音分 - 版本历史

2025年12月29日 (一) 08:35 Administrator

2025-12-29T08:35:34Z

←上一版本		2025年12月29日 (一) 16:35的版本
第22行：		第22行：
	# 根据音分定义，x 音分对应的频率比为 (2^(1/1200))^x。 x ¢ ⇒ r = (2^(1/1200))^x = 2^(x/1200)		# 根据音分定义，x 音分对应的频率比为 (2^(1/1200))^x。 x ¢ ⇒ r = (2^(1/1200))^x = 2^(x/1200)
	# 对等式两边取以2为底的对数： log₂ r = log₂ (2^(x/1200))		# 对等式两边取以2为底的对数： log₂ r = log₂ (2^(x/1200))
	# 根据对数运算法则 ~~log_b~~ (a^c) = c · ~~log_b a，且~~ log₂ 2 = 1，可得： log₂ r = (x/1200) · log₂ 2 = x/1200		# 根据对数运算法则 logₐ(b^c) = c · logₐ b，且 log₂ 2 = 1，可得： log₂ r = (x/1200) · log₂ 2 = x/1200
	# 解出 x，即得到音分公式： x = 1200 · log₂ r 因此，频率比 r 对应的音分值 c(r) = 1200 log₂ r。		# 解出 x，即得到音分公式： x = 1200 · log₂ r 因此，频率比 r 对应的音分值 c(r) = 1200 log₂ r。

2025年12月29日 (一) 08:34 Administrator

2025-12-29T08:34:21Z

←上一版本		2025年12月29日 (一) 16:34的版本
第1行：		第1行：
	'''音分''' ('''cent'''，符号为 '''¢''') 是用于测量和比较音程的对数单位。'''一个八度被定义为1200音分'''。它由英国数学家、比较音乐学先驱亚历山大·埃利斯于1885年推广，现已成为音乐声学、民族音乐学和乐器调律领域的标准测量单位。		'''音分''' ('''cent'''，符号为 '''¢''') 是用于测量和比较音程的对数单位。'''一个八度被定义为1200音分'''。它由英国数学家、比较音乐学先驱亚历山大·埃利斯于1885年推广，现已成为音乐声学、民族音乐学和乐器调律领域的标准测量单位。

	=== 历史 ===		== 历史 ==
	1830年代时，在罗伯特·霍尔福德·麦克道威尔·鲍桑葵（Robert Holford Macdowell Bosanquet）的建议下，音响学者、比较音乐学者亚历山大·约翰·埃利斯（Alexander John Ellis）以加斯帕德·戴普罗尼（Gaspard de Prony）发展的“声学对数”（acoustic logarithms）十进制半音系统度量法为基础，将音分的概念引入他翻译的赫尔曼·冯·亥姆霍兹著作《音调的感觉》（On the Sensations of Tone）。音分已经成为表示和对比音高及音程的相对标准的方法。		1830年代时，在罗伯特·霍尔福德·麦克道威尔·鲍桑葵（Robert Holford Macdowell Bosanquet）的建议下，音响学者、比较音乐学者亚历山大·约翰·埃利斯（Alexander John Ellis）以加斯帕德·戴普罗尼（Gaspard de Prony）发展的“声学对数”（acoustic logarithms）十进制半音系统度量法为基础，将音分的概念引入他翻译的赫尔曼·冯·亥姆霍兹著作《音调的感觉》（On the Sensations of Tone）。音分已经成为表示和对比音高及音程的相对标准的方法。

	=== 定义 ===		== 定义 ==

	# 基本定义：1音分被定义为频率比 <math>2^{\frac{1}{1200}}</math>。换言之，如果一个音比另一个音高1音分，则其频率是另一个音的<math>2^{\frac{1}{1200}}</math> 倍。		# 基本定义：1音分被定义为频率比 <math>2^{\frac{1}{1200}}</math>。换言之，如果一个音比另一个音高1音分，则其频率是另一个音的<math>2^{\frac{1}{1200}}</math> 倍。
第13行：		第13行：
	#* 八度关系：k个纯八度对应的音分值正好是 c(2^k) = 1200k。		#* 八度关系：k个纯八度对应的音分值正好是 c(2^k) = 1200k。

	=== 音分公式的推导 ===		== 音分公式的推导 ==
	音分公式可以从其定义出发，通过指数和对数运算推导得出。		音分公式可以从其定义出发，通过指数和对数运算推导得出。

