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=== 中国对十二平均律的探索历程 ===
中国对十二平均律的探索，是一场持续近两千年的、旨在解决传统律制根本缺陷的科学攻坚。其核心动力源于音乐实践中“旋相为宫”（即自由转调）的理想与三分损益律数学局限性之间不可调和的矛盾。

==== 一、问题的起源：三分损益律与“旋宫”的矛盾 ====
中国传统的三分损益律是一种纯五度（频率比3:2）相生构成十二律的体系。然而，数学上存在一个根本性障碍：从一律出发，连续生律十二次（即相生十二个纯五度）后，所得的“清黄钟”音高，无法精确地回到出发律的高八度位置上，两者之间存在一个微小的音差，即“十二点差”（或称“毕达哥拉斯音差”，频率比531441:524288，约23.46音分）。这使得十二律无法完美地循环往复，从而严重阻碍了在各调（各“宫”）之间自由转换的“旋宫”实践。

==== 二、量变求解的尝试：增加律数的极限探索 ====
为弥合这一音差，早期律学家尝试在三分损益法框架内，通过无限增加律数来逼近八度循环。

# 京房六十律（西汉，约公元前1世纪）：  京房将三分损益法连续推演至六十律。其重大发现在于，当生律至第54次，得到“色育”律时，该律与始发律“黄钟”的高度已极为接近，相差仅约3.6音分（此差值后世称为“京房音差”），人耳已难分辨。然而，为了追求理论上完美的、符合“周而复始”观念的循环，并凑合当时历法所重的“六十”这一周期数，京房并未止步于54律，而是继续生全了六十律。此举虽在数学上展现了无限逼近的可能性，但也宣告了此路在音乐实践上的不可行性。
# 钱乐之三百六十律（南朝宋，公元5世纪）：  钱乐之沿着京房的思路推向极端，生律至三百六十律，使最后一律与黄钟的差距缩小到不足2音分。这标志着在三分损益体系内通过增加律数来“加密”音律的方法已臻于极限，但同时也彻底暴露了其本质缺陷：律数繁多，远超任何乐器的演奏与人的听觉分辨能力，完全脱离音乐实践。

==== 三、质变改革的先声：在十二律框架内进行调整 ====
部分律学家意识到无限生律之路不通，转而尝试在十二律的框架内部调整各律高度，以求返宫。

# 何承天“新律”（南朝宋，公元5世纪）：  何承天是此路径的开创者。他敏锐地将无法返宫的差数（即最大音差）平均分配（“等差”）到十二律中的每一律，从而在弦长上创造了一个等差数列。虽然其结果在物理上并非真正的等比数列（即非真正的平均律），但其“平均”的思想和在十二律内部调整以解决根本矛盾的路线，是一次革命性的转向。
# 刘焯与王朴的探索：
#* 刘焯（隋）的尝试是一次方向正确但方法错误的重要案例。他同样试图在十二律内平均分配音差，但其方案是直接作用于律管的物理长度。具体而言，他设定了起始律管长，并将此长度与高八度律管长之间的差值进行十二等分，然后从起始管长中逐次减去一个等分量，从而得到一系列长度呈等差递减的十二根律管，史称“十二等差管律”。然而，这一方案在物理学上是根本错误的。它忽略了管乐器发音时，气柱的有效振动长度并不等于管体的几何长度，而需进行“管口校正”。因此，管长的等差变化，并不能导致音高（频率）的等比变化，其产生的音阶严重失准，故而影响甚微，仅作为律学思想史上的一个插曲。
#* 王朴（五代）则是一位重要的实践家。他通过在三分损益律的基础上，有选择地微调其中某些律（如清角、变宫）的高度，制作了音准精良的律准。他的工作表明，通过实践调试可以逼近旋宫的目标，为后世提供了宝贵经验。

另一个方向是利用[[3限纯律]]的更大的子集代替一个[[八度]]内的12音子集。这一方向从属于[[3限纯律/历史]]而非12平均律。

==== 四、终极的突破：朱载堉与“新法密率” ====
当认识到在旧体系内修补已无出路后，明代杰出的律学家、数学家朱载堉（1536-1611年）实现了根本性的范式革命。他完全跳出了三分损益的思维窠臼，直接转向等比数列。

他设定的目标是：找到一个数，使其自乘12次后等于2。即求解 <math>\sqrt[12]{2}</math>。万历十二年（1584年），朱载堉在其巨著《律吕精义》中公布了这一革命性的“新法密率”。他运用算盘完成了史上首次对 <math>\sqrt[12]{2}</math> 的精确计算，结果精确到小数点后24位。以此为核心，他构建了一套完全均等的十二律体系，从数学原理上彻底根除了“最大音差”，实现了真正的、完美的旋宫转调。朱载堉的成就，标志着中国对平均律的探索从千年跋涉的“逼近”阶段，终于抵达了理论“实现”的终点，在世界上率先完成了十二平均律的完整数理体系构建。