12ed2

十二平均律（12 equal divisions of the octave，简称 12EDO 或 12ED2；在规则调律体系中亦称作 12-tone equal temperament（12TET） 或 12 equal temperament（12ET））是一种将八度音程均匀分为 12 个等份的调律系统，每一等份的音程为 100 音分（cent）。其中每一步对应的频率比为 $\sqrt[12]{2}$，即 2 的 12 次方根。该调律是当今全球最主流的音律体系。

理论

十二平均律的核心是八度等分。这一特性使其调和了多种在纯律或五度相生律中存在的微小音差，实现了音高体系的循环闭合：

1. 闭合五度圈：12个平均律五度（700¢ × 12 = 8400¢）恰好等于7个八度（8400¢），调和了毕达哥拉斯音差（531441/524288，约23.46¢）；
2. 闭合三度圈：3个平均律大三度（400¢ × 3 = 1200¢）等于1个八度，调和了增音差（128/125，约41.06¢）；4个平均律小三度（300¢ × 4 = 1200¢）也等于1个八度，调和了减音差（648/625，约62.57¢）；
3. 中庸全音律属性：四个平均律五度（700¢ × 4 = 2800¢）恰好等于大三度的双复音程（400¢ + 2400¢ = 2800¢）。

与其他律制的比较及音程近似度

十二平均律是对自然谐音列的有理数音程的对数近似。其音程与纯律的对比揭示了其“中庸”特性：

音程	十二平均律 (音分)	纯律 (频率比)	音分差值
纯五度	700¢	3/2 (701.955¢)	-1.955¢
大三度	400¢	5/4 (386.314¢)	+13.686¢
小三度	300¢	6/5 (315.641¢)	-15.641¢
自然小七度	1000¢	7/4 (968.826¢)	+31.174¢

对高次谐音列的近似能力

十二平均律对不同和声限的近似能力各异，这决定了它能支持何种复杂的和声：

• 五限以内：对基于3、5次谐音的音程（如大三、纯五度）近似良好，是其成为标准的基础。
• 七限：能支持七限和声（调和了126/125，225/224，50/49，63/64等音差），但对7次谐音（如自然小七度7/4）的近似较差。
• 高限：几乎不能代表11/1或13/1，但对17/1和19/1的近似都在5¢以内，这为探索非传统和声（如1:2:17:19）提供了可能。

历史与实践中的主导地位

在十二平均律普及前，欧洲曾长期使用不等程律（如各种中庸全音律、良律），在不同调上音色各异。其主导地位的确立主要源于：

1. 乐器制造的便利：尤其适用于固定音高的键盘乐器，一套音准即可演奏所有调性。
2. 绝对的转调自由：允许音乐在24个大小调间无缝转调，满足了浪漫主义以降音乐对调性扩张的需求。
3. 等音变换的简化：由于调和了毕达哥拉斯音差，在五度相生律中存在约23.460音分差异的 C♯ 与 D♭ 在十二平均律中于物理音高上完全合一。这极大地简化了记谱、乐理与键盘乐器的演奏。

现代音乐理论中的角色

如今，十二平均律日益被视为一个独立的音高体系，而非对纯律的近似。其本身的结构催生了新的音乐语言：

• 序列主义音乐：依赖于半音阶的绝对平等。
• 爵士和声与现代作曲：大量使用基于平均律等分结构的和弦（如增和弦、全音阶、各种高叠和弦）。
• 理论框架：作为“十二音体系”的物理基础，其内部对称性（如三度循环、减七和弦等分八度）成为现代和声分析的重要工具。

在实际演奏中，敏锐的演奏家（尤其是弦乐、声乐）常在旋律线条或重点和声中本能地微调音高，以接近纯律的和谐。然而，十二平均律提供的固定参照框架，使得这种“有意的偏差”成为可能，并确保了合奏的整体一致性。

历史

十二平均律的发展在中国与西方经历了彼此独立但最终汇流的漫长过程，其核心目标均为解决“旋宫转调”或“自由转调”这一音乐实践中的根本难题。

中国对十二平均律的探索历程

中国对十二平均律的探索，是一场持续近两千年的、旨在解决传统律制根本缺陷的科学攻坚。其核心动力源于音乐实践中“旋相为宫”（即自由转调）的理想与三分损益律数学局限性之间不可调和的矛盾。

一、问题的起源：三分损益律与“旋宫”的矛盾

中国传统的三分损益律是一种纯五度（频率比3:2）相生构成十二律的体系。然而，数学上存在一个根本性障碍：从一律出发，连续生律十二次（即相生十二个纯五度）后，所得的“清黄钟”音高，无法精确地回到出发律的高八度位置上，两者之间存在一个微小的音差，即“十二点差”（或称“毕达哥拉斯音差”，频率比531441:524288，约23.46音分）。这使得十二律无法完美地循环往复，从而严重阻碍了在各调（各“宫”）之间自由转换的“旋宫”实践。

二、量变求解的尝试：增加律数的极限探索

为弥合这一音差，早期律学家尝试在三分损益法框架内，通过无限增加律数来逼近八度循环。

1. 京房六十律（西汉，约公元前1世纪）： 京房将三分损益法连续推演至六十律。其重大发现在于，当生律至第54次，得到“色育”律时，该律与始发律“黄钟”的高度已极为接近，相差仅约3.6音分（此差值后世称为“京房音差”），人耳已难分辨。然而，为了追求理论上完美的、符合“周而复始”观念的循环，并凑合当时历法所重的“六十”这一周期数，京房并未止步于54律，而是继续生全了六十律。此举虽在数学上展现了无限逼近的可能性，但也宣告了此路在音乐实践上的不可行性。
2. 钱乐之三百六十律（南朝宋，公元5世纪）： 钱乐之沿着京房的思路推向极端，生律至三百六十律，使最后一律与黄钟的差距缩小到不足2音分。这标志着在三分损益体系内通过增加律数来“加密”音律的方法已臻于极限，但同时也彻底暴露了其本质缺陷：律数繁多，远超任何乐器的演奏与人的听觉分辨能力，完全脱离音乐实践。

