, b为整数。

== 历史 ==
先秦时期的《管子·地员篇》记载了三分损益律：取一段弦“三分损一”（均分弦为三段，舍一留二）便得到 3/2f（f为弦的原频率），三分益一（弦均分三段后再加一段）便得到 3/4f. 这种生律方式得到的是3限纯律的子集：<math>\{2^a3^b\}</math>, 其中a为整数，b为'''非负'''整数。

公元前6世纪的古希腊哲学家、科学家毕达哥拉斯提出2/1, 3/2, 4/3为协和音程，将3/2作为生律要素，产生的律制即为3限纯律。

== 延拓 ==
3限纯律[[延拓]]成更大[[子群]]的调律时，其[[周期]]仍然为2/1, 其[[生程]]仍然为3/2, 因此延拓的结果可以不严谨地称为“五度相生律”。以下是3限纯律的延拓：

* [[2.3.5/(81/80)]]

* [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]

== 3限纯律音程的七声音阶名称 ==

=== 纯、大、小音程 ===

这张表可以根据2/1周期，3/2生程的5L2s[[MOS音阶]]推出。

{| class="wikitable"
|+
!音程
!名称
|-
|1/1
|纯一度
|-
|256/243
|小二度
|-
|9/8
|大二度
|-
|32/27
|小三度
|-
|81/64
|大三度
|-
|4/3
|纯四度
|-
|3/2
|纯五度
|-
|128/81
|小六度
|-
|27/16
|大六度
|-
|16/9
|小七度
|-
|243/128
|大七度
|-
|2/1
|纯八度
|}

=== 增、减音程 ===

* 若x是大音程或纯音程，x*(2187/2048)称为增(x的名称)；x*(2187/2048)²称为倍增(x的名称)，x*(2187/2048)³称为倍倍增(x的名称)，以此类推。
* 若x是小音程或减音程，x/(2187/2048)称为减(x的名称)；x/(2187/2048)²称为倍减(x的名称)，x/(2187/2048)³称为倍倍减(x的名称)，以此类推。

'''例'''：减二度 = 256/243 / (2187/2048) = 524288/531441，是反向的12[[点差]]。

=== 复音程 ===
音程x乘以2，得到的音程叫复(x名称)；以上任一音程乘以4则是双复(x的名称)，乘以8则是三复(x的名称)，以此类推。

'''例'''：3/1是复五度，9/1是三复大二度。

== 调制 ==
3限纯律的任何[[调制]]都会产生平均律，如[[12ed2]]. 反之，任何3的[[步数]]与2的步数互质的平均律都是3限纯律的调制。

[[Category:律制]]

超3限简单音程的命名

2026-04-11T07:54:43Z

Null：

若纯律音程y可化为<math>\frac{2^{n}}{3^{m}} \times (2.3.p</math>子群的[[FJS记谱法#形式音差|形式音差]]<math>)^{x}</math>的形式，其中n,m皆为整数，x为非0整数，且x的值取其它非0整数时会使得整个式子的[[Tenney norm]]更大，那么此时y被称为p纯（<math>\frac{2^{n}}{3^{m}}</math>所对应的[[3限纯律|3限]]名称）。

== 例子 ==
81/80为5纯纯一度，5/4为5纯大三度，6/5为5纯小三度，7/4为7纯小七度，7/6为7纯小三度，11/9为11纯小三度。

= 未完成 =
添加含多个超3限谐波子群的拓展

超3限简单音程的命名

2026-04-11T07:54:32Z

Null：

若纯律音程y可化为<math>\frac{2^{n}}{3^{m}} \times (2.3.p</math>子群的[[FJS记谱法#形式音差|形式音差]]<math>)^{x}</math>的形式，其中n,m皆为整数，x为非0整数，且x的值取其它非0整数时会使得整个式子的[[Tenney norm]]更大，那么此时y被称为p纯（<math>\frac{2^{n}}{3^{m}}</math>所对应的[[3限纯律|3限]]名称<math>)</math>）。

