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十二点差（毕达哥拉斯音差）

十二点差（毕达哥拉斯音差），是音乐理论中的一个微小音程，其频率比为$\frac{531441}{524288}$，这个音程大约相当于23.46音分。

该音差揭示了毕达哥拉斯调音（一种基于纯五度3:2循环生成的律制）的内在数学矛盾。具体表现为：连续堆叠12个纯五度（3/2）所得的音高，与向上移位7个八度所得的预期音高并不相等，前者略高于后者。这个差值即为毕达哥拉斯音差，可用数学公式表达为： $\frac{(\frac{3}{2}{)}^{12}}{2^7}$ = $\frac{3^{12}}{2^{19}}$ = $\frac{531441}{524288}$ ≈ 23.46 音分

历史与定义

十二点差的概念源于古希腊毕达哥拉斯学派对弦长比例与协和音程关系的研究。他们发现，仅使用比率$\frac{2}{1}$（八度）和$\frac{3}{2}$（五度）这些简单整数比无法构造出一个完美闭合的音高循环系统。十二个五度无法回归到七个八度这一现象，是西方律学史上最早认识到的音差之一。

数学性质与推导：十二点差的产生，本质上是因数3和2的指数无法在八度框架内完全协调的结果。

其他表达式：它也可以表示为毕达哥拉斯增四度（$\frac{729}{512}$）与毕达哥拉斯减五度（$\frac{1024}{729}$）的比率之差，或表示为增一度$\frac{2187}{2048}$（apotome semitone，阿波托美半音，chromatic semitone变化半音）与$\frac{256}{243}$（limma，林马半音，diatonic semitone自然半音）的比率之差。

在音乐理论中的意义 十二点差是理解西方律学发展的关键。它直接推动了多种中庸全音律的发展，音乐家们通过不同程度地调和这个音差，将误差分配到各个五度中，以在纯律和转调可行性之间取得折中。最终，十二平均律通过将每个五度精确调整为700音分（即 2^(7/12)），完全消除了十二点差，实现了五度圈的完美闭合，但代价是所有五度（除八度外）都变得不完全“纯正”。

在调律系统中的作用

被“消除”的音差：在十二n平均律及许多其他律制（如19ed3，7ed3/2）中，十二点差被调和，意味着该音差所代表的音程被等同于同音异名的等音（如C♯与D♭被视为同一音高）。

在其他调律中的体现：在五度宽于700音分的律制中（如41平均律、53平均律），十二点差会映射为一个正步数。而在五度窄于700音分的律制中（如19平均律、31平均律），它则映射为负步数，从而在这些律制中实际存在一个正值的减二度。