Zeta调律：修订间差异

2026年3月17日 (二) 10:58的最新版本

Zeta调律是衡量平均律逼近所有有理音程的方式。

概念

考虑ned2(n>0)，这就是一步为 $2^{1 / n}$ 的平均律。有理音程c/d在这一律制下的直接近似是离 $n \log_{2} c / d$ 最近的整数步。因此， $n \log_{2} c / d$ 离整数越近（如3.97或11.02），ned2对音程c/d就逼近得越好。

函数 $f (x) = 1 - \cos (2 π x)$ 在整数取0，且x离整数越近，f(x)越小。因此，函数f可以用于衡量ned2对c/d的相对误差： $f (x) = 1 - \cos (2 π n \log_{2} c / d)$ 越小，逼近就越好。

为了计算ned2对所有有理数的逼近，最简单的想法是计算 $\sum_{c = 1}^{\infty} \sum_{d = 1}^{\infty} (1 - \cos (2 π n \log_{2} c / d))$ . 可惜，这个和是发散的，因此需要加上衰减因子 $\frac{1}{c^{s} d^{s}}$ .

现在的指标是 $\sum_{c = 1}^{\infty} \sum_{d = 1}^{\infty} \frac{1}{c^{s} d^{s}} (1 - \cos (2 π n \log_{2} c / d))$ . 考虑到这个式子是在s固定而n变化的条件下使用的，我们可以删掉括号里的1： $\sum_{c = 1}^{\infty} \sum_{d = 1}^{\infty} \frac{1}{c^{s} d^{s}} (\cos (2 π n \log_{2} c / d))$ 越大，ned2对所有有理数的逼近越好。

根据三角函数与虚指数函数的关系 $\cos (x) = ℜ (\exp (i x))$ , $\sum_{c = 1}^{\infty} \sum_{d = 1}^{\infty} \frac{1}{c^{s} d^{s}} (\cos (2 π n \log_{2} (c / d))) = \sum_{c = 1}^{\infty} \sum_{d = 1}^{\infty} \frac{1}{c^{s} d^{s}} (ℜ \exp (2 π i n \log_{2} (c / d)))$

$= ℜ (\sum_{c = 1}^{\infty} \sum_{d = 1}^{\infty} \frac{1}{c^{s} d^{s}} \exp (2 π i n \log_{2} (c / d)))$

$= ℜ (\sum_{c = 1}^{\infty} \sum_{d = 1}^{\infty} \frac{1}{c^{s} d^{s}} \exp (2 π i n \log_{2} c - 2 π i n \log_{2} d))$

$= ℜ (\sum_{c = 1}^{\infty} \sum_{d = 1}^{\infty} \frac{1}{c^{s} d^{s}} \exp (2 π i n \log_{2} c) / \exp (2 π i n \log_{2} d))$

$= ℜ (\sum_{c = 1}^{\infty} \sum_{d = 1}^{\infty} \frac{1}{c^{s} d^{s}} c^{2 π i n / \ln 2} / d^{2 π i n / \ln 2})$

$= ℜ (\sum_{c = 1}^{\infty} \sum_{d = 1}^{\infty} c^{2 π i n / \ln 2 - s} d^{- 2 π i n / \ln 2 - s})$

$= ℜ (\sum_{c = 1}^{\infty} c^{2 π i n / \ln 2 - s} \sum_{d = 1}^{\infty} d^{- 2 π i n / \ln 2 - s})$

根据黎曼Zeta函数的表达式，上式等于 $ℜ (ζ (s - 2 π i n / \ln 2) ζ (s + 2 π i n / \ln 2)) = | ζ (s + 2 π i n / \ln 2) |^{2}$ , 因此Zeta函数的模长越大，ned2就越准确。

黎曼Zeta函数的级数表示只在 $ℜ (s) > 1$ 时是收敛的。尽管如此，我们也可以使用s=1/2，因为Zeta函数在Re(s)=1/2上有零点。

定义

Zeta峰调律一览

Zeta调律反问题

文献【1】提到了RS-Peak算法，其核心思想是寻找整数k使得 $k \ln p_{i} / \ln 2$ 对于尽可能多的质数 $p_{i}$ 接近于整数，这样的k能够产生模长较大的Zeta值。换句话说，我们不仅能用Zeta函数在临界线上的较大值寻找优秀的整数平均律，我们还可以用优秀的整数平均律产生Zeta函数在临界线上较大的值。

