3限纯律：修订间差异

2026年4月11日 (六) 16:18的最新版本

3限纯律 由分子和分母为质数2和3的任意次乘积的纯律音程组成，如3/2, 16/9. 3限纯律音程的一般形式为 $2^{a} 3^{b}$ , 其中a, b为整数。

历史

先秦时期的《管子·地员篇》记载了三分损益律：取一段弦“三分损一”（均分弦为三段，舍一留二）便得到 3/2f（f为弦的原频率），三分益一（弦均分三段后再加一段）便得到 3/4f. 这种生律方式得到的是3限纯律的子集： ${2^{a} 3^{b}}$ , 其中a为整数，b为非负整数。

公元前6世纪的古希腊哲学家、科学家毕达哥拉斯提出2/1, 3/2, 4/3为协和音程，将3/2作为生律要素，产生的律制即为3限纯律。

延拓

3限纯律延拓成更大子群的调律时，其周期仍然为2/1, 其生程仍然为3/2, 因此延拓的结果可以不严谨地称为“五度相生律”。以下是3限纯律的延拓：

2.3.5/(81/80)

2.3.5.7/(32805/32768,225/224)

3限纯律音程的七声音阶名称

纯、大、小音程

这张表可以根据2/1周期，3/2生程的5L2s MOS音阶推出。


音程	名称
1/1	纯一度
256/243	小二度
9/8	大二度
32/27	小三度
81/64	大三度
4/3	纯四度
3/2	纯五度
128/81	小六度
27/16	大六度
16/9	小七度
243/128	大七度
2/1	纯八度

增、减音程

若x是大音程或纯音程，x*(2187/2048)称为增(x的名称)；x*(2187/2048)²称为倍增(x的名称)，x*(2187/2048)³称为3倍增(x的名称)，以此类推。
若x是小音程或纯音程，x/(2187/2048)称为减(x的名称)；x/(2187/2048)²称为倍减(x的名称)，x/(2187/2048)³称为3倍减(x的名称)，以此类推。

例：减二度 = 256/243 / (2187/2048) = 524288/531441，是反向的12点差。

复音程

音程x乘以2，得到的音程叫复(x的名称)；以上任一音程乘以4则是双复(x的名称)，乘以8则是三复(x的名称)，以此类推。

例：3/1是复五度，9/1是三复大二度。

反向音程

音程1/x的名称是反向(x的名称)。

例：12点差是反向减二度。

调制

3限纯律的任何调制都会产生平均律，如12ed2. 反之，任何3的步数与2的步数互质的平均律都是3限纯律的调制。

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-'''3限纯律''' 由分子和分母为质数2和3的任意次乘积的[[纯律]][[音程]]组成，如[[3/2]], [[16/9]]. 3限纯律音程的一般形式为<math>2^a3^b<\math>, 其中a, b为整数。
+'''3限纯律''' 由分子和分母为质数2和3的任意次乘积的[[纯律]][[音程]]组成，如[[3/2]], [[16/9]]. 3限纯律音程的一般形式为<math>2^a3^b</math>, 其中a, b为整数。
 == 历史 ==
-先秦时期的《管子·地员篇》记载了三分损益律：取一段弦“三分损一”（均分弦为三段，舍一留二）便得到 3/2f（f为弦的原频率），三分益一（弦均分三段后再加一段）便得到 4/3f. 这种生律方式得到的是3限纯律的子集：<math>\{2^a3^b\}<\math>, 其中a为整数，b为'''非负'''整数。
+先秦时期的《管子·地员篇》记载了三分损益律：取一段弦“三分损一”（均分弦为三段，舍一留二）便得到 3/2f（f为弦的原频率），三分益一（弦均分三段后再加一段）便得到 3/4f. 这种生律方式得到的是3限纯律的子集：<math>\{2^a3^b\}</math>, 其中a为整数，b为'''非负'''整数。
-== Edo approximation ==
+公元前6世纪的古希腊哲学家、科学家毕达哥拉斯提出2/1, 3/2, 4/3为协和音程，将3/2作为生律要素，产生的律制即为3限纯律。
-[[Edo]]s which do relatively well at approximating 3-limit intervals can be found as the denominators of the convergents and semiconvergents of the [[wikipedia: Continued fraction|continued fraction]] for the logarithm of 3 base 2. These are {{EDOs| 1, 2, 3, 5, 7, 12, 17, 29, 41, 53, 94, 147, 200, 253, 306, 359, 665, … }} ({{OEIS|A206788}})
-Another approach is to find edos which have more accurate approximation to 3 than all smaller edos. This results in {{EDOs|1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200, 253, 306, 359, 665, 8286, 8951, 9616, 10281, 10946, 11611, 12276, 12941, 13606, 14271, 14936, 15601, 31867 }}, … ({{OEIS|A060528}})
+== 延拓 ==
+限纯律[[延拓]]成更大[[子群]]的调律时，其[[周期]]仍然为2/1, 其[[生程]]仍然为3/2, 因此延拓的结果可以不严谨地称为“五度相生律”。以下是3限纯律的延拓：
-A stricter approach is to find edos with an increasingly stronger [[consistent circle]] of 3/2. These are {{EDOs|1, 2, 12, 53, 665, 190537, … }} (with strengths 1, 1, 2, 3, 11, 28, … respectively)
+* [[2.3.5/(81/80)]]
+* [[2.3.5.7/(32805/32768,225/224)]]
+== 3限纯律音程的七声音阶名称 ==
+=== 纯、大、小音程 ===
+这张表可以根据2/1周期，3/2生程的5L2s [[MOS音阶]]推出。
+{| class="wikitable"
+|+
+!音程
+!名称
+|-
+|1/1
+|纯一度
+|-
+|256/243
+|小二度
+|-
+|9/8
+|大二度
+|-
+|32/27
+|小三度
+|-
+|81/64
+|大三度
+|-
+|4/3
+|纯四度
+|-
+|3/2
+|纯五度
+|-
+|128/81
+|小六度
+|-
+|27/16
+|大六度
+|-
+|16/9
+|小七度
+|-
+|243/128
+|大七度
+|-
+|2/1
+|纯八度
+|}
+=== 增、减音程 ===
+* 若x是大音程或纯音程，x*(2187/2048)称为增(x的名称)；x*(2187/2048)²称为倍增(x的名称)，x*(2187/2048)³称为3倍增(x的名称)，以此类推。
+* 若x是小音程或纯音程，x/(2187/2048)称为减(x的名称)；x/(2187/2048)²称为倍减(x的名称)，x/(2187/2048)³称为3倍减(x的名称)，以此类推。
+'''例'''：减二度 = 256/243 / (2187/2048) = 524288/531441，是反向的12[[点差]]。
+=== 复音程 ===
+音程x乘以2，得到的音程叫复(x的名称)；以上任一音程乘以4则是双复(x的名称)，乘以8则是三复(x的名称)，以此类推。
+'''例'''：3/1是复五度，9/1是三复大二度。
+=== 反向音程 ===
+音程1/x的名称是反向(x的名称)。
+'''例'''：12点差是反向减二度。
+== 调制 ==
+限纯律的任何[[调制]]都会产生平均律，如[[12ed2]]. 反之，任何3的[[步数]]与2的步数互质的平均律都是3限纯律的调制。
 [[Category:律制]]