== 例子 ==
81/80为5纯纯一度，5/4为5纯大三度，6/5为5纯小三度，7/4为7纯小七度，7/6为7纯小三度，11/9为11纯小三度。

= 未完成 =
添加含多个超3限谐波子群的拓展

超3限简单音程的命名

2026-04-11T07:54:10Z

Null：

若纯律音程y可化为<math>\frac{2^{n}}{3^{m}} \times (2.3.p</math>子群的[[FJS记谱法#形式音差|形式音差]]<math>)^{x}</math>的形式，其中n,m皆为整数，x为非0整数，且x的值取其它非0整数时会使得整个式子的[[Tenney norm]]更大，那么此时y被称为p纯（<math>\frac{2^{n}}{3^{m}}</math>所对应的[[3限纯律|3限]]<math>名称}</math>）。

== 例子 ==
81/80为5纯纯一度，5/4为5纯大三度，6/5为5纯小三度，7/4为7纯小七度，7/6为7纯小三度，11/9为11纯小三度。

= 未完成 =
添加含多个超3限谐波子群的拓展

FJS记谱法

2026-04-11T07:52:15Z

Null：/* 纯律音程的表示 */

'''FJS记谱法''' （Functional Just System）是一种用于[[纯律]]的记谱法，它将纯律音程<math>q</math>分成<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>，其中<math>d</math>是[[3限纯律]]音程，<math>r_5, r_7, r_{11}\cdots</math>等分别是5, 7, 11...质数的形式音差（下文有介绍），<math>b_5, b_7, \cdots b_p</math>为整数，p为q的[[谐波限]]。3限纯律音程<math>d</math>可以用标准的写法写在五线谱上，而标记形式音差则需要用特殊记号，比如上标5 (<math>\phantom{1}^5</math>)代表80/81，或者上标5代表81/80，等等。形式音差的特殊记号没有统一的写法，作曲家可以根据书写乐谱的需要自己定义形式音差的特殊记号。

== 形式音差 ==
给定质数p，形式音差是一个形如<math>p2^m3^n</math>的音程。考虑所有可能的m,n的全体：<math>\{(m,n) : 63/65 < p2^m3^n < 65/63 \}</math> (这里65/63来自misotanni的原始文献<ref> [https://misotanni.github.io/fjs/en/rules.html 原始文献]</ref>)，假设元素(m,n)使得n的绝对值最小，那么<math>p2^m3^n</math>就是所求的形式音差。若<math>(m_+,n)</math>和<math>(m_-,-n)</math> (n>0)都满足以上要求，那么取<math>p2^{m_+}3^n</math>作为形式音差。

'''例'''：考虑p=5的形式音差。n=0, 1, -1, 2, -2, 3, -3时，<math>p2^m3^n</math>都不在区间(63/65, 65/63)内，而n=-4时，80/81在区间(63/65, 65/63)内，因此5限形式音差是80/81.

假设一首纯律音乐是p[[谐波限|限]]的，用FJS表示这首音乐，只需要计算不超过p的质数的形式音差。这是因为不超过p的质数的形式音差和音程2/1, 3/1可以生成整个p限。

以下是常用形式音差：
{| class="wikitable"
|+
!质数
!形式音差
|-
|5
|80/81
|-
|7
|63/64
|-
|11
|33/32
|-
|13
|1053/1024
|-
|17
|4131/4096
|-
|19
|513/512
|}

== 纯律音程的表示 ==

给定纯律音程<math>q=2^{a_2}3^{a_3}5^{a_5}\cdots p^{a_p}</math>，假设<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>是<math>q</math>的FJS表示法，那么<math>a_5=b_5, a_7=b_7, \cdots a_p=b_p</math>. 用这种方式可以计算形式音差的数量和幂次，剩余的部分<math>d</math>就是3限音程（<math>d</math>未必等于<math>2^{a_2}3^{a_3}</math>）。

如果q可以写成<math>q=2^{a_2}3^{a_3}p^{a_p}</math>的形式，q[[超3限简单音程的命名|在一定条件下]]可以称为“p纯音程”。

== 作品 ==
; 丰川卅三
* [https://www.bilibili.com/video/BV1SHepedE3h ''致敬简约音乐元老'']

