12ed2

十二平均律（12 equal divisions of the octave，简称 12EDO 或 12ED2；在常规音律体系中亦称作 12-tone equal temperament（12TET） 或 12 equal temperament（12ET））是一种将八度音程均匀分为 12 个等份的调律系统，每一等份的音程为 100 音分（cent）。其中每一步对应的频率比为 $\sqrt[12]{2}$，即 2 的 12 次方根。该调律是当今全球最主流的音律体系。

理论

十二平均律的核心是八度等分。这一特性使其调和了多种在纯律或五度相生律中存在的微小音差，实现了音高体系的循环闭合：

1. 闭合五度圈：12个平均律五度（700¢ × 12 = 8400¢）恰好等于7个八度（8400¢），调和了毕达哥拉斯音差（531441/524288，约23.46¢）。
2. 闭合三度圈：3个平均律大三度（400¢ × 3 = 1200¢）等于1个八度，调和了小第西斯音差（128/125，约41.06¢）；4个平均律小三度（300¢ × 4 = 1200¢）也等于1个八度，调和了大第西斯音差（648/625，约62.57¢）。
3. 中庸全音律属性：它是能严谨体现五度和谐（即纯五度近似）的最小数目的八度等分律，可被视为一种“中庸全音律”，在和谐性与实用性间取得平衡。

与其他律制的比较及音程近似度

十二平均律是对自然谐音列的有理数音程的对数近似。其音程与纯律的对比揭示了其“中庸”特性：

音程	十二平均律 (音分)	纯律 (频率比)	音分差值
纯五度	700¢	3/2 (701.955¢)	-1.955¢
大三度	400¢	5/4 (386.314¢)	+13.686¢
小三度	300¢	6/5 (315.641¢)	-15.641¢
自然小七度	1000¢	7/4 (968.826¢)	+31.174¢

对高次谐音列的近似能力

十二平均律对不同“谐音限”的近似能力各异，这决定了它能支持何种复杂的和声：

• 五限和谐：对基于3、5次谐音的音程（如大三、纯五度）近似良好，是其成为标准的基础。
• 七限和谐：能支持七限和声（调和了126/125，225/224，50/49.63/64等音差），但对7次谐音（如自然小七度7/4）的近似较差。
• 更高次限：几乎不能代表11或13限音程，但对17限和19限的近似相当可信，这为探索非传统和声（如8:17:36:76等比例）提供了可能。
• 数学地位：它是第四个zeta积分等分律，在数学上具有优雅的地位，也是一种最简单的良律，即所有十二个五度在听觉上均等且可接受。

历史与实践中的主导地位

在十二平均律普及前，欧洲曾长期使用不等程律（如各种中庸全音律、良律），在不同调上音色各异。其主导地位的确立主要源于：

1. 乐器制造的便利：尤其适用于固定音高的键盘乐器，一套音准即可演奏所有调性。
2. 绝对的转调自由：允许音乐在24个大小调间无缝转调，满足了浪漫主义以降音乐对调性扩张的需求。
3. 等音变换的简化：由于调和了毕达哥拉斯音差，在五度相生律中存在约23.460音分差异的 C♯ 与 D♭ 在十二平均律中于物理音高上完全合一。这极大地简化了记谱、乐理与键盘乐器的演奏。

现代音乐理论中的角色

如今，十二平均律日益被视为一个独立的音高体系，而非对纯律的近似。其本身的结构催生了新的音乐语言：

• 序列主义音乐：依赖于半音阶的绝对平等。
• 爵士和声与现代作曲：大量使用基于平均律等分结构的和弦（如增和弦、全音阶、各种高叠和弦）。
• 理论框架：作为“十二音体系”的物理基础，其内部对称性（如三度循环、减七和弦等分八度）成为现代和声分析的重要工具。

在实际演奏中，敏锐的演奏家（尤其是弦乐、声乐）常在旋律线条或重点和声中本能地微调音高，以接近纯律的和谐。然而，十二平均律提供的固定参照框架，使得这种“有意的偏差”成为可能，并确保了合奏的整体一致性。

总结

十二平均律是人类在数学理性与听觉感性之间找到的一个杰出平衡点。它通过微小的、可接受的音程偏差，换取了无与伦比的调性自由与体系一致性，从而深刻塑造了了过去三百年西方音乐的面貌，并持续为现代音乐提供基础结构。

历史

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111

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