和声熵：修订间差异

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* 模板和弦的集合<math>X=\{ X_n\}</math>可以取[[整数限]]和[[质数限]]有限的和弦，或者质数限有限的和弦，或者一切k音纯律和弦。如果选择第一个选项，<math>P(X_n)</math>可以任意选择；如果选择第二个选项，<math>P(X_n)</math>可以选择为<math>1/s(X_n)^\beta</math>, 其中<math>s(X_n)</math>表示<math>X_n</math>的整数限，<math>\beta</math>为大于0的常数；如果选择第三个选项，<math>P(X_n)</math>可以选择为<math>1/(X_{n1}X_{n2}...X_{nk})^\beta</math>,<math>\beta</math>大于1的常数，这里要求<math>X_{n1}, X_{n2}, ...,X_{nk}</math>是正整数且没有大于1的公因子。
* 模板和弦的集合<math>X=\{ X_n\}</math>可以取[[整数限]]和[[质数限]]有限的和弦，或者质数限有限的和弦，或者一切k音纯律和弦。如果选择第一个选项，<math>P(X_n)</math>可以任意选择；如果选择第二个选项，<math>P(X_n)</math>可以选择为<math>1/s(X_n)^\beta</math>, 其中<math>s(X_n)</math>表示<math>X_n</math>的整数限，<math>\beta</math>为大于0的常数；如果选择第三个选项，<math>P(X_n)</math>可以选择为<math>1/(X_{n1}X_{n2}...X_{nk})^\beta</math>,<math>\beta</math>大于1的常数，这里要求<math>X_{n1}, X_{n2}, ...,X_{nk}</math>是正整数且没有大于1的公因子。
* 鉴于人耳的对音程的识别误差可以用[[音分]]而不是赫兹数表示，假设<math>X_n</math>的音分为<math>x_1</math>¢,...,<math>x_k</math>¢, <math>Y</math>的音分为<math>y_1</math>¢,...,<math>y_k</math>¢, 则<math>y_1=x_1+\epsilon_1</math>, ..., <math>y_k=x_k+\epsilon_k</math>，其中<math>\epsilon_1, ..., \epsilon_n</math>为独立同分布的正态随机变量，其均值为0，其方差是自由参数σ。
* 鉴于人耳的对音程的识别误差可以用[[音分]]而不是赫兹数表示，假设<math>X_n</math>的音分为<math>x_1</math>¢,...,<math>x_k</math>¢, <math>Y</math>的音分为<math>y_1</math>¢,...,<math>y_k</math>¢, 则<math>y_1=x_1+\epsilon_1</math>, ..., <math>y_k=x_k+\epsilon_k</math>，其中<math>\epsilon_1, ..., \epsilon_n</math>为独立同分布的正态随机变量，其均值为0，其标准差是自由参数σ。
* 计算<math>P(Y|X_n)</math>的方式如下：将<math>X_n</math>写成音分<math>x_1</math>¢, ..., <math>x_k</math>¢, <math>Y</math>写成音分<math>y_1</math>¢, ..., <math>y_k</math>¢, 顺序为从小到大，且使得<math>x_1+...+x_k=y_1+...+y_k</math> (这相当于给和弦的频率比的每一项乘以一个常数)，则<math>P(Y|X_n)</math>正比于<math>\exp(-((x_1-y_1)^2+...+(x_k-y_k)^2)/{2\sigma^2})</math>.
* 计算<math>P(Y|X_n)</math>的方式如下：将<math>X_n</math>写成音分<math>x_1</math>¢, ..., <math>x_k</math>¢, <math>Y</math>写成音分<math>y_1</math>¢, ..., <math>y_k</math>¢, 顺序为从小到大，且使得<math>x_1+...+x_k=y_1+...+y_k</math> (这相当于给和弦的频率比的每一项乘以一个常数)，则<math>P(Y|X_n)</math>正比于<math>\exp(-((x_1-y_1)^2+...+(x_k-y_k)^2)/{2\sigma^2})</math>.
== 数据 ==
以下是三音和弦的和声熵，其中模板和弦为所有的3音纯律和弦，先验概率为<math>P(X_n)=1/(X_{n1}X_{n2}X_{n3})^2</math>，观测误差<math>\epsilon_1, ..., \epsilon_n</math>为正态分布随机变量，均值为0，标准差为9[[间差]](21.51¢). 和声熵数据的误差不超过0.005.

2026年3月16日 (一) 16:12的版本

和声熵是衡量和弦和谐程度的方式。和声熵的基本假设是：一个和弦越容易被识别为某个模板和弦，它就越和谐；一个和弦越不容易被识别为任一模板和弦，它就越不和谐。

模型

假设我们研究的和弦都由k个音组成。令X={Xn}为模板和弦的集合，其元素为k音和弦Xn=Xn1:...:Xnk. 为了使用贝叶斯公式，假设和弦Xn出现的先验概率是P(Xn).

按照先验概率随机选择一个和弦Xn, 接收者会接受到信号Y, 它是Xn的近似。为了从Y复原Xn，使用贝叶斯公式：P(Xn|Y)=(P(Y|Xn)P(Xn))/∑P(Y|x)P(x)

使得f(x)=P(x|Y)最大的模板和弦Xn是信号Y最有可能对应的模板和弦。接收者对和弦Y是Xn的置信程度是maxxf(x). 置信程度maxxf(x)越大，接受者就越容易把Y识别为某个模板和弦，Y就越和谐。

考虑到maxxf(x)等价于α=+∞的Rényi熵，我们也可以考虑α为有限值的Rényi熵，如α=1对应的Shannon熵。熵值越低，接受者就越容易把Y识别为某个模板和弦，Y就越和谐。

细节

  • 模板和弦的集合X={Xn}可以取整数限和质数限有限的和弦，或者质数限有限的和弦，或者一切k音纯律和弦。如果选择第一个选项，P(Xn)可以任意选择；如果选择第二个选项，P(Xn)可以选择为1/s(Xn)β, 其中s(Xn)表示Xn的整数限，β为大于0的常数；如果选择第三个选项，P(Xn)可以选择为1/(Xn1Xn2...Xnk)β,β大于1的常数，这里要求Xn1,Xn2,...,Xnk是正整数且没有大于1的公因子。
  • 鉴于人耳的对音程的识别误差可以用音分而不是赫兹数表示，假设Xn的音分为x1¢,...,xk¢, Y的音分为y1¢,...,yk¢, 则y1=x1+ϵ1, ..., yk=xk+ϵk，其中ϵ1,...,ϵn为独立同分布的正态随机变量，其均值为0，其标准差是自由参数σ。
  • 计算P(Y|Xn)的方式如下：将Xn写成音分x1¢, ..., xk¢, Y写成音分y1¢, ..., yk¢, 顺序为从小到大，且使得x1+...+xk=y1+...+yk (这相当于给和弦的频率比的每一项乘以一个常数)，则P(Y|Xn)正比于exp⁡(−((x1−y1)2+...+(xk−yk)2)/2σ2).

数据

以下是三音和弦的和声熵，其中模板和弦为所有的3音纯律和弦，先验概率为P(Xn)=1/(Xn1Xn2Xn3)2，观测误差ϵ1,...,ϵn为正态分布随机变量，均值为0，标准差为9间差(21.51¢). 和声熵数据的误差不超过0.005.

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