; M1k1_H2tsun2
* [https://www.bilibili.com/video/BV1Jgvve2EXj ''泛音列 (从基础音至第30泛音), 但是是Electric Piano'']
* [https://www.bilibili.com/video/BV1M5411v7aq ''Helmholtz-Ellis 和 Ben Johnston 以及 FJS 这三种不同纯律记谱之间的对比'']

== 另见 ==
* [[矢状记谱法]]

== 参考 ==

<references/>
[[Category:记谱法]]

首页

2026-04-11T07:44:17Z

Null：/* 七、调律与调音 */

== 欢迎来到律学维基！ ==
律学维基是一个开放的、协作的音乐律学知识库与调谐系统指南。我们致力于系统化地梳理与呈现人类音乐中丰富多彩的音高组织智慧。

我们的涵盖范围包括：

* 理论体系：从[[纯律]]、[[五度相生律]]到[[12ed2|十二平均律]]及现代微分音理论。
* 历史实践：深入挖掘西方古乐调律，如[[2.3.5/(81/80)|中庸全音律（meantone）]]、瓦洛蒂调律等。
* 全球传统：印度拉格、波斯-阿拉伯玛卡姆、中国琴律、印尼甘美兰调律等。
* 实际应用：提供律制对比音频、乐器调音指南，并探讨其在当代创作、演奏与数字音乐中的实践。

无论您是学者、音乐家、制琴师，还是纯粹好奇的爱好者，律学维基都邀请您一同探索、聆听并参与构建这个关于音高宇宙的公共知识宝藏。

== 初学者页面 ==
你是否曾好奇，为什么有些音符组合起来悦耳和谐，有些却略显紧张？为什么不同的乐器调音方式会塑造出截然不同的音乐色彩？答案，就藏在音律学之中。

音律学是音乐背后的“数学与密码”，它研究我们如何定义、划分和组织音高。它不像乐理那样直接教你写旋律，而是为你揭示声音之所以成为音乐的根本法则——从物理振动到听觉感知，从古希腊到全球各地，人类如何用智慧“雕刻”出千变万化的音高体系。

这个初学者页面是你探索旅程的第一张地图。我们将从最核心的概念出发，循序渐进地搭建理解框架：

==== 一、声音与音高基础 ====

# [[乐音]] (Musical Tone)
# 音高 (Pitch)
# 音符 (Note) 与音符命名系统
# 标准音高 (A4 = 440 Hz)

==== 二、频率与音程 ====

# 频率比与音程 (Interval)
# 上行音程、下行音程与完全一度
# 音程的[[转位]]关系

==== 三、八度等价与音高组织 ====

# 八度等价 (Octave Equivalence) ''注：此处特指“八度平均划分”体系下的等价关系''
# 等价类 (Equivalence Class) 概念
# 音符类 (Note Class)

==== 四、泛音与沉音 ====

# [[泛音列]] (Harmonic Series)
# [[沉音列]] (Undertone series)

==== 五、音分系统 ====

# [[音分]] (Cent) 的定义以及推导
# 音程单位转换与对数关系

==== 六、音阶与律制入门 ====

# [[音阶]]的一般理论
# [[MOS]]音阶
# [[矢状记谱法]]（[[矢状记谱法|sagittal notation]]）
# [[FJS记谱法]]
# 律制系统概述
#* [[五度相生律]]
#* [[5限纯律]]
#* [[平均律]]
# 音差概念
#* 毕达哥拉斯音差（[[531441/524288]]）
#* 合音差（[[81/80]]）
#* [[间差]]
#* [[点差]]

==== 七、调律与调音 ====
# [[规则调律理论]]
# [[音程复杂度]]
# [[最优调音]]

==== 八、常见错误观点 ====

# [[常见错误观点]]

== 音程 ==
[[5/4]]

[[7/6]]

[[8/7]]

[[81/80]]

[[225/224]]

[[4375/4374]]

== 律制 ==
[[3限纯律]]

[[12ed2]]

[[31ed2]]

