531441/524288

音程信息
名称	12点差
有理比例	531441/524288
质因列	[-19 12>
质因式	a19B12
质数子群	2.3

十二点差（毕达哥拉斯音差），是音乐理论中的一个微小音程，其频率比为$\frac{531441}{524288}$，这个音程大约相当于23.46音分。

该音差揭示了12个3/2不能形成2/1闭合圈的现象。具体表现为：连续堆叠12个纯五度(3/2)所得的音高，与向上移位7个八度所得的预期音高并不相等，前者略高于后者。这个差值即为毕达哥拉斯音差，可用数学公式表达为： $\frac{(\frac{3}{2}{)}^{12}}{2^7}$ = $\frac{3^{12}}{2^{19}}$ = $\frac{531441}{524288}$ ≈ 23.46¢.

历史与定义

十二点差的概念源于古希腊毕达哥拉斯学派对弦长比例与协和音程关系的研究。他们发现，仅使用比率$\frac{2}{1}$（八度）和$\frac{3}{2}$（五度）这些简单整数比无法构造出一个完美闭合的音高循环系统。十二个五度无法回归到七个八度这一现象，是西方律学史上最早认识到的音差之一，在古代中国称为“黄钟不能还原”。

其他表达式：它也可以表示为3限增四度（$\frac{729}{512}$）与3限减五度（$\frac{1024}{729}$）的比率之差，或表示为3限增一度（变化半音）$\frac{2187}{2048}$与3限小二度（自然半音）$\frac{256}{243}$的比率之差。注意3限增一度是大于3限小二度的，这与中全律的情况不同。

音程

在五度宽于700音分的律制中（如41平均律、53平均律、3限纯律），十二点差的像大于0。

在五度窄于700音分的律制中（如19平均律、31平均律），十二点差的像小于0，从而在这些律制中，减二度大于1/1.

音差

将12点差作为音差调和，则2/1可以分为12等分，每一份既表示$\frac{2187}{2048}$也表示$\frac{256}{243}$. 12n平均律调和这一音差当且仅当n≤25.

作品

Johann Philipp Kirnberger

• Musical Circle