53ed2：修订间差异
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五十三平均律（'''53 equal divisions of the octave'''，简称 '''53EDO''' 或 '''53ED2'''；在[[规则调律体系]]中亦称作 '''53-tone equal temperament'''（'''53TET'''） 或 '''53 equal temperament'''（'''53ET'''））是一种将八度音程均匀分为 53 个等份的调律系统，每一等份的音程约为 22.64 音分（cent），接近ie76.5或77/76。其中每一步对应的频率比为 <math>\sqrt[53]{2}</math>，即 2 的 53 次方根。该调律可以以极高的精度拟合3限纯律，通常也可以作为5限纯律的近似使用，在7限与2.3.5.7.13子群中也具有良好的性质，是实践中常用的3限，5限，7限，2.3.5.7.13子群调律。 | 五十三平均律（'''53 equal divisions of the octave'''，简称 '''53EDO''' 或 '''53ED2'''；在[[规则调律体系]]中亦称作 '''53-tone equal temperament'''（'''53TET'''） 或 '''53 equal temperament'''（'''53ET'''））是一种将八度音程均匀分为 53 个等份的调律系统，每一等份的音程约为 22.64 音分（cent），接近ie76.5或77/76。其中每一步对应的频率比为 <math>\sqrt[53]{2}</math>，即 2 的 53 次方根。该调律可以以极高的精度拟合3限纯律，通常也可以作为5限纯律的近似使用，在7限与2.3.5.7.13子群中也具有良好的性质，是实践中常用的3限，5限，7限，2.3.5.7.13子群调律。 | ||
== 理论 == | == 理论 == | ||
五十三平均律在5限的核心是一步1\53（约ie76. | 五十三平均律在5限的核心是一步1\53（约ie76.5）同时接近12点差531441/524288（约ie73.8）和九间差81/80，所以53平均律调和32805/32768。另外，53平均律中的6/5是14步，而3/1是84步,6个6/5就是一个3/1，所以53平均律调和15625/15552。在7限，53平均律调和[[225/224]]，这意味着75/64（5/4调低16/15，或9/8调高25/24）被调成与7/6等音，所以7限音程可以较为方便的引入5限音乐中。在11限，53平均律的性质较差，因为53平均律的11/7不[[一致]]，且53平均律调和121/120但不调和243/242，两个11/9堆叠后生成40/27而不是3/2，导致53平均律在11限中的应用受限。在2.3.5.7.13子群中，53平均律的3步（约ie25.5）同时代表25/24，26/25，27/26，28/27，调和音差676/675，325/324，169/168等。 | ||
== 喵 == | |||
=== 纯律近似 === | |||
''主词条: [[平均律误差]]'' | |||
53ed2在2.3.5.7.13子群里很强（误差7.55¢，ie229.28），但是对素数11则不尽人意。一方面，53ed2对11/8的[[相对误差]]达到了-35.0%，对11/9的相对误差则是-34.4%；另一方面，代表11/9的音程(15\53)更接近于39/32，综合这两方面，能够代表含11音程的53ed2音程更能够代表对应的含13音程，因此53ed2对素数11的逼近是没有说服力的。 | |||
以下只讨论2.3.5.7.13子群里的53ed2. | |||
=== 53ed2的一步 === | |||
53ed2的一步可以解释为[[64/63]], [[81/80]]和[[531441/524288]]，这表明这三种音程可以用同一符号表示，从而简化记谱。在13限里，53ed2的一步可以解释为65/64，这表明5/4再下降一步得到16/13；53ed2的一步还可以解释为91/90，这表明9/7上升一步是13/10；只用2.3.13子群的话，53ed2的一步是512/507，也就是两个接近<math>\sqrt{3/2}</math>的音程16/13和39/32的差。 | |||
=== 常用音差 === | |||
53ed2调和下列音差： | |||
* [[32805/32768]] | |||
* [[15625/15552]] | |||
* [[225/224]] | |||
* [[1728/1715]] | |||
* [[625/624]] | |||
* [[676/675]] | |||
* [[729/728]] | |||
前两者唯一地在[[5限纯律]]里确定53ed2，前三者唯一地在[[7限纯律]]里确定53ed2，最后三者说明53ed2的三步同时是25/24, 26/25, 27/26和28/27. | |||
== 对各个质数的近似 == | |||
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|+五十三平均律对各个质数的近似 | |||
|质数 | |||
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|相对误差(%) | |||
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| -0.3 | |||
| -6.2 | |||
| +21.0 | |||
| -35.0 | |||
| -12.3 | |||
| +36.4 | |||
| -14.0 | |||