[[53ed2]]

[[2.3.5/(81/80)]]

[[2.3.5.7/(81/80,225/224)]]

[[2.3.7/(1029/1024)]]

[[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]

== 术语 ==
[[me/ie]]

[[超3限简单音程的命名]]

[[X分Y差]]

[[和弦]]

[[负和声]]

[[对称和弦]]

[[谐波限]]

[[平移]]

[[和声熵]]

== 和弦 ==
[[5限和弦]]

[[7限和弦]]

== 音阶 ==

[[音阶]]

[[中立音]]

== 记谱法 ==
[[半整数升降]]

== 精度 ==
[[平均律误差]]

[[Zeta调律]]

== 乐器 ==

[https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%8F%B7/1474939 自然号]

== 音乐 ==

[https://www.bilibili.com/video/BV1bgsdznEKR/ 在林中]

[https://musescore.com/user/10794916/scores/6240657 Nokia Arabic Ringtone]

== 入门 ==
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Configuration_settings MediaWiki配置设置列表]
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ/zh-hans MediaWiki常见问题]
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2026-04-11T07:44:11Z

Null：/* 初学者页面 */

FJS记谱法

2026-04-11T07:39:40Z

Null：/* 形式音差 */

'''FJS记谱法''' （Functional Just System）是一种用于[[纯律]]的记谱法，它将纯律音程<math>q</math>分成<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>，其中<math>d</math>是[[3限纯律]]音程，<math>r_5, r_7, r_{11}\cdots</math>等分别是5, 7, 11...质数的形式音差（下文有介绍），<math>b_5, b_7, \cdots b_p</math>为整数，p为q的[[谐波限]]。3限纯律音程<math>d</math>可以用标准的写法写在五线谱上，而标记形式音差则需要用特殊记号，比如上标5 (<math>\phantom{1}^5</math>)代表80/81，或者上标5代表81/80，等等。形式音差的特殊记号没有统一的写法，作曲家可以根据书写乐谱的需要自己定义形式音差的特殊记号。

== 形式音差 ==
给定质数p，形式音差是一个形如<math>p2^m3^n</math>的音程。考虑所有可能的m,n的全体：<math>\{(m,n) : 63/65 < p2^m3^n < 65/63 \}</math> (这里65/63来自misotanni的原始文献<ref> [https://misotanni.github.io/fjs/en/rules.html 原始文献]</ref>)，假设元素(m,n)使得n的绝对值最小，那么<math>p2^m3^n</math>就是所求的形式音差。若<math>(m_+,n)</math>和<math>(m_-,-n)</math> (n>0)都满足以上要求，那么取<math>p2^{m_+}3^n</math>作为形式音差。

'''例'''：考虑p=5的形式音差。n=0, 1, -1, 2, -2, 3, -3时，<math>p2^m3^n</math>都不在区间(63/65, 65/63)内，而n=-4时，80/81在区间(63/65, 65/63)内，因此5限形式音差是80/81.

假设一首纯律音乐是p[[谐波限|限]]的，用FJS表示这首音乐，只需要计算不超过p的质数的形式音差。这是因为不超过p的质数的形式音差和音程2/1, 3/1可以生成整个p限。

以下是常用形式音差：
{| class="wikitable"
|+
!质数
!形式音差
|-
|5
|80/81
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|63/64
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|33/32
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|1053/1024
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|4131/4096
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|19
|513/512
|}

== 纯律音程的表示 ==

给定纯律音程<math>q=2^{a_2}3^{a_3}5^{a_5}\cdots p^{a_p}</math>，假设<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>是<math>q</math>的FJS表示法，那么<math>a_5=b_5, a_7=b_7, \cdots a_p=b_p</math>. 用这种方式可以计算形式音差的数量和幂次，剩余的部分<math>d</math>就是3限音程（<math>d</math>未必等于<math>2^{a_2}3^{a_3}</math>）。

== 作品 ==
; 丰川卅三
* [https://www.bilibili.com/video/BV1SHepedE3h ''致敬简约音乐元老'']

