编辑“︁和声熵”︁

'''和声熵'''是衡量[[和弦]]和谐程度的方式。和声熵的基本假设是：一个和弦越容易被识别为某个模板和弦，它就越和谐；一个和弦越不容易被识别为某个模板和弦，它就越不和谐。

== 模型 ==
假设我们研究的和弦都由k个音组成。令<math>X=\{ X_n\}</math>为模板和弦的集合，其元素为<math>k</math>音和弦<math> X_n=X_{n1}:...:X_{nk}</math>. 为了使用贝叶斯公式，假设和弦<math> X_n</math>出现的先验概率是<math>P(X_n)</math>. 

按照先验概率随机选择一个和弦<math> X_n</math>, 接收者会接受到信号<math>Y</math>, 它是<math> X_n</math>的近似。为了从<math>Y</math>复原<math>X_n</math>，使用贝叶斯公式：<math>P(X_n|Y) = (P(Y|X_n)P(X_n))/ \sum P(Y|x)P(x) </math>

使得<math>f(x)=P(x|Y)</math>最大的模板和弦<math>X_n</math>是信号<math>Y</math>最有可能对应的模板和弦。接收者对和弦<math>Y</math>是<math>X_n</math>的置信程度是<math>\max_x f(x)</math>. 置信程度<math>\max_x f(x)</math>越大，接受者就越容易把<math>Y</math>识别为某个模板和弦，<math>Y</math>就越和谐。

考虑到<math>\max_x f(x)</math>等价于α=+∞的[https://mathworld.wolfram.com/RenyiEntropy.html Rényi熵]，我们也可以考虑α为有限值的Rényi熵，如α=1对应的[https://mathworld.wolfram.com/Entropy.html Shannon熵]。熵值越低，接受者就越容易把<math>Y</math>识别为某个模板和弦，<math>Y</math>就越和谐。

== 细节 ==

* 模板和弦的集合<math>X=\{ X_n\}</math>可以取[[整数限]]和[[质数限]]有限的和弦，或者质数限有限的和弦，或者一切k音纯律和弦。如果选择第一个选项，<math>P(X_n)</math>可以任意选择；如果选择第二个选项，<math>P(X_n)</math>可以选择为<math>1/s(X_n)^\beta</math>, 其中<math>s(X_n)</math>表示<math>X_n</math>的整数限，<math>\beta</math>为大于0的常数；如果选择第三个选项，<math>P(X_n)</math>可以选择为<math>1/(X_{n1}X_{n2}...X_{nk})^\beta</math>,<math>\beta</math>大于1的常数，这里要求<math>X_{n1}, X_{n2}, ...,X_{nk}</math>是正整数且没有大于1的公因子。
* 鉴于人耳的对音程的识别误差可以用[[音分]]而不是赫兹数表示，假设<math>X_n</math>的音分为<math>x_1</math>¢,...,<math>x_k¢</math>, <math>Y</math>的音分为<math>y_1¢</math>,...,<math>y_k¢</math>, 则<math>y_1=x_1+\epsilon_1</math>, ..., <math>y_k=x_k+\epsilon_k</math>，其中<math>\epsilon_1, ..., \epsilon_n</math>为独立同分布的正态随机变量，其均值为0，其方差是自由参数σ。
* 计算<math>P(Y|X_n)</math>的方式如下：将<math>X_n</math>写成音分<math>x_1¢</math>:...:<math>x_k¢</math>, <math>Y</math>写成音分<math>y_1¢</math>:...:<math>y_k¢</math>, 且使得<math>x_1+...+x_k=y_1+...+y_k</math> (这相当于给和弦的频率比的每一项乘以一个常数)，则<math>P(Y|X_n)</math>正比于<math>\exp(1/{2\sigma^2} ((x_1-y_1)^2+...+(x_k-y_k)^2)</math>.