三、质变改革的先声：在十二律框架内进行调整

部分律学家意识到无限生律之路不通，转而尝试在十二律的框架内部调整各律高度，以求返宫。

1. 何承天“新律”（南朝宋，公元5世纪）： 何承天是此路径的开创者。他敏锐地将无法返宫的差数（即最大音差）平均分配（“等差”）到十二律中的每一律，从而在弦长上创造了一个等差数列。虽然其结果在物理上并非真正的等比数列（即非真正的平均律），但其“平均”的思想和在十二律内部调整以解决根本矛盾的路线，是一次革命性的转向。
2. 刘焯与王朴的探索：
   • 刘焯（隋）的尝试是一次方向正确但方法错误的重要案例。他同样试图在十二律内平均分配音差，但其方案是直接作用于律管的物理长度。具体而言，他设定了起始律管长，并将此长度与高八度律管长之间的差值进行十二等分，然后从起始管长中逐次减去一个等分量，从而得到一系列长度呈等差递减的十二根律管，史称“十二等差管律”。然而，这一方案在物理学上是根本错误的。它忽略了管乐器发音时，气柱的有效振动长度并不等于管体的几何长度，而需进行“管口校正”。因此，管长的等差变化，并不能导致音高（频率）的等比变化，其产生的音阶严重失准，故而影响甚微，仅作为律学思想史上的一个插曲。
   • 王朴（五代）则是一位重要的实践家。他通过在三分损益律的基础上，有选择地微调其中某些律（如清角、变宫）的高度，制作了音准精良的律准。他的工作表明，通过实践调试可以逼近旋宫的目标，为后世提供了宝贵经验。

另一个方向是利用3限纯律的更大的子集代替一个八度内的12音子集。这一方向从属于3限纯律/历史而非12平均律。

四、终极的突破：朱载堉与“新法密率”

当认识到在旧体系内修补已无出路后，明代杰出的律学家、数学家朱载堉（1536-1611年）实现了根本性的范式革命。他完全跳出了三分损益的思维窠臼，直接转向等比数列。

他设定的目标是：找到一个数，使其自乘12次后等于2。即求解 $\sqrt[12]{2}$。万历十二年（1584年），朱载堉在其巨著《律吕精义》中公布了这一革命性的“新法密率”。他运用算盘完成了史上首次对 $\sqrt[12]{2}$​ 的精确计算，结果精确到小数点后24位。以此为核心，他构建了一套完全均等的十二律体系，从数学原理上彻底根除了“最大音差”，实现了真正的、完美的旋宫转调。朱载堉的成就，标志着中国对平均律的探索从千年跋涉的“逼近”阶段，终于抵达了理论“实现”的终点，在世界上率先完成了十二平均律的完整数理体系构建。

西方对十二平均律的探索历程

西方对十二平均律的接受是一个由音乐实践需求驱动、理论与实践逐步结合的渐进过程，最终因适应了键盘乐器的特性与和声体系的发展而成为绝对主流。

文艺复兴时期的理论探索

16世纪，随着复调音乐的复杂化和键盘乐器的普及，作曲家对自由转调的需求日益迫切，而当时的纯律或中庸全音律在远关系调上会产生极不协和的“狼音”。为解决此问题，学者们开始进行数学计算。约1605年，荷兰数学家西蒙·斯特芬在一份未完成的手稿中尝试计算平均律半音的比率，其结果已非常接近 $\sqrt[12]{2}$​，但精度不足。1636年，法国修士马林·梅森在其著作《和谐的宇宙》中，首次从声学角度明确定义了十二平均律，并明确指出其数学基础是八度的十二次方根。

调律法的改进与实践推广

理论探索的同时，适用于键盘乐器的近似平均律调律法被提出。1691年，德国管风琴师安德烈亚斯·韦克迈斯特提出的调律法，有效缓解了“狼音”问题，使所有调性都可用于演奏，为十二平均律的实践铺平了道路。这一进程的标志性事件是约翰·塞巴斯蒂安·巴赫分别于1722年和1744年创作的两卷《良律键盘曲集》(Well-tempered Clavier)。这部作品系统地在所有24个大小调上进行创作，以卓越的音乐实践证明了（近似的）平均律在自由转调上的巨大优势，极大地推动了该律制在音乐界的接受与普及。

成为现代标准

18世纪后，钢琴的崛起与工业化生产，以及浪漫主义音乐对远关系转调和复杂和声的追求，使得十二平均律因其数学上的唯一性与操作的标准化，最终完全取代了其他律制，成为西方古典音乐及后续全球流行音乐无可争议的标准律制。

历史路径对比

对比维度	中国路径	西方路径
核心驱动力	追求“旋宫转调”的礼乐理想与数理完备性。	解决多声部音乐中自由转调与和声协调的实际需求。
关键突破形式	一次性完成精确数学计算与物理定律器的理论体系。	历经理论计算、调律法改进，最终由经典音乐作品推广的渐进过程。
主要实践载体	律管、律准（主要用于定律与验证）。	键盘乐器（尤其是钢琴），以及与乐器制造业的紧密结合。
社会接受基础	限于宫廷雅乐体系与学术领域。	与市民音乐生活、乐器商品化和作曲家创作深度融合。
最终历史影响	一项具有里程碑意义的古代科学成就。	塑造了全球现代音乐体系的声学基础与技术标准。

记谱

111

音程

111

音阶

112