; M1k1_H2tsun2
* [https://www.bilibili.com/video/BV1Jgvve2EXj ''泛音列 (从基础音至第30泛音), 但是是Electric Piano'']
* [https://www.bilibili.com/video/BV1M5411v7aq ''Helmholtz-Ellis 和 Ben Johnston 以及 FJS 这三种不同纯律记谱之间的对比'']

== 另见 ==
* [[矢状记谱法]]

== 参考 ==

<references/>
[[Category:记谱法]]

FJS记谱法

2026-04-11T07:39:30Z

Null：/* 形式音差 */

'''FJS记谱法''' （Functional Just System）是一种用于[[纯律]]的记谱法，它将纯律音程<math>q</math>分成<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>，其中<math>d</math>是[[3限纯律]]音程，<math>r_5, r_7, r_{11}\cdots</math>等分别是5, 7, 11...质数的形式音差（下文有介绍），<math>b_5, b_7, \cdots b_p</math>为整数，p为q的[[谐波限]]。3限纯律音程<math>d</math>可以用标准的写法写在五线谱上，而标记形式音差则需要用特殊记号，比如上标5 (<math>\phantom{1}^5</math>)代表80/81，或者上标5代表81/80，等等。形式音差的特殊记号没有统一的写法，作曲家可以根据书写乐谱的需要自己定义形式音差的特殊记号。

== 形式音差 ==
给定质数p，形式音差是一个形如<math>p2^m3^n</math>的音程。考虑所有可能的m,n的全体：<math>\{(m,n) : 63/65 < p2^m3^n < 65/63 \}</math> (这里65/63来自misotanni的原始文献<ref> [https://misotanni.github.io/fjs/en/rules.html 原始文献]</ref>)，假设元素(m,n)使得n的绝对值最小，那么<math>p2^m3^n</math>就是所求的形式音差。若<math>(m_+,n)</math>和<math>(m_-,-n)</math> (n>0)都满足以上要求，那么取<math>p2^{m_+}3^n</math>作为形式音差。

'''例'''：考虑p=5的形式音差。n=0, 1, -1, 2, -2, 3, -3时，<math>p2^m3^n</math>都不在区间(63/65, 65/63)内，而n=-4时，80/81在区间(63/65，65/63)内，因此5限形式音差是80/81.

假设一首纯律音乐是p[[谐波限|限]]的，用FJS表示这首音乐，只需要计算不超过p的质数的形式音差。这是因为不超过p的质数的形式音差和音程2/1, 3/1可以生成整个p限。

以下是常用形式音差：
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== 纯律音程的表示 ==

给定纯律音程<math>q=2^{a_2}3^{a_3}5^{a_5}\cdots p^{a_p}</math>，假设<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>是<math>q</math>的FJS表示法，那么<math>a_5=b_5, a_7=b_7, \cdots a_p=b_p</math>. 用这种方式可以计算形式音差的数量和幂次，剩余的部分<math>d</math>就是3限音程（<math>d</math>未必等于<math>2^{a_2}3^{a_3}</math>）。

== 作品 ==
; 丰川卅三
* [https://www.bilibili.com/video/BV1SHepedE3h ''致敬简约音乐元老'']

; M1k1_H2tsun2
* [https://www.bilibili.com/video/BV1Jgvve2EXj ''泛音列 (从基础音至第30泛音), 但是是Electric Piano'']
* [https://www.bilibili.com/video/BV1M5411v7aq ''Helmholtz-Ellis 和 Ben Johnston 以及 FJS 这三种不同纯律记谱之间的对比'']

== 另见 ==
* [[矢状记谱法]]

== 参考 ==

<references/>
[[Category:记谱法]]

FJS记谱法

2026-04-11T07:37:30Z

Null：/* 视频 */

'''FJS记谱法''' （Functional Just System）是一种用于[[纯律]]的记谱法，它将纯律音程<math>q</math>分成<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>，其中<math>d</math>是[[3限纯律]]音程，<math>r_5, r_7, r_{11}\cdots</math>等分别是5, 7, 11...质数的形式音差（下文有介绍），<math>b_5, b_7, \cdots b_p</math>为整数，p为q的[[谐波限]]。3限纯律音程<math>d</math>可以用标准的写法写在五线谱上，而标记形式音差则需要用特殊记号，比如上标5 (<math>\phantom{1}^5</math>)代表80/81，或者上标5代表81/80，等等。形式音差的特殊记号没有统一的写法，作曲家可以根据书写乐谱的需要自己定义形式音差的特殊记号。

