和声熵

和声熵是衡量和弦和谐程度的方式。和声熵的基本假设是：一个和弦越容易被识别为某个模板和弦，它就越和谐；一个和弦越不容易被识别为任一模板和弦，它就越不和谐。

模型

假设我们研究的和弦都由k个音组成。令$X=\{X_n\}$为模板和弦的集合，其元素为$k$音和弦$X_n=X_{n1}:...:X_{nk}$. 为了使用贝叶斯公式，假设和弦$X_n$出现的先验概率是$P(X_n)$.

按照先验概率随机选择一个和弦$X_n$, 接收者会接受到信号$Y$, 它是$X_n$的近似。为了从$Y$复原$X_n$，使用贝叶斯公式：$P(X_n|Y)=(P(Y|X_n)P(X_n))/\sum P(Y|x)P(x)$

使得$f(x)=P(x|Y)$最大的模板和弦$X_n$是信号$Y$最有可能对应的模板和弦。接收者对和弦$Y$是$X_n$的置信程度是$\underset{x}{\max }f(x)$. 置信程度$\underset{x}{\max }f(x)$越大，接受者就越容易把$Y$识别为某个模板和弦，$Y$就越和谐。

考虑到$\underset{x}{\max }f(x)$等价于α=+∞的Rényi熵，我们也可以考虑α为有限值的Rényi熵，如α=1对应的Shannon熵。熵值越低，接受者就越容易把$Y$识别为某个模板和弦，$Y$就越和谐。

细节

• 模板和弦的集合$X=\{X_n\}$可以取整数限和质数限有限的和弦，或者质数限有限的和弦，或者一切k音纯律和弦。如果选择第一个选项，$P(X_n)$可以任意选择；如果选择第二个选项，$P(X_n)$可以选择为$1/s(X_n{)}^{\beta }$, 其中$s(X_n)$表示$X_n$的整数限，$\beta$为大于0的常数；如果选择第三个选项，$P(X_n)$可以选择为$1/(X_{n1}{X}_{n2}...X_{nk}{)}^{\beta }$,$\beta$大于1的常数，这里要求$X_{n1},X_{n2},...,X_{nk}$是正整数且没有大于1的公因子。
• 鉴于人耳的对音程的识别误差可以用音分而不是赫兹数表示，假设$X_n$的音分为$x_1$¢,...,$x_k$¢, $Y$的音分为$y_1$¢,...,$y_k$¢, 则$y_1=x_1+{ϵ}_1$, ..., $y_k=x_k+{ϵ}_k$，其中${ϵ}_1,...,{ϵ}_n$为独立同分布的正态随机变量，其均值为0，其标准差是自由参数σ。
• 计算$P(Y|X_n)$的方式如下：将$X_n$写成音分$x_1$¢, ..., $x_k$¢, $Y$写成音分$y_1$¢, ..., $y_k$¢, 顺序为从小到大，且使得$x_1+...+x_k=y_1+...+y_k$ (这相当于给和弦的频率比的每一项乘以一个常数)，则$P(Y|X_n)$正比于$\exp (-((x_1-y_1{)}^2+...+(x_k-y_k{)}^2)/2{\sigma }^2)$.

数据

以下是三音和弦的和声熵，其中模板和弦为所有的3音纯律和弦，先验概率为$P(X_n)=1/(X_{n1}{X}_{n2}{X}_{n3}{)}^2$；观测误差${ϵ}_1,...,{ϵ}_n$为正态分布随机变量，均值为0，标准差为9间差(21.51¢)；置信程度取$\underset{x}{\max }f(x)$. 和声熵数据的误差不超过0.005.

当模板和弦的个数有限且扰动的标准差σ趋于0时，平面上表示纯律和弦的点的 [Voronoi 图 https://mathworld.wolfram.com/VoronoiDiagram.html] 的每个胞腔区域内对这个胞腔内的最邻近点的置信程度趋于1，而胞腔边缘和顶点则不是。这张图虽然考虑了无穷多模板和弦，但是效果上类似于模板和弦的个数有限。