音阶

音阶指具有周期性的，从小到大排列的音高序列。

音阶可以表示为双向无穷序列: $\cdots x_{-2},x_{-1},x_0,x_1,x_2,\cdots x_n,x_{n+1}\cdots$: 每一项代表一个音，如C自然大调音阶用科学音高可以写作$\cdots$A3, B3, C4, D4, E4, F4, G4, A4, B4, C5, D5$\cdots$.

音阶的周期是一个预先给定的音程$x_n=p$, 使得相差n步的任何两个音之间的音程是p. 这意味着一个周期里有n个音。因为n是有限数，定义一个音阶只要给出它的周期和一个周期内的所有音。

当一个音阶是另一个音阶的平移时，这两个音阶称为是等价的。比如说，D自然大调音阶是C自然大调音阶的平移，所以D自然大调音阶与C自然大调音阶等价，因此它们都称为自然大调音阶。在等价意义下，定义一个音阶只要给出它的周期和一个周期内所有音相对于主音的音程。

音阶术语

• 音高$x_0$是音阶的第一音，称为主音，音阶的其它音可以由主音到它的步数表达。这就是说，$x_a$到$x_b$的步数是b-a.

• 音阶的相邻两音称为音阶的一步。音阶的n步表示任何相差n个位置的音。

• 七声音阶的度数是步数+1.

• 一个周期内包含n个音的音阶称为n声音阶。n声音阶的n步就是这一音阶的周期。

音阶关系

如果音阶$x=\cdots x_0,\cdots ,x_n,x_{n+1}\cdots$和音阶$y=\cdots y_0,\cdots ,y_n,y_{n+1}\cdots$满足$x_n-x_0=y_0-y_{-n}$对于所有的n成立，那么称y为x的反向音阶。一个音阶的反向音阶和它自身具有相同的周期和周期内音的个数。

• 例：假设音阶x的周期是2/1(纯八度)，一个周期内的组成音为1/1, 9/8, 5/4, 3/2, 2/1. 计算这一音阶的反向音阶y。
• 解：不妨设y₀=1/1. 因为y₀-y₋₁=x₁-x₀=9/8, 所以y₋₁=8/9；因为y₀-y₋₂=x₂-x₀=5/4, 所以y₋₂=4/5；因为y₀-y₋₃=x₃-x₀=3/2, 所以y₋₃=2/3. 所以(y₋₃, y₋₂, y₋₁, y₀)=(2/3, 4/5, 8/9, 1/1)；因为y的周期为2/1，y的周期内有4个音，所以(y₀, y₁, y₂, y₃)=(1/1, 4/3, 8/5, 16/9). 这给出了y的完整描述。

如果音阶$x=\cdots x_0,\cdots ,x_n,x_{n+1}\cdots$和音阶$y=\cdots y_0,\cdots ,y_n,y_{n+1}\cdots$满足$y_n=x_{n+k}$对于所有的n成立，那么称y为x的第(k+1)调式。对于n声音阶，k的取值为0, 1, $\cdots$ n-1.

• 例：假设音阶x的周期是2/1(纯八度)，一个周期内的组成音为1/1, 9/8, 5/4, 3/2, 2/1. 计算x的第二调式y.
• 解：无论y₀的音高是什么，y₀:y₁:y₂:y₃=x₁:x₂:x₃:x₄=9/8:5/4:3/2:2/1必然成立；在音阶的音程表示法下，y₀=1/1, 所以(y₀, y₁, y₂, y₃)=(1/1, 10/9, 4/3, 16/9).

与其它概念的联系

律制是用于作曲的音高集合。音阶的组成音的全体构成律制；反之，当律制具有周期且每一周期内的音的个数是有限的时，给律制指定主音，则律制成为音阶。

从音阶里选择有限个音，可以构成和弦；反之，指定周期后，和弦在周期下的平移构成音阶。

音阶类型

• MOS音阶