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 '''Zeta调律'''是衡量[[平均律]]逼近'''所有'''有理音程的方式。
-== 定义 ==
+== 概念 ==
-考虑ned2，其中n可以不为整数，这就是一步为<math> 2^{1/n}</math>的平均律。有理音程c/d在这一律制下的直接近似步数是离<math>n \log_2{c/d} </math>最近的整数。因此，<math>n \log_2{c/d} </math>离整数越近（如3.97或11.02），<math>n</math>ed2对音程c/d就逼近得越好。
+考虑ned2(n>0)，这就是一步为<math> 2^{1/n}</math>的平均律。有理音程c/d在这一律制下的直接近似是离<math>n \log_2{c/d} </math>最近的整数步。因此，<math>n \log_2{c/d} </math>离整数越近（如3.97或11.02），ned2对音程c/d就逼近得越好。
-函数<math>f(x)=1-\cos(2\pi x)</math>在整数取0，且x离整数越近，f(x)越小。因此，函数f可以用于衡量ned2对c/d的逼近：<math>f(x)=1-\cos(2\pi n \log_2{c/d})</math>越小，逼近就越好。
+函数<math>f(x)=1-\cos(2\pi x)</math>在整数取0，且x离整数越近，f(x)越小。因此，函数f可以用于衡量ned2对c/d的[[平均律#相对误差 |相对误差]]：<math>f(x)=1-\cos(2\pi n \log_2{c/d})</math>越小，逼近就越好。
 [[文件:3212345.png|居中|缩略图|f(x)的图像]]
-为了计算ned2对所有有理数的逼近，最简单的想法是计算<math>\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} (1-\cos(2\pi n \log_2{c/d}))</math>. 可惜，这个和是发散的，因此需要加上衰减因子<math>\frac{1}{c^sd^s}</math>, s>1.
+为了计算ned2对所有有理数的逼近，最简单的想法是计算<math>\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} (1-\cos(2\pi n \log_2{c/d}))</math>. 可惜，这个和是发散的，因此需要加上衰减因子<math>\frac{1}{c^sd^s}</math>.
+现在的指标是<math>\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} (1-\cos(2\pi n \log_2{c/d}))</math>. 考虑到这个式子是在s固定而n变化的条件下使用的，我们可以删掉括号里的1：<math>\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} (\cos(2\pi n \log_2{c/d}))</math> 越'''大'''，ned2对所有有理数的逼近越好。
+根据三角函数与虚指数函数的关系<math>\cos(x) = \Re (\exp(ix))</math>, <math>\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} (\cos(2\pi n \log_2(c/d))) =  \sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} (\Re \exp (2\pi i n \log_2(c/d)))</math>
+<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} \exp (2\pi i n \log_2(c/d)))</math>
-现在的指标是<math>\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} (1-\cos(2\pi n \log_2{c/d}))</math>。考虑到这个式子是在s固定而n变化的条件下使用的，我们可以删掉括号里的1：<math>\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} (\cos(2\pi n \log_2{c/d}))</math> 越'''小'''，ned2对所有有理数的逼近越好。
+<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} \exp (2\pi i n \log_2{c} - 2\pi i n \log_2{d}))</math>
-根据三角函数与虚指数函数的关系<math>\cos(x) = \Re (\exp(ix))</math>, <math>\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} (\cos(2\pi n \log_2{c/d})) =  \sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} (\Re \exp (2\pi i n \log_2{c/d}))</math>
+<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} \exp (2\pi i n \log_2{c}) / \exp(2\pi i n \log_2{d}))</math>
+<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} c^{2\pi i n / \ln 2} / d^{2\pi i n / \ln 2})</math>
+<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} c^{2\pi i n / \ln 2 - s} d^{- 2\pi i n / \ln 2 - s})</math>
+<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty} c^{2\pi i n / \ln 2 - s} \sum_{d=1}^{\infty} d^{- 2\pi i n / \ln 2 - s})</math>
+根据[https://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html  黎曼Zeta函数]的表达式，上式等于 <math>\Re (\zeta (s-2\pi i n / \ln 2 )  \zeta (s+2\pi i n / \ln 2 )) = |\zeta (s+2\pi i n / \ln 2 )|^2 </math>, 因此Zeta函数的模长越大，ned2就越准确。
+黎曼Zeta函数的级数表示只在<math>\Re(s)>1</math>时是收敛的。尽管如此，我们也可以使用s=1/2，因为Zeta函数在Re(s)=1/2上有零点。
+== 定义 ==
-<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} \exp (2\pi i n \log_2{c/d})</math>
+== Zeta峰调律一览 ==
-<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} \exp ((2\pi i n \log_2{c}) - (2\pi i n \log_2{d})})</math>
+== Zeta调律反问题 ==
-<math>= \Re (\sum_{c=1}^{\infty}\sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{c^sd^s} \exp (2\pi i n \log_2{c}) / \exp (2\pi i n \log_2{d})})</math>
+文献[https://ac.inf.elte.hu/Vol_048_2018/053_48.pdf 【1】]提到了RS-Peak算法，其核心思想是寻找整数k使得<math>k \ln p_i / \ln 2 </math>对于尽可能多的质数<math>p_i</math>接近于整数，这样的k能够产生模长较大的Zeta值。换句话说，我们不仅能用Zeta函数在临界线上的较大值寻找优秀的整数平均律，我们还可以用优秀的整数平均律产生Zeta函数在临界线上较大的值。

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