== 形式音差 ==
给定质数p，形式音差是一个形如<math>p2^m3^n</math>的音程。考虑所有可能的m,n的全体：<math>\{(m,n) : 63/65 < p2^m3^n < 65/63 \}</math> (这里65/63来自misotanni的原始文献<ref> [https://misotanni.github.io/fjs/en/rules.html 原始文献]</ref>)，假设元素(m,n)使得n的绝对值最小，那么<math>p2^m3^n</math>就是所求的形式音差。若<math>(m_+,n)</math>和<math>(m_-,-n)</math> (n>0)都满足以上要求，那么取<math>p2^{m_+}3^n</math>作为形式音差。

'''例'''：考虑p=5的形式音差。n=0，1，-1，2，-2，3，-3时，<math>p2^m3^n</math>都不在区间(63/65, 65/63)内，而n=-4时，80/81在区间(63/65，65/63)内，因此5限形式音差是80/81.

假设一首纯律音乐是p[[谐波限|限]]的，用FJS表示这首音乐，只需要计算不超过p的质数的形式音差。这是因为不超过p的质数的形式音差和音程2/1, 3/1可以生成整个p限。

以下是常用形式音差：
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== 纯律音程的表示 ==

给定纯律音程<math>q=2^{a_2}3^{a_3}5^{a_5}\cdots p^{a_p}</math>，假设<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>是<math>q</math>的FJS表示法，那么<math>a_5=b_5, a_7=b_7, \cdots a_p=b_p</math>. 用这种方式可以计算形式音差的数量和幂次，剩余的部分<math>d</math>就是3限音程（<math>d</math>未必等于<math>2^{a_2}3^{a_3}</math>）。

== 作品 ==
; 丰川卅三
* [https://www.bilibili.com/video/BV1SHepedE3h ''致敬简约音乐元老'']

; M1k1_H2tsun2
* [https://www.bilibili.com/video/BV1Jgvve2EXj ''泛音列 (从基础音至第30泛音), 但是是Electric Piano'']
* [https://www.bilibili.com/video/BV1M5411v7aq ''Helmholtz-Ellis 和 Ben Johnston 以及 FJS 这三种不同纯律记谱之间的对比'']

== 另见 ==
* [[矢状记谱法]]

== 参考 ==

<references/>
[[Category:记谱法]]

FJS记谱法

2026-04-11T07:37:08Z

Null：

'''FJS记谱法''' （Functional Just System）是一种用于[[纯律]]的记谱法，它将纯律音程<math>q</math>分成<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>，其中<math>d</math>是[[3限纯律]]音程，<math>r_5, r_7, r_{11}\cdots</math>等分别是5, 7, 11...质数的形式音差（下文有介绍），<math>b_5, b_7, \cdots b_p</math>为整数，p为q的[[谐波限]]。3限纯律音程<math>d</math>可以用标准的写法写在五线谱上，而标记形式音差则需要用特殊记号，比如上标5 (<math>\phantom{1}^5</math>)代表80/81，或者上标5代表81/80，等等。形式音差的特殊记号没有统一的写法，作曲家可以根据书写乐谱的需要自己定义形式音差的特殊记号。

== 形式音差 ==
给定质数p，形式音差是一个形如<math>p2^m3^n</math>的音程。考虑所有可能的m,n的全体：<math>\{(m,n) : 63/65 < p2^m3^n < 65/63 \}</math> (这里65/63来自misotanni的原始文献<ref> [https://misotanni.github.io/fjs/en/rules.html 原始文献]</ref>)，假设元素(m,n)使得n的绝对值最小，那么<math>p2^m3^n</math>就是所求的形式音差。若<math>(m_+,n)</math>和<math>(m_-,-n)</math> (n>0)都满足以上要求，那么取<math>p2^{m_+}3^n</math>作为形式音差。

'''例'''：考虑p=5的形式音差。n=0，1，-1，2，-2，3，-3时，<math>p2^m3^n</math>都不在区间(63/65, 65/63)内，而n=-4时，80/81在区间(63/65，65/63)内，因此5限形式音差是80/81.