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|步数 | |||
|53 | |||
|84 | |||
|123 | |||
|149 | |||
|183 | |||
|196 | |||
|217 | |||
|225 | |||
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== 记谱 == | |||
理论上，53ed2的所有音程可以用[[3限纯律#3限纯律音程的七声音阶名称 |标准的五线谱记谱]]，因为3/2的步数(31)和53互素；实际上4:5:6和弦在这种记谱下是C-F♭-G或其[[平移]]，并不利于快速辨别和弦结构。 | |||
为了解决这个问题，可以使用[[矢状记谱法]]或者[[FJS记谱法]]。注意到53edo的81/80和64/63都是一步，可以用同一个符号表示81/80和64/63，它可以是上箭头(↑)，而下箭头(↓)表示80/81和63/64. 这样，4:5:6和弦就是C-E↓-G或其平移，6:7:9就是D-F↓-A或其平移。 | |||
为了表示[[具体质数谐波的限制|含13音程]]，可以借助音差325/324：这一音差表示[[FJS记谱法#形式音差|形式音差]]1053/1024是两个81/80，因此使用双上箭头（↟）表示，双下箭头（↡）表示1024/1053. 这样，8:12:13就是C-G-A♭↟或其平移。 | |||
考虑到53edo的[[自然半音]]的步数是4, [[变化半音]]的步数是5, 表示53edo的音程不需要引入更多的符号了。 | |||
2026年4月18日 (六) 18:33的最新版本
五十三平均律（53 equal divisions of the octave，简称 53EDO 或 53ED2；在规则调律体系中亦称作 53-tone equal temperament（53TET） 或 53 equal temperament（53ET））是一种将八度音程均匀分为 53 个等份的调律系统，每一等份的音程约为 22.64 音分（cent），接近ie76.5或77/76。其中每一步对应的频率比为 ，即 2 的 53 次方根。该调律可以以极高的精度拟合3限纯律，通常也可以作为5限纯律的近似使用，在7限与2.3.5.7.13子群中也具有良好的性质，是实践中常用的3限，5限，7限，2.3.5.7.13子群调律。
五十三平均律在5限的核心是一步1\53（约ie76.5）同时接近12点差531441/524288（约ie73.8）和九间差81/80，所以53平均律调和32805/32768。另外，53平均律中的6/5是14步，而3/1是84步,6个6/5就是一个3/1，所以53平均律调和15625/15552。在7限，53平均律调和225/224，这意味着75/64（5/4调低16/15，或9/8调高25/24）被调成与7/6等音，所以7限音程可以较为方便的引入5限音乐中。在11限，53平均律的性质较差，因为53平均律的11/7不一致，且53平均律调和121/120但不调和243/242，两个11/9堆叠后生成40/27而不是3/2，导致53平均律在11限中的应用受限。在2.3.5.7.13子群中，53平均律的3步（约ie25.5）同时代表25/24，26/25，27/26，28/27，调和音差676/675，325/324，169/168等。
主词条: 平均律误差
53ed2在2.3.5.7.13子群里很强（误差7.55¢，ie229.28），但是对素数11则不尽人意。一方面，53ed2对11/8的相对误差达到了-35.0%，对11/9的相对误差则是-34.4%；另一方面，代表11/9的音程(15\53)更接近于39/32，综合这两方面，能够代表含11音程的53ed2音程更能够代表对应的含13音程，因此53ed2对素数11的逼近是没有说服力的。
以下只讨论2.3.5.7.13子群里的53ed2.
53ed2的一步可以解释为64/63, 81/80和531441/524288，这表明这三种音程可以用同一符号表示，从而简化记谱。在13限里，53ed2的一步可以解释为65/64，这表明5/4再下降一步得到16/13；53ed2的一步还可以解释为91/90，这表明9/7上升一步是13/10；只用2.3.13子群的话，53ed2的一步是512/507，也就是两个接近的音程16/13和39/32的差。
53ed2调和下列音差：
前两者唯一地在5限纯律里确定53ed2，前三者唯一地在7限纯律里确定53ed2，最后三者说明53ed2的三步同时是25/24, 26/25, 27/26和28/27.
| 质数 | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 |
| 相对误差(%) | 0 | -0.3 | -6.2 | +21.0 | -35.0 | -12.3 | +36.4 | -14.0 |
| 步数 | 53 | 84 | 123 | 149 | 183 | 196 | 217 | 225 |
理论上，53ed2的所有音程可以用标准的五线谱记谱，因为3/2的步数(31)和53互素；实际上4:5:6和弦在这种记谱下是C-F♭-G或其平移，并不利于快速辨别和弦结构。
为了解决这个问题，可以使用矢状记谱法或者FJS记谱法。注意到53edo的81/80和64/63都是一步，可以用同一个符号表示81/80和64/63，它可以是上箭头(↑)，而下箭头(↓)表示80/81和63/64. 这样，4:5:6和弦就是C-E↓-G或其平移，6:7:9就是D-F↓-A或其平移。
为了表示含13音程，可以借助音差325/324：这一音差表示形式音差1053/1024是两个81/80，因此使用双上箭头（↟）表示，双下箭头（↡）表示1024/1053. 这样，8:12:13就是C-G-A♭↟或其平移。