2025年12月29日 (一) 08:28 Administrator

2025-12-29T08:28:31Z

←上一版本		2025年12月29日 (一) 16:28的版本
第1行：		第1行：
	'''音分''' ('''cent'''，符号为 '''¢''') 是用于测量和比较音程的对数单位。'''一个八度被定义为1200音分'''。它由英国数学家、比较音乐学先驱亚历山大·埃利斯于1885年推广，现已成为音乐声学、民族音乐学和乐器调律领域的标准测量单位。		'''音分''' ('''cent'''，符号为 '''¢''') 是用于测量和比较音程的对数单位。'''一个八度被定义为1200音分'''。它由英国数学家、比较音乐学先驱亚历山大·埃利斯于1885年推广，现已成为音乐声学、民族音乐学和乐器调律领域的标准测量单位。

			=== 历史 ===
			1830年代时，在罗伯特·霍尔福德·麦克道威尔·鲍桑葵（Robert Holford Macdowell Bosanquet）的建议下，音响学者、比较音乐学者亚历山大·约翰·埃利斯（Alexander John Ellis）以加斯帕德·戴普罗尼（Gaspard de Prony）发展的“声学对数”（acoustic logarithms）十进制半音系统度量法为基础，将音分的概念引入他翻译的赫尔曼·冯·亥姆霍兹著作《音调的感觉》（On the Sensations of Tone）。音分已经成为表示和对比音高及音程的相对标准的方法。

	=== 定义 ===		=== 定义 ===

Administrator：创建页面，内容为“'''音分''' ('''cent'''，符号为 '''¢''') 是用于测量和比较音程的对数单位。'''一个八度被定义为1200音分'''。它由英国数学家、比较音乐学先驱亚历山大·埃利斯于1885年推广，现已成为音乐声学、民族音乐学和乐器调律领域的标准测量单位。 === 定义 === # 基本定义：1音分被定义为频率比 $2^{\frac{1}{1200}}$ 。换言之，如果一个音比另一个音高1音分，…”

2025-12-29T08:26:37Z

创建页面，内容为“'''音分''' ('''cent'''，符号为 '''¢''') 是用于测量和比较音程的对数单位。'''一个八度被定义为1200音分'''。它由英国数学家、比较音乐学先驱亚历山大·埃利斯于1885年推广，现已成为音乐声学、民族音乐学和乐器调律领域的标准测量单位。 === 定义 === # 基本定义：1音分被定义为频率比 <math>2^{\frac{1}{1200}}</math>。换言之，如果一个音比另一个音高1音分，…”

新页面

'''音分''' ('''cent'''，符号为 '''¢''') 是用于测量和比较音程的对数单位。'''一个八度被定义为1200音分'''。它由英国数学家、比较音乐学先驱亚历山大·埃利斯于1885年推广，现已成为音乐声学、民族音乐学和乐器调律领域的标准测量单位。

=== 定义 ===

# 基本定义：1音分被定义为频率比 <math>2^{\frac{1}{1200}}</math>。换言之，如果一个音比另一个音高1音分，则其频率是另一个音的<math>2^{\frac{1}{1200}}</math> 倍。

<math>\text{¢ } \triangleq 2^\frac{1}{1200}</math> 该定义建立了频率比与对数刻度之间的直接映射。
# 音分公式：给定任意频率比 r (其中 r = f2/f1)，其对应的音分值 c(r) 由以下公式计算： c(r) = 1200 · log₂ r 此公式具有两个核心性质：
#* 线性可加性：复合音程的音分值等于各音程音分值之和，即 c(r₁ · r₂) = c(r₁) + c(r₂)。
#* 八度关系：k个纯八度对应的音分值正好是 c(2^k) = 1200k。

=== 音分公式的推导 ===
音分公式可以从其定义出发，通过指数和对数运算推导得出。

推导过程：

设某个音程的音分值为 x，其对应的频率比为 r。

# 根据音分定义，x 音分对应的频率比为 (2^(1/1200))^x。 x ¢ ⇒ r = (2^(1/1200))^x = 2^(x/1200)
# 对等式两边取以2为底的对数： log₂ r = log₂ (2^(x/1200))
# 根据对数运算法则 log_b (a^c) = c · log_b a，且 log₂ 2 = 1，可得： log₂ r = (x/1200) · log₂ 2 = x/1200
# 解出 x，即得到音分公式： x = 1200 · log₂ r 因此，频率比 r 对应的音分值 c(r) = 1200 log₂ r。