假设一首纯律音乐是p[[谐波限|限]]的，用FJS表示这首音乐，只需要计算不超过p的质数的形式音差。这是因为不超过p的质数的形式音差和音程2/1, 3/1可以生成整个p限。

以下是常用形式音差：
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== 纯律音程的表示 ==

给定纯律音程<math>q=2^{a_2}3^{a_3}5^{a_5}\cdots p^{a_p}</math>，假设<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>是<math>q</math>的FJS表示法，那么<math>a_5=b_5, a_7=b_7, \cdots a_p=b_p</math>. 用这种方式可以计算形式音差的数量和幂次，剩余的部分<math>d</math>就是3限音程（<math>d</math>未必等于<math>2^{a_2}3^{a_3}</math>）。

== 视频 ==
; 丰川卅三
* [https://www.bilibili.com/video/BV1SHepedE3h ''致敬简约音乐元老'']

; M1k1_H2tsun2
* [https://www.bilibili.com/video/BV1Jgvve2EXj ''泛音列 (从基础音至第30泛音), 但是是Electric Piano'']
* [https://www.bilibili.com/video/BV1M5411v7aq ''Helmholtz-Ellis 和 Ben Johnston 以及 FJS 这三种不同纯律记谱之间的对比'']

== 另见 ==
* [[矢状记谱法]]

== 参考 ==

<references/>
[[Category:记谱法]]

FJS记谱法

2026-04-11T07:36:21Z

Null：

'''FJS记谱法''' （Functional Just System）是一种用于[[纯律]]的记谱法，它将纯律音程<math>q</math>分成<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>，其中<math>d</math>是[[3限纯律]]音程，<math>r_5, r_7, r_{11}\cdots</math>等分别是5, 7, 11...质数的形式音差（下文有介绍），<math>b_5, b_7, \cdots b_p</math>为整数，p为q的[[谐波限]]。3限纯律音程<math>d</math>可以用标准的写法写在五线谱上，而标记形式音差则需要用特殊记号，比如上标5 (<math>\phantom{1}^5</math>)代表80/81，或者上标5代表81/80，等等。形式音差的特殊记号没有统一的写法，作曲家可以根据书写乐谱的需要自己定义形式音差的特殊记号。

== 形式音差 ==
给定质数p，形式音差是一个形如<math>p2^m3^n</math>的音程。考虑所有可能的m,n的全体：<math>\{(m,n) : 63/65 < p2^m3^n < 65/63 \}</math> (这里65/63来自misotanni的原始文献<ref> [https://misotanni.github.io/fjs/en/rules.html 原始文献]</ref>)，假设元素(m,n)使得n的绝对值最小，那么<math>p2^m3^n</math>就是所求的形式音差。若<math>(m_+,n)</math>和<math>(m_-,-n)</math> (n>0)都满足以上要求，那么取<math>p2^{m_+}3^n</math>作为形式音差。

'''例'''：考虑p=5的形式音差。n=0，1，-1，2，-2，3，-3时，<math>p2^m3^n</math>都不在区间(63/65, 65/63)内，而n=-4时，80/81在区间(63/65，65/63)内，因此5限形式音差是80/81.

