Zeta调律

Zeta调律是衡量平均律逼近所有有理音程的方式。

定义

考虑ned2，其中n可以不为整数，这就是一步为$2^{1/n}$的平均律。有理音程c/d在这一律制下的直接近似步数是离$n{\log }_{2}c/d$最近的整数。因此，$n{\log }_{2}c/d$离整数越近（如3.97或11.02），$n$ed2对音程c/d就逼近得越好。

函数$f(x)=1-\cos (2\pi x)$在整数取0，且x离整数越近，f(x)越小。因此，函数f可以用于衡量ned2对c/d的逼近：$f(x)=1-\cos (2\pi n{\log }_{2}c/d)$越小，逼近就越好。

f(x)的图像

为了计算ned2对所有有理数的逼近，最简单的想法是计算$\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{d=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\cos (2\pi n{\log }_{2}c/d))$. 可惜，这个和是发散的，因此需要加上衰减因子$\frac{1}{c^s{d}^s}$.

现在的指标是$\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{d=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{c^s{d}^s}(1-\cos (2\pi n{\log }_{2}c/d))$。考虑到这个式子是在s固定而n变化的条件下使用的，我们可以删掉括号里的1：$\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{d=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{c^s{d}^s}(\cos (2\pi n{\log }_{2}c/d))$ 越小，ned2对所有有理数的逼近越好。

根据三角函数与虚指数函数的关系$\cos (x)=\mathrm{\Re }(\exp (ix))$, $\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{d=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{c^s{d}^s}(\cos (2\pi n{\log }_2(c/d)))=\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{d=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{c^s{d}^s}(\mathrm{\Re }\exp (2\pi in{\log }_2(c/d)))$

$=\mathrm{\Re }(\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{d=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{c^s{d}^s}\exp (2\pi in{\log }_2(c/d)))$

$=\mathrm{\Re }(\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{d=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{c^s{d}^s}\exp (2\pi in{\log }_{2}c-2\pi in{\log }_{2}d))$

$=\mathrm{\Re }(\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{d=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{c^s{d}^s}\exp (2\pi in{\log }_{2}c)/\exp (2\pi in{\log }_{2}d))$

$=\mathrm{\Re }(\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{d=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{c^s{d}^s}{c}^{2\pi in\ln 2}/d^{2\pi in\ln 2})$

$=\mathrm{\Re }(\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{d=1}^{\mathrm{\infty }}{c}^{2\pi in\ln 2-s}{d}^{-2\pi in\ln 2-s})$

$=\mathrm{\Re }(\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}{c}^{2\pi in\ln 2-s}\sum _{d=1}^{\mathrm{\infty }}{d}^{-2\pi in\ln 2-s})$

根据黎曼Zeta函数的表达式，上式等于 $\mathrm{\Re }(\zeta (s-2\pi in\ln 2)\zeta (s+2\pi in\ln 2))=|\zeta (s+2\pi in\ln 2){|}^2$