编辑“︁Zeta调律”︁

'''Zeta调律'''是衡量[[平均律]]逼近'''所有'''有理音程的方式。

== 概念 ==
考虑ned2(n>0)，这就是一步为<math> 2^{1/n}</math>的平均律。有理音程c/d在这一律制下的直接近似是离<math>n \log_2{c/d} </math>最近的整数步。因此，<math>n \log_2{c/d} </math>离整数越近（如3.97或11.02），ned2对音程c/d就逼近得越好。

函数<math>f(x)=1-\cos(2\pi x)</math>在整数取0，且x离整数越近，f(x)越小。因此，函数f可以用于衡量ned2对c/d的逼近：<math>f(x)=1-\cos(2\pi n \log_2{c/d})</math>越小，逼近就越好。

[[文件:3212345.png|居中|缩略图|f(x)的图像]]

为了计算ned2对所有有理数的逼近，最简单的想法是计算<math>\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} (1-\cos(2\pi n \log_2{c/d}))</math>. 可惜，这个和是发散的，因此需要加上衰减因子<math>\frac{1}{c^sd^s}</math>.

现在的指标是<math>\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} (1-\cos(2\pi n \log_2{c/d}))</math>. 考虑到这个式子是在s固定而n变化的条件下使用的，我们可以删掉括号里的1：<math>\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} (\cos(2\pi n \log_2{c/d}))</math> 越'''大'''，ned2对所有有理数的逼近越好。

根据三角函数与虚指数函数的关系<math>\cos(x) = \Re (\exp(ix))</math>, <math>\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} (\cos(2\pi n \log_2(c/d))) =  \sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} (\Re \exp (2\pi i n \log_2(c/d)))</math>

<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} \exp (2\pi i n \log_2(c/d)))</math>

<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} \exp (2\pi i n \log_2{c} - 2\pi i n \log_2{d}))</math>

<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} \exp (2\pi i n \log_2{c}) / \exp(2\pi i n \log_2{d}))</math>

<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} c^{2\pi i n / \ln 2} / d^{2\pi i n / \ln 2})</math>

<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} c^{2\pi i n / \ln 2 - s} d^{- 2\pi i n / \ln 2 - s})</math>

<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty} c^{2\pi i n / \ln 2 - s} \sum_{d=1}^{\infty} d^{- 2\pi i n / \ln 2 - s})</math>

根据[https://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html  黎曼Zeta函数]的表达式，上式等于 <math>\Re (\zeta (s-2\pi i n / \ln 2 )  \zeta (s+2\pi i n / \ln 2 )) = |\zeta (s+2\pi i n / \ln 2 )|^2 </math>, 因此Zeta函数的模长越大，ned2就越准确。

黎曼Zeta函数的级数表示只在<math>\Re(s)>1</math>时是收敛的。尽管如此，我们也可以使用s=1/2，因为Zeta函数在Re(s)=1/2上有零点。

== 定义 ==

== Zeta峰调律一览 ==

== Zeta调律反问题 ==

文献[https://ac.inf.elte.hu/Vol_048_2018/053_48.pdf 【1】]提到了RS-Peak算法，其核心思想是寻找整数k使得<math>k \ln p_i / ln 2 </math>对于尽可能多的质数<math>p_i</math>接近于整数，这样的k能够产生模长较大的Zeta值。换句话说，我们不仅能用Zeta函数在临界线上的较大值寻找优秀的整数平均律，我们还可以用优秀的整数平均律产生Zeta函数在临界线上较大的值。