假设一首纯律音乐是p[[谐波限|限]]的，用FJS表示这首音乐，只需要计算不超过p的质数的形式音差。这是因为不超过p的质数的形式音差和音程2/1, 3/1可以生成整个p限。

以下是常用形式音差：
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== 纯律音程的表示 ==

给定纯律音程<math>q=2^{a_2}3^{a_3}5^{a_5}\cdots p^{a_p}</math>，假设<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>是<math>q</math>的FJS表示法，那么<math>a_5=b_5, a_7=b_7, \cdots a_p=b_p</math>. 用这种方式可以计算形式音差的数量和幂次，剩余的部分<math>d</math>就是3限音程（<math>d</math>未必等于<math>2^{a_2}3^{a_3}</math>）。

== 视频 ==
; 丰川卅三
* [https://www.bilibili.com/video/BV1SHepedE3h ''致敬简约音乐元老'']

; M1k1_H2tsun2
* [https://www.bilibili.com/video/BV1Jgvve2EXj ''泛音列 (从基础音至第30泛音), 但是是Electric Piano'']
* [https://www.bilibili.com/video/BV1M5411v7aq ''Helmholtz-Ellis 和 Ben Johnston 以及 FJS 这三种不同纯律记谱之间的对比'']

== 参考 ==

<references/>
[[Category:记谱法]]

FJS记谱法

2026-04-11T07:35:57Z

Null：

'''FJS记谱法''' （Functional Just System）是一种记谱法，它将纯律音程<math>q</math>分成<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>，其中<math>d</math>是[[3限纯律]]音程，<math>r_5, r_7, r_{11}\cdots</math>等分别是5, 7, 11...质数的形式音差（下文有介绍），<math>b_5, b_7, \cdots b_p</math>为整数，p为q的[[谐波限]]。3限纯律音程<math>d</math>可以用标准的写法写在五线谱上，而标记形式音差则需要用特殊记号，比如上标5 (<math>\phantom{1}^5</math>)代表80/81，或者上标5代表81/80，等等。形式音差的特殊记号没有统一的写法，作曲家可以根据书写乐谱的需要自己定义形式音差的特殊记号。

== 形式音差 ==
给定质数p，形式音差是一个形如<math>p2^m3^n</math>的音程。考虑所有可能的m,n的全体：<math>\{(m,n) : 63/65 < p2^m3^n < 65/63 \}</math> (这里65/63来自misotanni的原始文献<ref> [https://misotanni.github.io/fjs/en/rules.html 原始文献]</ref>)，假设元素(m,n)使得n的绝对值最小，那么<math>p2^m3^n</math>就是所求的形式音差。若<math>(m_+,n)</math>和<math>(m_-,-n)</math> (n>0)都满足以上要求，那么取<math>p2^{m_+}3^n</math>作为形式音差。

'''例'''：考虑p=5的形式音差。n=0，1，-1，2，-2，3，-3时，<math>p2^m3^n</math>都不在区间(63/65, 65/63)内，而n=-4时，80/81在区间(63/65，65/63)内，因此5限形式音差是80/81.

假设一首纯律音乐是p[[谐波限|限]]的，用FJS表示这首音乐，只需要计算不超过p的质数的形式音差。这是因为不超过p的质数的形式音差和音程2/1, 3/1可以生成整个p限。

以下是常用形式音差：
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== 纯律音程的表示 ==

给定纯律音程<math>q=2^{a_2}3^{a_3}5^{a_5}\cdots p^{a_p}</math>，假设<math>q=dr_5^{b_5}r_7^{b_7}\cdots r_p^{b_p}</math>是<math>q</math>的FJS表示法，那么<math>a_5=b_5, a_7=b_7, \cdots a_p=b_p</math>. 用这种方式可以计算形式音差的数量和幂次，剩余的部分<math>d</math>就是3限音程（<math>d</math>未必等于<math>2^{a_2}3^{a_3}</math>）。

== 视频 ==
; 丰川卅三
* [https://www.bilibili.com/video/BV1SHepedE3h ''致敬简约音乐元老'']

; M1k1_H2tsun2
* [https://www.bilibili.com/video/BV1Jgvve2EXj ''泛音列 (从基础音至第30泛音), 但是是Electric Piano'']
* [https://www.bilibili.com/video/BV1M5411v7aq ''Helmholtz-Ellis 和 Ben Johnston 以及 FJS 这三种不同纯律记谱之间的对比'']

== 参考 ==

<references/>
[[Category:记谱法]]

FJS记谱法

2026-04-11T07:31:52Z

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