音阶

音阶指具有周期性的，从小到大排列的音高序列。

音阶可以表示为双向无穷序列: $\cdots x_{-2},x_{-1},x_0,x_1,x_2,\cdots x_n,x_{n+1}\cdots$: 每一项代表一个音，如C自然大调音阶用科学音高可以写作$\cdots$A3, B3, C4, D4, E4, F4, G4, A4, B4, C5, D5$\cdots$.

音阶术语

• 音高$x_0$是音阶的第一音，称为主音，音阶的其它音可以由主音到它的步数表达。这就是说，$x_a$ 到$x_b$的步数是b-a.

• 七声音阶的度数是步数+1.

• 音阶的相邻两音称为音阶的一步。

• 一个周期内包含n个音的音阶称为n声音阶。这意味着音阶的周期是$x_n-x_0$，且任何相差n步的两音形成的音程都等于这个周期。

音阶关系

如果音阶$x=\cdots x_0,\cdots ,x_n,x_{n+1}\cdots$和音阶$y=\cdots y_0,\cdots ,y_n,y_{n+1}\cdots$满足$x_n-x_0=y_0-y_{-n}$对于所有的n成立，那么称y为x的反向音阶。一个音阶的反向音阶和它自身具有相同的周期和周期内音的个数。

• 例：假设音阶x的周期是2/1(纯八度)，一个周期内的组成音为1/1, 9/8, 5/4, 3/2, 2/1. 计算这一音阶的反向音阶y。
• 解：不妨设y₀=1/1. 因为y₀-y₋₁=x₁-x₀=9/8, 所以y₋₁=8/9；因为y₀-y₋₂=x₂-x₀=5/4, 所以y₋₂=4/5；因为y₀-y₋₃=x₃-x₀=3/2, 所以y₋₃=2/3.

     所以(y₋₃, y₋₂, y₋₁, y₀)=(2/3, 4/5, 8/9, 1/1)；因为y的周期为2/1，y的周期内有4个音，所以(y₀, y₁, y₂, y₃)=(1/1, 4/3, 8/5, 16/9). 这给出了y的完整描述。
  

• 如果音阶$x=\cdots x_0,\cdots ,x_n,x_{n+1}\cdots$和音阶$y=\cdots y_0,\cdots ,y_n,y_{n+1}\cdots$满足$y_n=x_{n+k}$对于所有的n成立，那么称y为x的第(k+1)调式。对于n声音阶，k的取值为0, 1, $\cdots$ n-1.

• 例：假设音阶x的周期是2/1(纯八度)，一个周期内的组成音为1/1, 9/8, 5/4, 3/2, 2/1. 计算x的第二调式y。
• 解：(y₀, y₁, y₂, y₃)=(x₁, x₂, x₃, x₄)=(9/8, 5/4, 3/2, 2/1)；如果重新定义主音音高使得y₀=1/1, 那么(y₀, y₁, y₂, y₃)=(1/1, 10/9, 4/3, 16/9).

与其它概念的联系

律制是用于作曲的音高集合。音阶的组成音的全体构成律制；反之，当律制具有周期且每一周期内的音的个数是有限的时，给律制指定主音，则律制成为音阶。

从音阶里选择有限个音，可以构成和弦；反之，指定周期后，和弦在周期下的平移构成音阶。

音阶类型

• MOS音阶