音分

音分 (cent，符号为 ¢) 是用于测量和比较音程的对数单位。一个八度被定义为1200音分。它由英国数学家、比较音乐学先驱亚历山大·埃利斯于1885年推广，现已成为音乐声学、民族音乐学和乐器调律领域的标准测量单位。

历史

1830年代时，在罗伯特·霍尔福德·麦克道威尔·鲍桑葵（Robert Holford Macdowell Bosanquet）的建议下，音响学者、比较音乐学者亚历山大·约翰·埃利斯（Alexander John Ellis）以加斯帕德·戴普罗尼（Gaspard de Prony）发展的“声学对数”（acoustic logarithms）十进制半音系统度量法为基础，将音分的概念引入他翻译的赫尔曼·冯·亥姆霍兹著作《音调的感觉》（On the Sensations of Tone）。音分已经成为表示和对比音高及音程的相对标准的方法。

定义

1. 基本定义：1音分被定义为频率比 $2^{\frac{1}{1200}}$。换言之，如果一个音比另一个音高1音分，则其频率是另一个音的$2^{\frac{1}{1200}}$ 倍。

$\text{¢ }\triangleq 2^{\frac{1}{1200}}$ 该定义建立了频率比与对数刻度之间的直接映射。

1. 音分公式：给定任意频率比 r (其中 r = f2/f1)，其对应的音分值 c(r) 由以下公式计算： c(r) = 1200 · log₂ r 此公式具有两个核心性质：
   • 线性可加性：复合音程的音分值等于各音程音分值之和，即 c(r₁ · r₂) = c(r₁) + c(r₂)。
   • 八度关系：k个纯八度对应的音分值正好是 c(2^k) = 1200k。

音分公式的推导

音分公式可以从其定义出发，通过指数和对数运算推导得出。

推导过程：

设某个音程的音分值为 x，其对应的频率比为 r。

1. 根据音分定义，x 音分对应的频率比为 (2^(1/1200))^x。 x ¢ ⇒ r = (2^(1/1200))^x = 2^(x/1200)
2. 对等式两边取以2为底的对数： log₂ r = log₂ (2^(x/1200))
3. 根据对数运算法则 logₐ(b^c) = c · logₐ b，且 log₂ 2 = 1，可得： log₂ r = (x/1200) · log₂ 2 = x/1200
4. 解出 x，即得到音分公式： x = 1200 · log₂ r 因此，频率比 r 对应的音分值 c(r) = 1200 log₂ r。