Zeta调律

Zeta调律是衡量平均律逼近所有有理音程的方式。

定义

考虑ned2，其中n可以不为整数，这就是一步为$2^{1/n}$的平均律。有理音程c/d在这一律制下的直接近似步数是离$n{\log }_{2}c/d$最近的整数。因此，$n{\log }_{2}c/d$离整数越近（如3.97或11.02），$n$ed2对音程c/d就逼近得越好。

函数$f(x)=1-\cos (2\pi x)$在整数取0，且x离整数越近，f(x)越小。因此，函数f可以用于衡量ned2对c/d的逼近：$f(x)=1-\cos (2\pi n{\log }_{2}c/d)$越小，逼近就越好。

f(x)的图像

为了计算ned2对所有有理数的逼近，最简单的想法是计算$\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{d=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\cos (2\pi n{\log }_{2}c/d))$. 可惜，这个和是发散的，因此需要加上衰减因子<math>\frac{1}{c^sd^s}<math>, s>1.